ARS VAS
—mMm, M m,m ° ?
et en attribuant à chaque terme ainsi obtenu le signe + ou le signe — suivant la parité ou l’imparité du nombre des transpositions nécessaires pour passer du terme principal au terme considéré.
En effet, chaque terme du développement (c) n’est qu'une combinaison de certains termes du développement (b); ce dernier étant absolument convergent, l'expression du second membre de (c) aura une valeur déterminée et absolument indépendante de l'ordre des termes. Et comme, de plus, chaque terme du développement (b) se présente aussi dans le développement (ec), l'égalité (c) se trouve démontrée. |
v. Koch. 2
10 Helge von Koch.
d) Chaque terme du développement (c) contient comme facteur un élément et un seul d'une ligne ou d’une colonne quelconque. Par conséquent, le déterminant D) peut s'écrire comme une expression linéaire et homogène des éléments d’une ligne ou d’une colonné quelconque. Si, par exemple, nous voulons le développer suivant les éléments de la ligne numérotée ?, le coefficient de 4, s'obtiendra en annullant, dans le déterminant D, tous les éléments de cette ligne excepté 4,, qui doit être remplacé par l'unité. Désignons par
‘D Û LU VE () Es
le déterminant ainsi. obtenu, de sorte qu'on ait (d) D = ZX, Aya.
Les déterminants 4,, auxquels nous donnerons le nom de mineurs ou-sousdéterminants du premier ordre, satisfont d'ailleurs aux relations suivantes
(d”) oO = 2, At; (6)
qui découlent immédiatement du théorème (6). Des considérations analogues conduiraient aux égalités
D — 2:44 Aix
Oo = > ,Ayay. (=)
Il est clair que le mineur «;, peut, outre de la manière déjà indiquée, s'obtenir aussi en supprimant dans D la ligne # et la colonne k, et en attribuant au déterminant résultant le signe (— 1)". En effet, on na qu'a se rappeler que les deux modes de génération conduisent à des résultats identiques dans le cas des déterminants finis et à raisonner ensuite comme dans le n° 3.
e) Le déterminant D étant linéaire par rapport aux éléments de chacune de deux lignes quelconques ÿ ét », si l’on veut le développer suivant ces éléments, le coefficient de 4,4, s'obtiendra en remplaçant les éléments 4,, 4, par l'unité et les autres éléments des lignes ? et »
par zéro. Le déterminant ainsi obtenu s'appellera un mineur du deuxième ordre et sera désigné par l'une ou l’autre des notations
À; À; 9° A à me a ] —— PAS ES: == ( ) e AE À 0 À ;x 0 Amn
mn
k n il est facile de voir qu'on a
D D ( m\ ( à 0 À in 9 À mx us 0A%04Amn T n ) be
d'où l'on conclut que sie 1 M €) DD Sao LA À mA A k n
f) Plus généralement, si l’on désigne par
; | le adj | - ) | AE | 47 ie
le déterminant obtenu en remplaçant dans D chacun des éléments
À;y,.. A;x, par l'unité et tout autre élément des lignes à ..4, ou des
colonnes #, ..k, par zéro, on aura
1° | Aix, 2 Ar . :
(o) ii > De 2%: À É :
ke . k, .. k) h << ne A due AE
Le déterminant
sera nommé un #ineur ou sous-déterminant de l'ordre r; on peut l'obtenir, comme il est facile de le voir, en supprimant dans D les lignes à ..
et les colonnes 4% ..#k, et en attribuant au résultat le signe
(— bn,
12 Helge von Koch.
En résumé, un déterminant D de la forme normale peut étre développé suivant les déterminants formés par les éléments appartenant à une combinaison quelconque de lignes ou de colonnes. On voit facilement qu'il ne faut pas nécessairement que le nombré de ces lignes ou de ces colonnes soit fini. Le théorème de LAPLACE sur le développement des déterminants ordinaires peut donc être généralisé de manière à embrasser completement le cas des déterminants infinis de la forme normale.
go) Il est clair que le déterminant D peut étre développé suivant les éléments d’une ligne et d’une colonne quelconque. Prenons, par exemple, la ligne o et la colonne o. Le coefficient de À
AA; Est ( 7) O ê Se A
ce qui nous permet d'écrire
CURE celui de
(sn (g) DE A5 00 FE Da Ao Au je (be 2h) h) Enfin, on peut développer le déterminant D de maniere à mettre en évidence les dimensions de ses termes successives par rapport aux quantités a4,. En effet, on peut démontrer d’une manière absolument analogue a celle employée pour le cas des déterminants finis, que l'égalité suivante a lieu:
% (PSI LT c pp pq (h) DEEE > | - LEUR ER EEE | PERTE Be Cr |
les indices p,q,7,.. parcourant tous les nombres entiers positifs et négatifs qui satisfont aux conditions
D'SRRi 8. De cette dernière formule ou de la formule (c) on peut tirer
une conséquence importante, On voit en effet que la valeur de D n'est pas altérée par des déplacements quelconques entre les lignes et entre
les colonnes, pourvu toutefois que ces changements soient tels que les éléments diagonaux et les éléments non-diagonaux restent respectivement diagonaux et non-diagonaux. À Pour cette raison nous dirons que les déterminants de la forme nor-
La male sont absolument convergents.
9. Étant donné un déterminant D de la forme normale, si l’on ‘remplace les éléments d'une ligne quelconque par des quantités y, dont les valeurs absolues n’excèdent pas un nombre positif donné, le nouveau déterminant D’ jouira des mêmes propriétés que l’ancien et pourra, en particulier, étre développé suivant les quantités y.
Remplaçons, par exemple, les éléments de la ligne o par des quantités w, vérifiant l'inégalité
et soient A, et V,, ce que deviennent respectivement les déterminants A et V,, du n° 7. Soient de plus P’ et IT!, les produits obtenus en supprimant dans P et Il, le facteur correspondant à la ligne o. Dans la série convergente
je = all; 1» Z a(IT,, à He 3
Mm= 2
chaque terme (11, — N,,,) est une somme de termes positifs dont aucun n'est plus petit que la valeur absolue du -terme correspondant dans le développement du déterminant
M A / l: , Ne De Av. er ave =ZVu d'où l'on conclut que la série double du second membre de l'égalité
D’ = 27 27 Vot
converge absolument. On voit par là que la ligne o dans le déterminant D’ joue le méme rôle que toutes les autres lignes et que, par conséquent, les théorèmes des numéros précédents subsistent sans aucune altération pour les déterminants de la forme D.
14 Helge von Koch.
Un raisonnement analogue s'applique au cas où l'on remplace les éléments d'un nombre quelconque de lignes ou de colonnes par des quantités inférieures en valeur absolue à un nombre positif donné.
10. Dans un déterminant D de la forme normale, remplaçons les éléments d’une certaine ligne, par exemple la ligne o, par des séries finies ou infinies Lu
li DATE
telles qu'on ait 2 | Ha | & 2; (k=—-0 ,+ )
# désignant un nombre positif donné. Le nouveau déterminant s’écrira ainsi:
due ER Zoe fr ee »2 PAIN
c’est-à-dire comme une somme d’un nombre fini ou infini de déterminants infinis.
11. Soit D un déterminant de la forme normale; soient €, une suite de quantités dont les valeurs absolues restent inférieures à un nombre donné. Si l’on suppose €, = o et qu'on remplace les éléments 4,, de la ligne © par les quantités
u we = An + 2042 le nouveau déterminant D' pourra être mis sous la forme ! ! ; re D' — De —D+2 04. De — D
et ne différera pas, par conséquent, de D.
