Abordons maintenant le cas général

Considérons un «ystème (A) d'équations aux dérivées partielles

(») Nous supposons, évidemment, que les r constantes qui figurent dans la fonction <p sont essentielles (vvesentlich), c'est-à-dire qu'on ne peut pas diminuer leur nombre. Foir S. Lie, Théorie der Transformationsgruppen, t. I, Chap. l.

l6 C. BOURLET.

simultanées entre/? fonctions inconnues s^, ^j, .. ., 5^ et w variables indépendantes a:^ , x^^ . . . , x^*

Imaginons que, en adjoignant aux équations du système (A) les équations qu'on en déduit en les dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à a?,, a?2, . . . , ^«, on puisse former un système (B), équivalent au système (A), tel que, si ^,, ^3, ..., Sp sont, respectivement, les ordres des dérivées d'ordre le plus élevé de :?,, z^, ..., Zp qui figurent dans le système (B), un certain nombre des équations de ce système puissent être résolues par rapport à toutes les dérivées d'ordre $^ de s,, d'ordre s.^ de :?2» •••» d'ordre 5^ de Zp. Je dis que, dans ce cas, le système (B) et conséquemment le système (A) admettent comme système le plus général d'intégrales, un système dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, à moins qu'il ne soit formé d'équations incompatibles.

Kn effet, en tirant du système (B) les valeurs des dérivées d'ordre s^ , ^2, . . . , ^^ de 5i , 5^, . . . , s^, en fonction des dérivées d'ordres respectivement inférieurs, et en portant ces valeurs dans les équations restantes, on pourra raeftre le système (B) sous la forme suivante

ja,4-a,-+-...4-a„^^.

où les fonctions /«..a, a„ ^^ ?a désignent des fonctions de x^, x^y . . . , Xn^ de 5^, z^, ..., Zp et leurs dérivées d'ordres respectivement inférieurs à 5,, *2, ..., Sp, et oii, pour chaque indice i, on donne à a,, «2, .... a^ toutes les valeurs entières, positives ou nulles satisfaisant à Tégalité

«1 -h «2 H- • • • -+- «rt ^= "^Z-

Cela étant, introduisons, comme nouvelles fonctions inconnues, toutes les dérivées de z^, z^. ..., Zp d'ordres respectivement inférieurs 2i s^y s^, , , ,, Sp ^\\ posant

pour

Le système

^^ - —A,,.. ,oik^\ a« (ai-+-a2 4-...-ha*-h...H-a« = 5/— 1),

OÙ ç^, • . ., 9y sont des fonctions de 0?^, . . . , .r„; 5,, . . ., ^^ et des quantités /?â„...,a^ est évidemment équivalent au système (B), c'est-h-dire qu'à tout système d'intégrales de (C) correspond un système d'intégrales de (B) et inversement. Nous avons vu, d'ailleurs, que le système le plus général d'intégrales de (C) dépendait d'un nombre fini r de constantes arbitraires, et qu'on peut ramener sa recherche à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. Il en sera donc de même pour le système (A).

Remarque, — Posons

On voit alors aisément que le nombre r est au plus égal à

6. Réciproquement, considérons/? fonctions 5,, ^a* • • •» ^p de a?,, a*a, ..., Xn et de r paramètres arbitraires a,, a^, ..., a^,

(les paramètres sont évidemment supposés essentiels).

Je dis qu'on peut trouver/? nombres ^,, ^2» •••» ^,» tels que les dérivées d'ordre ^1, ^2» ...» ^^ de -s,, ^2, . .., 5^, par rapport à a?,, iCa, . . ., Xn, puissent s'exprimer en fonction de x^, x.^, ..., x^, z^, s,^, ..., z^ et des dérivées de ces fonctions d'ordres respectivement inférieurs à 5,,

Choisissons, en effet, p nombres entiers positifs ou nuls, a^, o-g, ..., (jp, tels qu'on ait

et

l8 G. BOURLET.

Écrivons toutes les équations suivantes :

et

Le nombre total des équations (22) et (23) est égal à

et, par suite, est supérieur à r. Si, parmi ces équations, on peut en trouver r résolubles par rapport à a,, «a» ..., a^, on tirera de ces équations a,, «2, . .., «^ en fonction de a?,, ...,07;^; 5,, . . ., 5^ et des quantitéspp^ ^ p^, et, en portant ces valeurs dans les équations (24), on aura exprimé les dérivées d'ordre a, des fonctions zi en fonction de Xf,, z^ et des dérivées, d'ordre inférieur à cr,, de z^.

Si ceci est impossible, c'est qu'il existe au moins une relation entre

r quelconques des quantités —^ — -r-^- D'ailleurs, il est impossible

que ces relations puissent être résolues par rapport à toutes les dérivées d'ordre œ, — i des fonctions s,; car sans cela les fonctions (p, ne contiendraient, au plus, que (oi><T,2 -+-•••-+- w<j,- 2) constantes arbitraires, et les r constantes a,, a^, ..., a^ne sevdixent i^sls essenlielles.

Si toutes les dérivées d'ordre o"/ des fonctions ç/ s'expriment au moyen de ces fonctions elles-mêmes et de leurs dérivées d'ordre inférieur à 0"/, le théorème est démontré, sinon nous adjoindrons aux équations (23) et (22) les équations (24), qui contiennent dès lors

des dérivées > ^^ '^^ ^^ qui ne peuvent pas s'exprimer en fonction des dérivées — ^^-(p, +...+ p„- <,.,).

Si le système ainsi obtenu est résoluble par rapport à a,, a^, ..., a^, on pourra exprimer les dérivées d'ordre (<I/H- i) des fonctions 5, en fonction des précédentes, sinon — En continuant de la sorte, on arrivera, soit à montrer que toutes les dérivées d'ordre Si des fonctions (f. s'expriment au moyen de (p, et de leurs dérivées d'ordre inférieur à s^.

soit à trouver des nombres ^4, s^, . . ., Sp, tels que r équations du système

soient résolubles par rapport à a,, ao, .., a^, et, en portant ces valeurs dans les équations

P''^^ «»""5^ïr~^« —^ (a,H-...-f-a„==.Ç/; 1-1,2, ...,/?),

on aura exprimé les dérivées d'ordre Si des fonctions zi au moyen de .07/^, Zi et des dérivées d'ordres respectivement inférieurs à Si.

7. Pour compléter enfin ce qui précède, nous démontrerons la proposition suivante :

Théorème V. — Étant donné un système (A) d'équations algébriques aux dérivées partielles simultanées entre p fonctions 5^, z^^ . . ., Zp et n variables indépendantes ic, , ^rj, . . . , a?;,, admettant au moins un système d* intégrales, toute équation algébrique aux dérii^ées partielles entre les mêmes fonctions qui est vérifiée par le système le plus général d'intégrales holomorphes du système (A) est nécessairement une conséquence algébrique des équations du système (A) ou des équations qu'on peut former en les déris^ant un nombre quelconque de fois par rapport à x^^ x^^ ..., Xj^.

Soit, en effet ,F=o une équation algébrique admettant /om/^^ les intégrales Ao/o/norpAe^ du système (A). Adjoignons au système (A) toutes les équations (en nombre infini) qu'on peut en déduire par des dérivations. Nous formerons ainsi un système (S) d'équations aux dérivées partielles, en nombre infini, qui sera équivalent au système (A). Si le système (A) admet au moins un système d'intégrales, le système (S) sera compatible et l'on pourra le résoudre par rapport à certaines des dérivées des fonctions z^,z^, ..., 5^, que nous appellerons dérivées de la première catégorie, de manière à exprimer ces dérivées en fonction des autres que nous appellerons dérivées de la seconde catégorie. Même on peut toujours faire cette résolution de telle façon qu'une dérivée quelconque de la première catégorie soit exprimée en fonction de

dérivées de la seconde catégorie dont les ordres soient au plus égaux au sien.

Les coefficients des développements, suivant les puissances croissantes de {xj,— xl), des intégrales du système (A), holomorphes au voisinage du point œ\, x\y ..., 37,% sont, à des facteurs numériques près, les valeurs des dérivées des fonctions zi pour x^--^ xl\ nous obtiendrons alors les intégrales les plus générales en donnant aux dérivées de la seconde catégorie des valeurs arbitraires, pour x^ — x\, . . ., ^n~~ ^l^ Gt en prenant pour les dérivées de la première catégorie, pour a7;t= «^A» les valeurs correspondantes fournies par le système (S).

En effet, nous montrerons plus loin que les développements ainsi calculés pour J3^, js^, ..., Zp sont convergents quelles que soient les valeurs initiales des dérivées de la seconde catégorie, pourvu que ces valeurs initiales restent comprises dans des domaines convenablement choisis. Il est clair, d'ailleurs, que ces développements vérifient le système (A); car, si

sont les équations du système (A) et si (/,), (/a), . . , (fg) désignent les fonctions de a?,, x^^ . .., ^/i qu'on déduit de f^f/^, . . .,y^, en y substituant à 5,, ^2, . . ., Sp les développements précédents, les fonctions (/«)» (/a)' • • ' (/y) seront identiquement nulles, puisqu'en vertu des conditions initiales ces {oncùons, ainsi que toutes leurs déri^^ées, sont nulles pour a?< — ^J, ... yX^ — xl.

Cela étant, remplaçons dans la fonction F toutes les dérivées de la première catégorie qu'elle contient en fonction des dérivées de la seconde catégorie. Si le résultat de cette substitution n'était pas identiquement nul, l'équation F~o fournirait une relation entre les dérivées de la seconde catégorie qu'on ne pourrait, par conséquent, prendre arbitrairement. L'équation F - o n'admettrait donc pas toutes les intégrales du système (A).

Ce théorème, joint aux résultats que nous avons trouvés dans les paragraphes précédents, nous permet d'énoncer la proposition suivante :

La condition négessaire et suffisante pour quun système (A) d'équations aux dém'ées partielles simultanées entre p fonctions z^^ z^, >.*', ZpCt

SUR LES EQUATIONS AUX DERrVEES PARTIELLES SIMULTANEES. 21

il variables x^ t x.^, . . . , a?„ admette y comme système le plus général d'intégrales un système dépendant d*un nombre fini de constantes arbitraires, ou soit incompatible, est, quen adjoignant aux équations de ce système certaines des équations quon peut en déduire en les dérivant une ou plusieurs fois par rapport àx^^ x^^ ,,,, Xj^y on puisse former un second système (B), équivalent au système (A), tel quon puisse tirer de ce système TOUTES les dérivées des fonctions 5, , s^, . . . , Zp^ respectivement, d'ordres ^{9 ^2^ » ' . fSp en fonction de x^^ x,^, » . , , a?„, z^ , z^^ . . . ♦ ZpCtde leuis dérivées d'ordres respectivement inférieurs à s^, s^^^ . .>, Sp,

Lorsque cette condition est remplie, on peut ramener V intégration du système (A) à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaire du premier ordre.

Nous allons appliquer la méthode que nous venons d'exposer k quelques exemples :