Exemple I {^). — Soit à intégrer les deux équations
d'^z dz d^z on voit immédiatement qu'on a
dx^ ôx ôy âx^ dy Oy^ d^z â^z d^z d*'z
dx dy^ âx^ ' dy^ âx ôy
Prenons comme nouvelles fonctions les dérivées premières et secondes, et nous sommes ramené au svstème
dz
dx P'
dz
dy ^'
àp ^
dx '
ày ''
dx '
dy ''
dr
dx *'
dy ''
dt
dx ''
dt dy
ds
(*) roir Valyi, Journal de Crclle, t. 95.
dp
ày ''
ds
dx P'
ds
ày '
avec
L'application de notre méthode (théorème IV) nous conduit au système complètement intégrable
dz dz
,ài=P' Ty^^'
' dq dq
et la transformation de du Bois-Reymond (théorème III) donne le système différentiel suivant
dz dp
dq ds
dont on tire, en intégrant, pour z,
5 = Ci-+- C, e^f'^^^-i- e ' C3 sin Y «(ï — ^) -+- C4 ces î^ «(i — r) .
En remontant aux anciennes variables, on en conclut que l'intégrale générale du système proposé est
où Co Ca, C3, C4 désignent quatre constantes arbitraires Exemple II. — Considérons le système
d^z -, - . dz dz
dxdy •' ^ ' dx dy
o\x/\z) désigne la dérivée d'une fonction de z. On a immédiatement
les trois dérivées secondes
Le système auxiliaire est alors
dz dz
t-^rw. !=/'(=). |=/'(^). | = i/'(.)
avec
Il se ramène au système complètement intégrable
dz àz p
àx ^' dy a '
Posons £p = w, j = w(^, et il nous reste à intégrer le système différentiel
on en conclut que l'intégrale générale z dépend de deux constantes arbitraires et est Fournie par la relation
dz
- -^^ : = ax-^ y -^- Cl.
Exemple III. — Soient les deux équations
,^*log5 , d^z
^ ôx dy * dx ôy '
on en tiref'acilement
dz dz
d^z n tàx d^z d^z o , ^K
dy^-"'^^^ ~dr d^dy-"""' Ty^'-'^""^ "5^
dy dx
on est amené au SYStème
dz
dx '
dz
ày
àp .
dx
àp
ày~
dx
dq
ày
— 3as'
avec la relation
(B) pg -^ az^~o.
Si l'on écrit les conditions d'intégrabilité du système (A), on trouve la condition nouvelle
2pq H- 3as'=:0,
qui, jointe à la condition (B) et au système (A), nous montre qu'il faudrait avoir 5 = 0. La seule intégrale du système proposé est donc
Exemple IV. — Soit à intégrer le système
â^lo^z ^ â^z â^z dx ày "*' âx^ ~ ây^
On en tire immédiatement les quatre dérivées du troisième ordre en fonction des autres
ô^z ô^z àz i dz / âz\^ I ô^z dz i dz d^z
dx^ dxdy^ ^dy z- dx\dyj z dx dy dy z dx 5/*'
d^z __ d^z dz ]f^^Y ^- l à^^ àz i dz d^z
dx'*' dy ~ dy^ ^dx z^\dx) dy z dr* dy z dx dx dy*
11 nous faut donc prendre comme nouvelles fonctions les dérivées premières/?, q et les dérivées secondes r, s, t. En appliquant la méthode
générale, on est alors ramené au double système
(?5 dz
et
dx P'
ày ^'
dp .., dx '
àp „.,
ày
dx
pç
dr , dx ^"^
<^/* 3 qr
dy-'^^P'^z
Le système (A) est complètement intégrable, comme il est aisé de le vérifier; l'intégrale générale du système proposé dépend donc de quatre constantes arbitraires.
Le changement de variables x = u^y = uv nous conduit alors au système d'équations différentielles suivant :
l dz
au '■ '
^ ^ r -h r \az^-\- ^ j,
du
au z
dr ^ . V '• ,
Soit p(w) la fonction elliptique de M. Weierstrass, qui dépend de deux constantes arbitraires ^2 et g», et est définie par l'équation différentielle
en posant
aC C. BOURLET.
l'intégrale générale du système (C) est
rr=3a[p'(9)--p«(T)].
L'intégrale générale du système proposé est donc
intégrale qui dépend bien de quatre constantes arbitraires gi, g^, a, ^. Il y a un cas particulier intéressant : c'est celui où l'on a
tr^ 'Jt'^ J2^*
Dans ce cas, la fonction p(u) dégénère et l'intégrale (I) prend la forme
où A, a, p désignent trois constantes arbitraires.
D'autre part, il est aisé de vérifier que les deux fonctions
qui dépendent chacune de deux constantes arbitraires, sont aussi des intégrales du système proposé. On voit donc que, pour h = k^ la différence 5, — 5^ ^st une intégrale. Les intégrales z^ et z^ se déduisent de rintégrale (II) en donnant une valeur infiniment grande à l'une des deux constantes a ou p. On peut, d'ailleurs, trouver immédiatement ces deux intégrales en cherchant les intégrales du système (C)
SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. l'J
qui vérifient les deux relations
où Ton a posé e = ih i. Ce sont aussi les intégrales générales des deux
systèmes
(JMogs ^ dz dz-
dx dy *"* dy dx
