Définitions

I. Étant donné un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, linéaire, entre m fonctions w,, u.^, .,., u^ein variables indépendantes a?,, iPj, . . . , x^^ résolu par rapport à un certain nombre

des dérivées 3— ^ x

OXk

nous dirons que ce système est mis sous forme canonique ou» plus brièvement, est canonique si les fonctions ^Hf de a?,, ^n» • • • • ^«î "o 1/2, . .. , u,n^ et des dérivées de w,, a^, ... , u^ (qui contiennent, d'ailleurs, linéairement ces dérivées) satisfont aux conditions suivantes : \^ 4'/A ne contient que des dérivées par rapport aux variables (c^ dont l'indice h est égal ou supérieur à k;

a° Si une dérivée ~ d'une fonction Uj par rapport à la variable oc/^

figure dans ^p/A> l*indicey de cette fonction est supérieur à i. ^

Un système canonique pourra donc être écrit sous la forme

OÙ les quantités a^jjj sont des fonctions de x^, x.^ x^-, /v,.

II. Étant donné le système canonique (2), nous dirons que la variable Xr est principale ou paramétrique par rapport à la fonction u^ suivant que la dérivée ~— figure dans un des premiers membres des équations (2) ou n'y figure pas.

Nous dirons, de même, qu'une dérivée d'ordre quelconque de m, est paramétrique si toutes les variables par rapport auxquelles cette dérivée a été prise sont paramétriques ; dans le cas contraire, nous dirons que cette dérivée est principale.

D'une manière plus précise, une dérivée sera simplement, doublement, ..., r-uplement principale suivant qu'elle contiendra i, 2, ..., r variables principales distinctes ou confondues.

III. Enfin un système canonique (2) sera dit complètement intégrable si les relations, qu'on obtient en écrivant que les deux valeurs d'une dérivée seconde doublement principale d'une fonction w,- sont égales, sont identiquement vérifiées en tenant compte des équations (2) elles-mêmes et des équations dérivées.

Pratiquement, voici comment on pourra vérifier si un système est complètement intégrable : on dérivera, une fois, par rapport aux variables œ^^ a?2, ...ycc^, toutes les équations (2). On obtiendra ainsi un système dont les premiers membres contiendront, au moins une fois, toutes les dérivées principales du second ordre des fonctions w,, ..., u^^. Nous prendrons alors dans ce système un système (A) d'équations dont les premierS|^|^mbres contiennent une seuk fois les dérivées principales des fonctions w^, . . ., w,;,. Désignons par (B) le système formé par les équations du second ordre restantes. Il est clair que les systèmes (2) et (A) pourront être résolus par rapport à toutes les dérivées principales du premier et du second ordre des fonctions W/.

En portant les valeurs ainsi trouvées des dérivées principales en fonction des dérivées paramétriques dans le système (B), les équations de ce système devront être identiquement vérifiées (*).

(M Les expressions principales et paramétriques sont empruntées à MM. Méray et Riquier {Annales scientifiques de r École Normale supérieure, 3" série, t. VIII, p. 23 ; 1890).

MM. Méray et Riquier nomm^nl passif s les systèmes que nous avons appelés complètement intégrables. Nous avons trouvé qu'il y avait intérêt à conserver l'expression complètement intégrable qui avait déjà été employée dans des conditions analogues.

10. Théorème VI . — Tout système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, linéaire, entre m/onctions u^, ,.,, u^^et n variables Xt , . . . , Xn peut (^avec un choix convenable de la notation) être mis sous forme