CANONIQUE

Soit, en effet, (A) un système d'équations aux dérivées partielles linéaires. Tirons de ce système le plus grand nombre de dérivées des fonctions w^ . . . » w,„ par rapport à la variable x^ qu'on en puisse tirer en fonction des autres. Nous pourrons toujours supposer, sans restric-

tion, qu on puisse ainsi tirer ^ > 3- j - • • ? -^ en fonction de a?. , . . . , Xn'y u^, . . ., u,n, de -4^^* > • • > -T-^ et des dérivées par rapport à ^Tg» • • • »

x„. En portant ces valeurs de -7-^ > • • ? -~ dans les équations restantes

du système (A), nous obtiendrons des équations linéaires et ne contenant plus aucune dérivée par rapport à a?, : soit (B) le système ainsi obtenu et (G,) le système formé par les équations résolues par rapport

à -j-^ > • • • ) -^-^ • L'ensemble de (G, ) et (B) est évidemment équivalent

au système (A), et (G,) satisfait aux conditions d'un système canonique.

Supposons alors que (B) contienne des dérivées par rapport à a?2 et résolvons d'abord le système (B) par rapport au plus grand nombre

des dérivées ^^ •••> -^-r P^^* rapport auxquelles on peut résoudre :

nous pouvons toujours supposer qu'on puisse ainsi tirer

et, en portant les valeurs de ces dérivées dans les équations restantes, on aura un système qui ne contiendra plus que des dérivées ^ pour lesquelles «est supérieur à/?. Résolvons encore ce système par rapport aux dérivées ^ qu il contient, nous tirerons ainsi -r^^—y •••> -tzt'

en fonction de m, , . . . , w,„ ; ^, , . . . , x^f des dérivées J"^^"^' j • • > -r^ et des dérivées par rapport aux variables x^, . . . , a7„. Par cette opéra-

3o C. BOURLET.

tion, nous aurons remplacé le système (B) par un système (G2) canonique, formé d'équations résolues par rapport aux dérivées -^ et un

système (C) ne contenant plus que des dérivées par rapport aux variâmes cc^^ ^4* • • • » *^n*

Supposons que le système (C) contienne des dérivées par rapport

1® Nous en tirerons toutes les dérivées j-^j pour lesquelles

âx^

soit

qu'on peut tirer, et nous porterons leurs valeurs dans les équations restantes, qui ne contiendront plus que des dérivées ^, pour lesquelles i est supérieur à p ;

2*^ Des équations restantes, nous tirerons les dérivées -t~^ > pour les-

quelles

qu'on peut tirer; soit

et nous porterons leurs valeurs dans les équations restantes; 3*^ Nous tirerons de celles-ci les dérivées -~^y pour lesquelles

soit

dup^^ dup , y- ,

4° Nous tirerons les dérivées 3— ' > où

ox^ i>p -^q;

soit

Ollp\-q->t\ ^U p-^q-^h

Ox^ âxi

SLR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. 3ï

Nous décomposerons ainsi (C) en deux systèmes (G,) et (D) : (G») étant canonique et résolu par rapport aux dérivées ^' > (D) ne contenant plus que des dérivées par rapport à a?», ..., x^. L'ensemble des systèmes (G|), (Gj), (G3), (D) est évidemment équivalent au système (A); en continuant la résolution de la sorte, on voit bien que Ton finira par remplacer le système (A) par un système (G|), (Ga), . . . , (G;.) canonique équivalent, (G^) désignant un groupe d'équations résolues par rapport aux dérivées -."-•

Remarque. — Le procédé que nous venons d'exposer semblerait tomber en défaut si, au bout de k opérations, par exemple, on trouvait un système (G|), (Gj). . .., (G^), (L) équivalent au système (A), et tel que le système (L) ne contienne plus aucune dérivée des fonctions M,, «2* • » "/«» mais, dans ce cas, les fonctions m,, Ma, . . ., w,„ vérifiant le système {k) seraient liées par les relations (L), qu'on pourra résoudre par rapport à un certain nombre d'entre elles, de façon à les exprimer en fonction des autres et des variables j?,, ..., x^* En portant ces valeurs dans les équations (G,), ..., (G^), on aura un système (A') linéaire, contenant un nombre moindre de fonctions, on mettra le système (A') sous forme canonique, et finalement le système (A) sera remplacé par l'ensemble d'un système canonique (F) et d'un système (R) de relations ne contenant aucune dérivée.

Il suffira donc d'étudier le système (T).

Théorème VII. — Dans tout système canonique ^ les dériçées secondes ^ SIMPLEMENT PRINCIPALES, dcs fonctions incomiucs pcuvent être calculées au moyen des équations du système en fonction des dérii'ées premières et des dérivées secondes paramétriques et chacune déciles a une valeur bien