DÉTERMINÉE

Soit, en effet, le système canonique

'djc~ ~^'* («=^1,2, ...,m).

Supposons que les variables â?;.^,, .. ., x^, soient paramétriques pour

toutes les fonctions, et rangeons les équations de ce système en un Tableau rectangulaire, de telle façon que l'équation

occupe la ligne de rang i et la colonne de rang k. Le Tableau aura ainsi m lignes et r colonnes; d'ailleurs, certaines des cases de ce Tableau pourront être inoccupées. Remarquons, tout d'abord, que toutes les

dérivées simplement principales -x — -~— où l'indice h est supérieur à r

seront immédiatement fournies en fonction des dérivées premières et des dérivées paramétriques par

car le second membre ne contiendra que des dérivées premières ou des dérivées secondes paramétriques.

Supposons en second lieu que h soit inférieur ou égal à r. Dans le second membre de l'équation (B), il pourra figurer certaines dérivées secondes simplement principales, caroTy^ est principale pour certaines

fonctions. Supposons, par exemple, qu'il y figure la dérivée -x — ^'^« Le

système étant canonique, /sera plus grand ou égal à k.

1** Soit /= A. Reportons-nous alors à la colonne de rang h dans laquelle figure l'équation

et dérivons par rapport a o*^

Remarquons que, puisque -~- figure dans •j'/^, c'est que 5>« et

l'équation (C) se trouve dans une ligne plus basse que Téquation (A). Le second membre de l'équation (D) peut contenir des dérivées

principales. Supposons qu'il contienne ^ — ^ — ; t sera égal ou supérieur à h.

(a). tz=zh\ alors /?>5>/, et nous serons ramenés à la colonne de rang k, mais dans une ligne de rang supérieur à L

(è). t^h: nous serons ramenés à considérer l'équation

dup ^

^pk

de la colonne de rang A, et si l'équation

contient, dans le second membre, une dérivée principale, il nous faudra revenir à la colonne / de rang supérieur à h.

2^ Soit /> ^. Considérons l'équation (C) et dérivons-la par rapport a cvi •

Si dans le second membre il existe des dérivées secondes simplement principales, on sera ramené à considérer une équation de la colonne de rang /, où /> A:.

Remarquons qu'en continuant de la sorte le cas /— ^, /~A [i°, (a)] ne pourra pas se présenter indéfiniment, car, puisque à chaque fois on est ramené à une équation située dans une ligne de rang plus élevé, on arrivera au moins, au bout de /w opérations, à considérer une colonne de rang supérieur k A ou ^.

On en conclut que, par la suite, on arrivera finalement soit à une dérivée seconde, simplement principale, qui s'exprime en fonction des dérivées paramétriques, soit à considérer une équation de la colonne de rang r,

En dérivant par rapport à Xj, on obtient B.

Si le second membre contient des dérivées principales, elles seront ou bien de la forme -^ — ~ — qui sont connues, ou bien de la forme

^ — ^ — Dans ce dernier cas, on sera ramené à considérer une équation

de la colonney, qui pourra, tout au plus, vous conduire à une équation de la colonne r située dans une ligne de rang supérieur k y, et au bout d'un certain nombre d'opérations on arrivera nécessairement à quitter la colonne de rang r, c'est-à-dire à exprimer les dérivées en fonction des dérivées simplement principales connues de la forme

dxj dXr+a

On voit par là qu'on pourra ranger les dérivées secondes, simplement principales, en une ou plusieurs séries, telles que la (p -h i)*^"»* dérivée d'une série s'exprime au moyen des/? premières, et, par suite, qu'on pourra calculer toutes les dérivées de proche en proche, et que leurs valeurs seront bien déterminées.

H. Lemxe. — Si l'on désigne par [x, a^, a^, . . . , a„, P,, Pa, . . . , ^m des constantes positis^es quelconques y par t une constante positive plus petite que I , et si Von pose, pour abréger,

le système différentiel total, complètement intégrahle suivant

admet un système d* intégrales holomorp/ies au voisinage du point a?! = a?2 = . . . = ic„ = o, qui, pour cc^=: x^^ . * - = Xn= o se réduisent à zéro, et dont toutes les dérivées ont des valeurs essentiellement réelles et POSITIVES pour a?! = a^jj = . . . = 07;, = o.

(Nous renverrons le lecteur, pour la démonstration de ce lemme, au Mémoire déjà cité de MM. Méray et Riquier, p. 47-)

12. Théorème VIII. — Étant donnée d'une part, le système canonique COMPLÈTEMENT INTÉGRABLE d'équutions linéaires aux dérii^ées partielles du premier ordre

entre m /onctions Ui, u^, .... u^ et n variables x^^ a?,, .. . , x^^ et, d'autre part y m fonctions arbitraires (f^^ Ça, ..., Ç;,, des variables a?|, a?2, . . . , x^, holomorphes au voisinage du point x^=^x\^ ... ^ Xn=^ x^, telles que (p,- ne contienne que celles des variables x^ qui sont paramétriques POUR LA FONCTION W/ et sc réduisent respectii^ement à u\^ u\, ..., w^, pour XifZ=zxl.

Si les coefficients a^J sont holomorphes au voisinage des valeurs 0?^^ = a?J, Ui=zu% il existe un seul système de fonctions a,, «2» •••• "m» holomorphes au voisinage du point Xif= xl^ vérifiant le système (2) et telles que Ui se réduise à Ç/ lorsqu'on y remplace les variables Xk% quisont principales pour elle, respectivement par x\.

Remarquons, tout d'abord, que nous pouvons toujours supposer que les fonctions ç, sont identiquement nulles et de même que a?2 = o; car cela revient à remplacer dans les équations (2) les quantités 1//

par W/— (p„ ~ par ^ — j^, et ensuite Xi, par x/,— a?jj, et il est

clair qu'une telle transformation conserve au système sa forme canonique et le transforme en un nouveau système complètement intégrable (*).

Gela étant, on voit que, s'il existe un système d'intégrales, holomorphe au voisinage du point a:;t= o, vérifiant le système (2) et tel que Ui se réduise i dentiqu ement à zéro, quand on y annule les variables principales, TescoêÏÏîcients des développements de ces intégrales seront fournis par les conditions initiales jointes aux équations (2). En effet, les coefficients de ces développements sont, à des facteurs numériques près, les valeurs des dérivées des fonctions U/

(1) 11 faut cependant que les dérivées t^' des fonctions ^i soient holomorphes au voisinage du point xi = jc}, . . . , x^ = x%.

pour a?, = , , . = x„= o

En vertu des conditions initiales, les valeurs de toutes les dérivées paramétriques seront égales à zéro pour o^i = . . . = iP^ = o. En différentiant convenablement les équations

par rapport à des variables paramétriques pour w/, puis en faisant or, = ^Co = • • • = ^/i = o> et en remplaçant les fonctions w/ et leurs dérivées paramétriques par zéro, on aura toutes les valeurs des dérivées simplement principales pour a?^ ==... = a?„= o, et ces dérivées seront bien déterminées, en vertu du théorème VII, puisque le système (2) est canonique.

Si l'on différentie, ensuite, les équations une fois par rapport à une variable principale et un nombre quelconque de fois par rapport à des variables paramétriques, elles fourniront les dérivées doublement principales en fonction de x^, . . ., cc^ des fonctions «/, de leurs dérivées paramétriques et de leurs dérivées simplement principales, et, comme le système est complètement intégrable, elles fourniront une seule valeur pour chacune de ces dérivées. En annulant alors toutes les variables, les fonctions et leurs dérivées paramétriques, et en donnant aux dérivées simplement principales les valeurs calculées, on aura ainsi les valeurs des dérivées doublement principales pour

En ditférentiant les équations (2) deux fois par rapport à des variables principales, et un nombre quelconque de fois par rapport à d^s variables paramétriques, elles fourniront les valeurs des dérivées triplement principales en fonction de a?,, ... , a?^, de m,, . . . , W;„ et de leurs dérivées paramétriques, simplement et doublement principales. D'ailleurs, le système étant complètement intégrable, il est aisé de se rendre compte que Ton n'obtiendra ainsi (\\xune seule valeur pour chacune de ces dérivées. En annulant les variables, les fonctions w, et leurs dérivées paramétriques, et en donnant aux dérivées simplement

SUll LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. 37

et doublement principales leurs valeurs calculées précédemment, on obtiendra ainsi les valeurs de toutes les dérivées triplement principales pour â?, = iC2 = . . . = iF» = o.

En continuant de la sorte, on calculera, évidemment, sans ambiguïté, les valeurs initiales de toutes les dérivées principales.

Ceci nous montre, d'abord, que s'il existe un système de fonctions m,satisfaisant à l'énoncé, il en existera un seul. D'autre part, il est aisé de se rendre compte que, si les développements formés avec les coefficients calculés comme nous venons de l'indiquer sont coiwergentSj les fonctions régulières w, qu'ils représentent vérifient les équations (3). En efl^et, désignons par ^,4 la fonction de a?,, a;^, ... , x^ que l'on obtient en remplaçant les quantités m, dans les expressions

par ces développements. Les fonctions ^//^ seront, d'après la manière même dont nous avons calculé les coefficients des développements, nulles ainsi que toutes leurs dérivées pour a?, = a:^ = . . . = o^^j =:= o ; elles sont donc identiquement nulles, puisqu'elles sont holomorphes.

Pour démontrer le théorème, il ne reste donc plus qu'à démontrer la convergence de ces développements.

Nous rappellerons d'abord la proposition suivante : Étant donnée une fonction /(ic,, ...,a7,„ w,, ..., u^) des variables x^ et Ui bolomorphe au voisinage des valeurs 0?)^= o, W/= o dans un domaine de rayon p, soit M une quantité positive supérieure ou égale au plus grand des modules des diverses valeurs que la fonction acquiert lorsque les variables prennent toutes les valeurs possibles dans des domaines de rayons p autour de leurs valeurs initiales. La fonction suivante

MB(t)=: > où T= aj^, -h. . .-h a/i^«-l-{3i«|-f-. . .-i-Pm«m>

et dans laquelle ol^, ..., a^,, ^1, ..., ^,„ désignent des quantités

positives au moins égales à -» est majorante pour la fonction

/(a?^, ...,ir„, w,,...,w,„), au point rcyfc = o, W/=o, c'est-à-dire que pour Xf^= o, Ui= o, la fonction M0(t), ainsi que toutes ses dérivéeSy acquièrent des valeurs réelles, positives, respectivement supérieures ou

égales aux modules des valeurs de la fonction/(a:i , . . . , a?,^, M| , . . . , u^) et de ses dérivées correspondantes pour Xk=^ o, W/= o.

Cela étant, désignons par pi^ le nombre total des termes qui se trouvent sous les deux signes £ dans le second membre de Téquation

— i =a'^* 4-... du système (2) et considérons le système auxiliaire suivant

OÙ, dans chaque équation, sous les signes £, les indices y, ^ et A ne prennent que les valeurs qu'ils ont, sous les mêmes signes, dans l'équation correspondante du système (2) et où £ désigne une quantité positive plus petite que i. On voit, immédiatement, que si, dans les seconds membres des équations de ce système, on remplace les quantités ^ 3— > ^ -^ par -- :r-'> on retrouve des équations du sys-

tème (ci) du lemme. On en conclut que le système (2') admet toutes les intégrales du système (3) et, par suite, qu'il admet un système d'intégrales m, = ç^,u2—v^, ...,Ujn^= <^m> holomorplics au voisiuagc du point rp, =a?2 = ...= a?„= o, qui, pour ce point, se réduisent à zéro et dont toutes les dérivées ont des valeurs positives pour o?, = a?2 — . . . = a;^ = o. Soit, alors, p le rayon du domaine de régularité des fonctions a^ autour du point 0?^= o, u^— o et M une quantité positive égale ou supérieure au plus grand des modules des diverses valeurs de toutes ces fonctions dans ce domaine ;.je dis qu'on peut choisir les constantes (x, a^ et P/, de façon que l'on ait, à la fois,

— ^l^ Cy*>0» — ^~^M {h>k)

Pik Pi ^ Pik Pi (Xà ^

avec En effet, désignons par yj la plus petite des quantités — et posons

Pik

N = — > si on prend

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. ig

on vérifiera les inégalités

P Pik P«

(car on peut toujours supposer N > i). Soit, ensuite, r l'indice de celle des variables qui peuvent être principales par rapport à l'une quelconque des fonctions w/ dont l'indice est le plus élevé ; k ne pourra alors prendre que les valeurs i, 2, . . . , r. D'autre part, la plus petite valeur

que puisse acquérir le quotient?^ est évidemment j^-^^; on satisfera

donc certainement aux inégalités

en prenant

p Pik Pi «A

ce que l'on réalisera en prenant

Enfin, le plus petit des quotients |^ étant égal à ^^^hï? en prenant on vérifiera les inégalités

Les constantes [Ji, olj^ et ^/ étant ainsi choisies, on voit alors immédiatement qu'un terme quelconque dans une des équations (2') a pour coefficient une fonction majorante, au point a?;t=o, w/= o, pour le coefficient du terme correspondant dans l'équation correspondante du système (2).

De là on conclut immédiatement que les développements des intégrales (^,, ^2» .. , ^m du système (2') ont des coefficients positifs et qu'un coefficient quelconque de s^i est une quantité positive supérieure

4o G. BOIJRLET.

OU égale au module du coefficient correspondant calculé pour le développement de l'intégrale w/ du système (2). En effet, les dérivées paramétriques de i^i sont supérieures aux dérivées paramétriques correspondantes calculées pour Ui (pour x^= o), car les premières sont positives et les secondes sont nulles. Désignons par ç'? ce que devient i^i quand on y annule toutes les variables principales par rapport à «/. Il existe un système d'intégrales ^,, . . . , (^,„ du système (2') telles que, lorsqu'on annule les variables principales, elles se réduisent respectivement à ^î» .... ^1» ^t, en faisant un raisonnement identique au raisonnement fait précédemment, on montrerait qu'il n'existe qu'un seul système satisfaisant à ces conditions, et que les coefficients des développements sont fournis par les équations (2') jointes aux conditions initiales (*). Les dérivées principales des fonctions ^1, ..., ^,„ pourront donc être calculées au moyen des dérivées paramétriques, de la même façon que nous l'avons fait pour M<, ..., M;„ dans le système (2); et l'on voit que l'expression d'une dérivée principale de ^/, pour a?^ = a?2 = . . . = ^r^j = o se déduit de l'expression de la dérivée correspondante de u^ en y remplaçant les dérivées des fonctions w,, ..., u^ par les dérivées correspondantes de ^<, . . . , (^,rt et les coefficients par des quantités positives, supérieures ou égales à leurs modules. Une dérivée quelconque de ^/ est donc une quantité positive supérieure ou égale au module de la dérivée correspondante de w,, calculée pour x,f= o.

Les développements des fonctions ^^, ..., r,/i étant convergents, il en est donc de même des développements calculés pour m,, . . . , u^.

13. Corollaire. — Le système d'intégrales holomorphes dont l'existence est démontrée par le théorème VII est le système d'intégrales holomorphes le plus général qui vérifie le système canonique, complètement intégrable (2).

En effet, soit a',, 1/!^, . . . , w',„ un système quelconque d'intégrales du système (2) holomorphes au voisinage du point x^ = a:®, . . . , a?^= ^r®. Soit Ç/ ce que devient u- lorsque l'on remplace dans cette fonction les

(*) Remarquons que le système (2') n'est pas nécessairement complètement intégrable. Mais ici cette condition n*est pas nécessaire, puisque nous savons d'avance qu'il existe au moins un système d'intégrales (^i, « . ., Vm satisfaisant aux conditions initiales.

SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉIUVÉES PAIITIELLKS SIMULTANÉES. [\l

variables principales pour ui par les valeurs initiales : le théorème VII nous apprend qu'il existe un système d'intégrales du système (2), holomorphes au voisinage du point Xk=^ocl, et un seul tel que W/ se réduise à cp,- lorsqu'on y remplace les variables principales par leurs valeurs initiales. Ce système est donc, nécessairement, le système a'^,

1*2 » • • • 1 ^ffi*

Il pourra arriver qu'un même système linéaire d'équations aux dérivées partielles du premier ordre puisse être mis de plusieurs manières sous forme canonique complètement intégrable.

A chacune de ces manières correspond, au moyen du théorème VII, une forme du système le plus général d'intégrales, mais ces diverses formes ne sont pas distinctes.

Ainsi, considérons, par exemple, le système

du -, du

OÙ H désigne une constante non nulle. Il est susceptible des deuN formes canoniques, complètement intégrables, suivantes :

du du

,^ , dx~ dy*

Oi' u I de

dx H H dr

et

du (' I du

, 57""" H "^ïî Jx'

i dr H ^^'

V dy dx

La forme (B) montre que le système admet un système d'intégrales tel que, pour a; = Xq, m et (^ se réduisent respectivement a deux fonctions données à l'avance de/, Çi(v), ?2(y)- La forme (C) nous apprend qu'on peut trouver deux intégrales u et ^ qui, pour y = jo» se réduisent à deux fonctions arbitraires de x, 4'i(^)» ^2(^)- En vertu de notre corollaire, on pourra toujours déterminer les fonctions ç, et ç.^ de façon que le système d'intégrales correspondant à la forme (B) B. 6