C. BOU
coïncide avec tel système holomorphe que Ton voudra correspondant à la forme (C) et réciproquement.
14. Ce qui précède nous prouve donc que, étant donné un système linéaire canonique complètement intégrable, pour que ce système admette un système d'intégrales régulières satisfaisant à des conditions initiales données, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer les fonctions arbitraires ç,, ?2» ••• » Ç/nque contient l'intégrale générale définie par le théorème Vil, de façon à vérifier ces conditions.
Considérons, par exemple, le système (A) du n^ 13. Rien ne prouve qu'il existe un système d'intégrales i/ et ^ de ce système et tel que, pour X = j7o» u se réduise à une fonction donnée de y, ç( j), et, pour yz=y^^ (; se réduise à ^(^). M. Méray (*) a, effectivement, montré que, si H<i, il existe un système d'intégrales satisfaisant à ces conditions, mais que, si H > i, il n'en existe pas.
On peut, cependant, donner un énoncé un peu plus général du théorème VII, de la façon suivante :
Supposons que les l'ariables J:^r4-i » -*^V^-2» • • • » ^'/* soient paramétriques par rapport à toutes les fonctions w, , w^, . . . , «/,„. Soient alors
r fonctions des seules variables a7;.^.,, . . . , x^, holomorphes au voisinage du point j?"^, , . . . , a?^, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre. Le système (2) admet un système d'intégrales w,, i/j, . . . , w,„, régulières au voisinage du point x^^^ . . . , x^ et telles que Ui se réduise à une fonction donnée à l'avance cp^ des variables paramétriques pour u^^ lorsqu'on y remplace ses variables principales X/^ respectivement par les fonctions gt^^.
Ce cas se ramène immédiatement au cas du théorème VII, en faisant le changement de variables
«iPj — ^1 ~r~ uTi, m . . y **-;• — *Z' f, ~r~ w/', ** r+-l — r+ 1 > • • • > X/i — *^fi •
(') Foir MÉRAY, Comptes rendus rie l'Académie des Sciences, t. CVI, p. 648, et Méray et RiQUiRR, toc, cit.
15. Un cas particulier 1res intéressant des systèmes canoniques est le suivant : Considérons le système
/ du,
ôu^
ârtt
dx^
âXr
âxr^i
f+ti
âii^
âtt^
â/tn
' àx^
dXr
âXr^x
àfi,„ ' âx,
àUn,
dup
àXr-^X
dans lequel les variables a;,, ^r^, ..., x^ ^oni principales pour ^ow^e^ les fonctions m,, .... w,;, : les variables ^r+a» ^r+s» • • • » ^w sont /?arametriques pour /0M/e5 ces fonctions, et la variable x^^^ est principale pour u^y U.2J ..., Up et paramétrique pour w^+.|, .... i/,„. Si un tel système est complètement intégrable, il admet, en vertu du théorème VII, un système d'intégrales u^, u.^, .... n,„ tel que, pour x^ = x% X2 — ^2» • • • > *^r ' — r' r+i — *^f+» » '*i » ^2» • • • ♦ ^p sc rcQUiseni a p fonctions arbitraires ç,, «p^, ..., ç^ des variables 07^4.2, .... «a?n» et, pour a?, = a?", ..., ip^ = a^", w^^,, //^^.j, ..., a^^ se réduisent à (m — p) fonctions arbitraires ?^i, ?/»-»-2> .••» Çw des variables x^^^, Xr^2* ...» «x^n. Faisons alors le changement de variables suivant
le svstème se transformera en
X«,i> •••' X7" — X«,'» ::it; — Xi, '•-*-!»
r-Hl
~-Xi.'»
du,„
et le nouveau système (5) admet un système d'intégrales u\,u,^, . . . , u[,^ correspondant au système d'intégrales m^, m^, . . . , u,n de (/»), tel que, pour j^ = o, m',, r/!,, . . . , Il se réduisent à O,, O2, . . , O^, et, pour
Vl C. BOrRLKT.
7i = <>j Jr-h« = o, w^^,, ..., 7/'^ se réduisent k$^x,, ..., $,„, et cela, quelles que soient les valeurs attribuées à Vj, Va, ...» Vr» pourvu qu'elles soient finies ($•,, $3, ..., <I>^, */,+m •••♦ *m désignent ce que deviennent les fonctions ©,, O2, . ., 9^, ?/,+<, .. ., y^» quand on y fait le changement de variables). Or, si Ton considère le système
dfim __ dtip
OÙ Ton considère ja» Vs, ...» jr comme des paramètres, ce système admet un système d'intégrales régulier et un seul tel que, pour y, = o, y^^j = o, u^, ..., Up se réduisent à O^, ..., $p, et, pour y, = o, ^p^if • •» ''m se réduisent à 0^^.^ $;„ : c'est donc, nécessairement, le système u\, u[^ u^.
L'intégration du système (4) est donc ramenée à l'intégration du système plus simple (G).
Dans le cas oix p = m, on sl les systèmes de M. J. Kônig (*), dont l'intégration se ramène donc à un système de m équations, c'est-à-dire un svstème de la forme de ceux de M™* de Kowalewski, où le nombre des équations est égal au nombre des fonctions inconnues.
16. Il est naturel de chercher alors s'il ne serait pas possible, dans tous les cas, de trouver un changement de variables tel qu'on puisse transformer un système quelconque linéaire en un autre système qui soit susceptible de prendre la forme canonique (4).
Nous montrerons d'abord qu'il sulfit d'essayer un changement de variables linéaires. Soit, en effet,
un système linéaire d'équations aux dérivées partielles du premier
C*) J. KoMCf, Mathemathche Annnlen, I. 23, p. 5'>.o.
ordre. On peut toujours supposer que '1»,^ ne contient pas explicitement les variables indépendantes ir,, cc,^, ..., jr,t, car, s'il n'en était pas ainsi, il suffirait d'introduire n fonctions nouvelles /<, /o» •••» ^«' et de considérer le svstènfie
lp^z:zO {h-^k)y ^-zl (/i, A--:.: 1,2, ...,«),
OÙ ('Im) désigne ce que devient '|,vt quand on y remplace respectivement a?,, X2, . .. , ir„ par /|, ^2» • • • » ^/i* Le système (7') est évidemment équivalent au système (7), pourvu qu'on prenne la valeur initiale de t,^ égale à la valeur initiale de a:/^.
Supposons donc que le système (7) ne contienne pas explicitement 07,, a?2, ..., Xn et faisons un changement de variables linéaires
,gv , 7j = aï ^1 -H aj J7j -h ...-t-aî^«,
7„ r= a7 ^1 -+- aï a:j -h . . . -f- a^* ^n •
Pour effectuer ce changement, il suffira de remplacer, dans les
du
équations (7), ^ par
OC/, r h a/. -T h ... 4- «z. -T )
et l'on obtiendra aussi un nouveau système linéaire (L) dans lequel les coefficients des dérivées sont des fonctions linéaires des quantités a^. S'il est impossible de résoudre le système (L) par rapport à
j-^' 3^-*' • •' -T-^' c'est que le déterminant des coefficients de ces m
dérivées dans m quelconques des équations du système (L) est identiquement nul, quelles que soient les valeurs des quantités a^. D'ailleurs,
il est clair que, si cette résolution est impossible pour -j-^î •••1 -j-^S
elle le sera aussi pour -^-^ > • • • > ~î> car rien ne distingue jusqu'ici y^ et jka- Imaginons, maintenant, qu'on fasse un changement de variables
46 ('- nOURLET.
quelconque
Cela revient à remplacer dans le système (L) aj^ par -.— ^ et, par suite,
si la résolution est impossible après avoir fait la transformation (8), elle le sera aussi après la transformation (9). Si la résolution du système (L) par rapporta ^S • •> -r-^ est possible, pour des valeurs
convenablement choisies des quantités a*, on pourra remplacer le système (L) parTensemble du groupe (G,) de m équations résolues
par rapport à ^> • • • ; -^-^5 et d'un système (L') ne contenant plus de
dérivées par rapport kj^<. Il faudra ensuite chercher à remplacer les variables ^2t •••» Jn par de nouvelles variables js^, ..., 5^, de façon que le système (L') se transforme en un système résoluble par rapport
k^> •••' ^"' et, d'après ce que nous venons de voir, il suffira de
chercher une formation linéaire; et ainsi de suite. Comme une suite de transformations linéaires peut être remplacée par une transformation linéaire unique, on en conclut que, si le système (7) ne peut pas être ramené à la forme (4) par une transformation linéaire, aucune transformation plus générale ne pourra le faire.
17. Il est maintenant aisé de montrer qu'il n'est pas toujours possible de ramener un système linéaire quelconque à la forme (4) par un changement de variables. Il nous suffira, à cet effet, de donner l'exemple suivant, où cela n'est pas toujours possible.
Considérons le système
au , dv ^,
ÔY OV
OÙ a, 6, a , b' sont des constantes, X' la dérivée d'une fonction de x et Y' la dérivée d'une fonction de j. Effectuons le changement
on a
du , du i àv ^ ,j àv
(X'), (Y') désignant ce que deviennent X' et Y' par la transformation.
du dv
dx' doc'
Le déterminant des coefficients de ^^7 et -.— est égal à
Donc, si ab' — ha! est différent de zéro, on pourra résoudre par rapport a -T^ et -.— ; mais, si ah' — ha' était égal à zéro, ce serait impossihle.
I" ab^ — ba\^o;
on pourra alors ramener le système (A) à la forme
^du . ^ du^ p dv
, dx' ' dy dy '
qui est canonique et complètement intégrable.
L'intégrale générale dépendra donc de deux fonctions arbitraires d'une seule variable.
Il est aisé de voir que, dans ce cas, l'intégrale générale est donnée par
ab'-ba'
[Y4-i^(^)]a-[X4-?(r)]a^ — ab'-ba'
OÙ 'i^{x) et 9(7) sont deux fonctions arbitraires.
2° ab' — ba'=^o;
supposons a^o. On pourra alors écrire le système (A) sous ia forme
du ___ \' h d^> ôx a a dx
\ dy a' a' dy^
qui est canonique et complètement intégrable. On voit que, dans ce cas, on peut prendre arbitrairement la fonction v. Le système le plus général d'intégrales dépend d'une fonction arbitraire de deux variables et d'une constante arbitraire. On voit sans difficulté que, dans ce cas, l'intégrale générale est
où '\ désigne une fonction arbitraire et C une constante arbitraire.
Remarque L — Dans l'exemple précédent, lorsque ah' — ba' = o, on ne peut pas trouver un changement de variables tel que les nouvelles
équations soient résolubles par rapport à y-^ et ^•
Ceci nous prouve que le théorème de M** de Kowalewski ne démontre pas l'existence des intégrales dans tous les cas où, dans le système à intégrer, le nombre des équations est égal au nombre des fonctions inconnues. Dans son Mémoire (Journal de Crelle, t. 80, p. 25) M"* de Kowalewski suppose que cette transformation soit possible en faisant, d'ailleurs, remarquer qu'elle ne peut assurer que cela soit toujours possible (*).
Remarque IL ~ Il semble que, dans le cas de ab' — ba' = o, on
pourrait résoudre le système (A) par rapport k ^ et 3- et considérer
X comme principale pour u, et y comme principale pour i^, et qu'on pourrait démontrer la convergence des développements calculés pour a et ^ en prenant, arbitrairement, les valeurs initiales des dérivées
(I) M"* de Kowalewski dit : « So bleibt, allerdings, noch zu untersuchen ob ein Gleichungssystem, von nichl normalor form, stets... auf ein normales zuriickgefUhrt werden konno, worauf ich hier nic/it elngehen kanii «.
paramétriques. On aurait alors un système d'intégrales général dépendant de deux fonctions arbitraires (ïune variable. Il n'en est rien, car il est aisé de se rendre compte que les dérivées simplement principales ne seraient pas bien déterminées. Si l'on cherche à calculer
T — T- et . > > on constate que les deux équations qui les fournissent
oxav oyojc ^ ni
ax a y ax a y
dx à y dx ây
sont identiques, en vertu de la condition ab' — bd — o. L'une de ces deux dérivées secondes serait donc indéterminée. Ceci nous montre, une fois de plus, l'intérêt qu'il y a à ne considérer que des systèmes canoniques pour lesquels ceci est impossible.
TROISIÈME PARnE.
18. Théorème IX. — L'intégration d'un système quelconque d'équations aux dérivées partielles simultanées, entre p fonctions s,, ^2, . . . , 5^ et n variables indépendantes a;, , x^, . . . , x^^ peut être ramenée à l'intégration d'un système linéaire d'équations aux déri\^ées partielles simultanées du premier ordre.
Désignons respectivement par s^^ s.,, . , , , s^ les ordres des dérivées de l'ordre le plus élevé des fonctions z^, z^, . . . , Zp, qui figurent dans les équations du système proposé (A). Introduisons comme nouvelles fonctions inconnues toutes les dérivées des fonctions :?,, ^3, . . ,, ^^ jusqu'à l'ordre ^1 inclusivement, pour Zt^s^ pour r^ ^^pour:;^, et
remplaçons, dans les équations, j^, )^a, J2 ~f P^"" ''«•«• «-• ^°"^ *"'
l'ons ainsi des relations
a>i = o, <Pî=o, ..., Oi=o B. 7
entre les quantités 5 et/?. Écrivons, d'abord, les équations suivantes
. . dzi ^ dzi . . .
vU '^~r — P\y9 0,0» •••» 3^-/^0,0 0,1 V' — I» 2, ...,/?;,
(2) ^""'J^' ''" "P^oL, at-M «„ (a,H-a,...-f 3Cit+...-ha„<.Ç/; 1 = 1,2. ...,/>),
qui expriment que les quantités p sont les dérivées des fonctions z. Cela étant, dérivons chacune des relations Oa=o par rapport à x^, a?2 .-Tn, et écrivons celles de ces équations qui sont algébriquement distinctes entre elles et distinctes des équations (1) et (2). Nous obtiendrons ainsi un svslëme
(3) 'i^i^o, ']fi,~o, ..., 4^/=^
d'équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre entre les fonctions z etp et les variables Xf^. Je dis que, si l'on sait intégrer le système linéaire du premier ordre (B), formé par les équations (i), (2) et (3), on saura intégrer le système proposé (A). Soit, en effet, js,, Sa, .. ., :?p un système d'intégrales du système (A). On aura, évidemment, un système d'intégrales du système (B) [(i), (2), (3)J, en prenant
i ^a,-Ha,4-..-Ha,.7.
z,-. A, el /,«„,^,...,,„ ^———-^^- .
Réciproquement, soit Z/, Pjt^a, «« ^^ système d'intégrales du système (B). Puisque ces fonctions vérifient les équations (i) et (2), on aura
â.rf âr^* . . . dxf,-
Désignons par $<, Oj» • • •» *ç les fonctions de j?,, ^Tj, . . . , a?„ qu'on obtient en remplaçant dans ç,, ^2, ..,9^ les fonctions :?/ et /^jt^^i, ^^ respectivement par Z, et P^^ «^ ^^, puisque les équations (3) sont vérifiées, les dérivées de ces q fonctions par rapport à a?,, x^, . ,., x^ seront nulles : ces fonctions sont donc constantes. Si donc on choisit les valeurs initiales des intégrales du système (B) de façon que, pour ces valeurs initiales, les fonctions o<, Oo» •••» ^q soient nulles, les fonctions O,, *2 ^g seront identiquement nulles et exprimeront, par
SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES SIMULTANÉES. 5l
suite, à cause des relations (4)» que Z, , Z^, . . . , Z^ sont des intégrales du système (A).
On en conclut qu'on obtiendra toutes les intégrales du système (A) en déterminant toutes les intégrales du système (B), dont les valeurs initiales vérifient les relations ç/= o.
Remarque L — On peut, d'une infinité de manières, ramener ainsi l'intégration d'un système (A) à celle d'un système linéaire du premier ordre. Car on peut former une infinité de systèmes équivalents au système (A), en adjoignant à ce système un certain nombre des équations qu'on peut déduire des équations de ce système en les dérivant par rapport à a?, , j;^» • • • » ^a- A. chacun de ces systèmes correspond un système linéaire du premier ordre.
Remarque IL — Le système linéaire (B) n'est pas équivalent au système (A); il est plus général que le système (A). Dans la pratique, on pourra fréquemment trouver un système linéaire équivalent au système (A). Ainsi, par exemple, considérons l'équation suivante :
dy^ dx
Prenons comme nouvelle fonction inconnue w, -^-y et nous aurons le
ày
système canonique suivant, équivalent à l'équation proposée
