E. CART\N

On voit qu'à une relation normale correspond une expression A''' normale, mais une expression dérivée {A.'/i)/i non normale. Il y a exactement autant d'expressions non normales du premier ordre dérii^ées d'une expression normale d'ordre zéro quil y a de relations normales.

Remarquons en troisième lieu que toute relation (20) non normale est une conséquence des relations normales. Prenons en effet une relsition non normale

et supposons d'abord / > h, mais i <i l\ on a donc les inégalités

L'identité facile à vérifier

ij I /,//, /■/ 1 l/h + /i I /,//i -^ Id I ijh — Ij I kih 4- /;/ I lih = o

ramène la relation donnée à des relations normales. Supposons maintenant / < /î, c'est-à-dire supposons

l'identité facile à vérifier

ij I /dh — /A I //(/ — il I /./// + ih I /.//■ = o

ramène la relation donnée à d'autres q,ui rentrent dans le premier cas examiné.

De tout ce qui précède il résulte que, les relations (20) se ramenant uniquement aux relations normales, ces relations normales sont indépendantes; sinon, en effet, il serait impossible, au moyen des relations (20), de tirer les expressions non normales, qui sont en nombre égal aux relations normales, en fonction des expressions normales. On voit de plus quil ny a aucune relation entre les expressions normales.

Le dénombrement des expressions normales du premier ordre

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATTON d'eINSTEIN. 23

ne présente aucune difficulté. On calcule facilement le nombre des expressions normales formées avec 2, ou 3, ou 4? ou 5 indices distincts : on trouve respectivement les nombres

par suite le nombre des expressions normales du premier ordre est

12. Les mêmes raisonnements et les mêmes conclusions s'étendent aux expressions du second ordre de la forme (A-/)^„j. On peut, en vertu des relations (22), ramener ces expressions à celles qui sont dérivées d'expressions normales d'ordre zéro, et l'on peut aussi les ramener au cas h y m. Nous conviendrons de dire qu'une telle expression est normale si, en outre des conditions précédentes, elle satisfait à l'inégalité

1° Toute expression non normale du second ordre se ramène à des expressions normales açec diminution de Vun au moins des indices extérieurs. On peut d'abord, en effet, ramener l'expression (A-^')/, à être normale avec diminution de l'indice h. Les nouvelles expres- 'sions qui s'en déduisent par addition du second indice extérieur m seront traitées comme l'expression primitive après échange, s'il y a lieu, de l'ordre des deux indices extérieurs. On continuera ainsi tant que cela sera possible et l'on sera finalement ramené à des expressions toutes normales.

2° Désignons par le symbole ij\kl}i\m, le premier membre de la relation

ij I idh I m = (Ag),,„-4- (A<j),,„+ (A;'/)/,„=r o,

OÙ l'on peut toujours supposer

2/| E. CAUTAN.

Cette relation sera dite normale si l'on a

c'est-à-dire si l'expression [A.'/^')k,n ^st dérivée d'une expression normale d'ordre zéro, mais sans être normale elle-même. Il y a évideinment autant d'expressions non normales dérivées d'expressions normales d'ordre zéro qu'il y a de relations normales.

3° Toute relation non normale est une conséquence des relations normales. On peut en effet, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, ramener la relation donnée, sans altération du dernier indice m, à des relations pour lesquelles

i>/\ A- >/>/?, il/, il h.

Si maintenant /e < m, on tiendra compte de l'identité, facile à vérifier,

// I /,/// I m ~- //■ I /;//.7| h + // 1 mkli \ l — ij \ ni//i \ /. z= o,

pour se ramener à de nouvelles relations à dernier indice moindre. On raisonnera sur ces nouvelles relations comme sur la première jusqu'à ce qu'on soit ramené à des relations normales.

La conclusion est la même que précédemment. Les relations normales, les seules qu'on peut se borner à considérer, sont indépendantes, et les expressions normales ne sont liées par aucune relation.

Ces conclusions s'étendraient aux expressions du troisième ordre {A.f, ')/„„/■] une telle expression est normale si l'on a

(3()) <>./, />>A i=^, JIJ, klhlmlr.

Les invariants d'une forme différentielle quadratique.

15. Abordons maintenant le problème des invariants d'un ds^ vis-à-vis d'un changement de variables arbitraire.

11 s'agit en somme de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux formes différentielles quadratiques à n variables puissent être transformées l'une dans l'autre par un chan-

ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 25

gement de variables. Décomposons la première de la mianière la plus générale possible en une somme 2£,co; de n carrés, les w^ étant linéaires par rapport aux différentielles des n variables données a;j, ...,x„, avec des coefficients fonctions de ces variables et

de — — variables auxiliaires nouvelles Mj, ..., un(n-i). Toute

forme équivalente à n variables x^, . . . , a;„ admettra une décomposition correspondante 2c,(^).' où interviendront - — variables

auxiliaires nouvelles w^, . . ., Un^n-u. On aura

0)/= Wi (i = i,2, ...,n)

en choisissant pour les x^ les valeurs en fonction des x^ qui réalisent le passage de la première forme différentielle à la seconde et en prenant pour les Ui des fonctions convenablement choisies des x et des u. Autrement dit, il existera un changement de variables

portant sur les — variables x et u transformant chacune à

chacune les n formes linéaires toi correspondant au premier ds^ donné dans les n formes linéaires w, correspondant au second ds^ donné.

Réciproquement, supposons qu'en décomposant les deux formes quadratiques données, chacune de la manière la plus générale possible, en deux sommes de n carrés

is/d)/ et 26/co,-,

il existe un changement de variables portant sur les x et les u et transformant chacune à chacune les formes w^ dans les formes cd^. On voit d'abord que dans ce changement de variables les x ne dépendent que des x et non des u. En effet, les égalités

où n'interviennent que les différentielles des variables x et x, peuvent être résolues par rapport à dx^, . . ., dx„, qui sont ainsi exprimées linéairement au moyen de dx^, ...,dx„; par suite,

26 E. CARTAN.

chacune des variables x est bien une fonction des x indépendante des u. Cela étant, le changement des variables x ainsi défini transforme effectivement l'une dan« l'autre les deux formes données.

14. La recherche des invariants d'une forme différentielle quadratique va alors être obtenue en deux temps. Considérons d'abord

les — — variables x et u: nous chercherons les invariants du

système des expressions de Pfaff w^, . . ., to,,, vis-à-vis d'un changement de variables quelconque; nous donnerons à ces invariants le nom d' ini^ariants relatifs. Les inçariants absolus, c est-à-dire ceux qui intéressent le problème primitif, s^ obtiendront en cherchant tous les invariants relatifs indépendants des variables u.

Les expressions eu, sont elles-mêmes des invariants (ou plutôt, comme on dit d'habitude, des coçariants) relatifs, tandis que la forme l£/W,' est évidemment un covariant absolu. Les expressions (x),j sont aussi des covariants relatifs, puisqu'elles sont déterminées d'une manière unique par les dérivées w- qui sont covariantes au même titre que les co,. Enfin les dérivées co]^ étant aussi covariantes, les formules (i4) conduisent à un premier système d'invariants relatifs finis, à savoir les coefficients Af/ de Riemann;

ils sont au nombre de -• Ce sont les invariants ionda-

mentaux.

Les ^ expressions de Pfafî covariantes o),, to,y permettent

de déduire d'un invariant fini quelconque I une série àHnvariants dérivés donnés par la formule

d\ — \^(,)^ + ... + I„oj„-f-2 I

IJ ^IJ c'y)

ils sont au nombre de — — • Chacun de ceux-ci peut à son

tour donner naissance à des invariants dérivés (invariants dérivés du second ordre de I) et ainsi de suite. En employant ce procédé de dérivation aux invariants fondamentaux Af/, nous obtenons une infinité d'invarianls udiivcaux ([ui sont les (Af^')/„ (A^/)/,„„ etc.

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 27

Nous allons montrer qu'ils constituent le système complet des invariants relatifs.

15. Admettons, ce qui est vrai en général, comme cela sera démontré plus loin, que parmi les "" ^'\~ invariants fondamentaux, il y en a "^"^'^ indépendants (c'est-à-dire qui, pour une forme différentielle arbitraire, ne soient liés par aucune relation) ; appelons-les invariants fondamentaux principaux. Les autres invariants fondamentaux (secondaires) et les invariants dérivés du premier ordre des invariants principaux seront, pour chaque forme différentielle quadratique, des fonctions déterminées de ces invariants principaux.

Pour deux formes différentielles équivalentes supposées décomposées de la manière la plus générale possible en carrés, ces fonctions sont manifestement les mêmes. Mais réciproquement, supposons que pour les deux formes les invariants secondaires et les invariants dérivés du premier ordre des invariants principaux soient les mêmes fonctions des invariants principaux. Établissons alors entre les variables a; et i* d'une part, et les variables x et u d'autre part, les '^'''^^^^ relations indépendantes obtenues en égalant chacun à chacun les invariants fondamentaux principaux des deux formes. Le changement de variables ainsi défini entraîne par hypothèse l'égalité chacun à chacun des invariants fondamentaux secondaires et des invariants dérivés du premier ordre des invariants principaux.

Les formules

d\a-=^^\ak^^k^ 2^ IaA/«/./ « —

A = l \kl)

OÙ les \j sont les invariants principaux, montrent alors que le changement de variables considéré entraîne les égalités

ce qu'il fallait démontrer.

E, CARTAN.

Les quantités Af/ et leurs dérivées des différents ordres constituent donc bien le système complet des invariants (relatifs).

IG. Il reste, pour être complet, à combler la lacune du raisonnement précédent. Nous allons le faire en recherchant en même temps le degré (T arbitraire des fonctions qui expriment dans le cas général les invariants non principaux au moyen des invariants principaux.

Partons pour cela des équations (i8) et (21), ou plutôt des équations obtenues en éliminant les co, et les w,y entre ces équations et en y regardant les AJ', (AJ,%, (Af/);t,wj comme des indéterminées liées par les relations (i5), (19), (20), (22), (23); cela revient à dire qu'on y exprime toutes ces quantités au moyen des quantités que nous avons appelées ?ior?ncdes, et que ces quantités normales sont regardées comme des indéterminées.

Une première remarque importante est qu'on peut trouver

n{n -h 1) , ^ • / o\ 1 • 1 1 Ti ; équations (ib) permettant de tirer les oj, et les w,y. 11

suffit par exemple d'associer à chaque combinaison {ij) de deux indices i, 2, . . . , n un indice k différent de i, j et n et de considérer celles des équations (18) qui donnent dA.',^; on adjoindra à

ces équations les n équations qui donnent les dA"„] et dA"„- ^Ij.

Les seconds membres de ces — équations sont linéairement

indépendants en co/ et co^y : il suffit pour s'en convaincre de remarquer qu'ils le sont en particulier lorsqu'on annule toutes les expressions Af/, sauf les A;^, et toutes les expressions (A-j)/,, sauf les (A";),- et (A;; ;"Iï}„. Les seules quantités non nulles étant normales sont indépendantes. Or, dans ces conditions, on obtient

et les seconds membres sont manifestement indépendants.

Cette première remarque étant faite, le système obtenu en éli-

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 2q

minant les 'jo, et les co^^ entre les équations (i8) et (21) pourra être considéré comme un système de Pfafî où les variables indépen-

1 n(« + i) ^•^' A/7 j 4. n{n-\-\) dantes seront les -^ quantités A" correspondant aux

équations qui ont servi à tirer les w, et les co,y (quantités principales) , et où les variables dépendantes seront les autres quantités AJ,', les (A-/)^ et les [A^D/im, ces quantités étant toujours supposées exprimées au moyen des quantités normales ,

Il est facile de voir que si l'on calculait les covariants w^ et w'^ des expressions co, et w,y, on retrouverait les expressions (10) et (i4). En effet, prenons l'une quelconque des '^—^ équations (18) principales et dérivons-la. D'après la manière même dont on a obtenu les équations (21), nous aurons, en tenant compte de ces équations (21),

en posant

II/, — W'/, — ^ £/, \',ik '>'>/cl,\ k-l li-- n I n

D'après les hypothèses mêmes faites sur les équations principales, on en déduit

ce qu'il fallait démontrer.

Revenons maintenant à notre système de Pfaff et dérivons ses différentes équations. Les équations (i8) dérivées sont identiquement vérifiées si l'on tient compte des équations (21). Quant à ces dernières, leur dérivation conduit manifestement [cf. formule (24)] aux équations

m — n (30 ^[(>i,n{^';j)/un] = ^> (^/, A-, /, /<=I, 2, ..., /O,

30 E. CAUTAiX.

en posant

(W/ /)/;/«= {^ij )mlt

+ ( Aj^ )/„„ a)/p + ( Ajj)p,„ w/,p + ( Aj/)/,p w,„p]

p = l cr = i p = « ff = rt

+ (A^|)/.Arp"+(Af;),„A;ï^

+ (Af^U A^+ (Af;u Ai^-4- (Aî|),„ AÇ] co^

- ^ 2 2 'p î A'/[(AÇ)..+ (A;r)/,] + A?[( a;^)„,+ (Ap,]

+ APj [( Al'J )„,+ (A^';,^),] + Aj] [(At^:)„,+ (Ap, 1 ; ro,.

17. C'est la l'orme mente des équations (3i) qui va nous permettre de démontrer que le système de Pfaff considéré est en involution. Il importe d'abord de remarquer que les expressions («^''/)^,„ sont liées exactement par les mêmes relations que les quantités {^'i,')/,m' D'autre part, la résolution des équations (3i) donne évidemment

( ^ij )ltm ^^ ^ ( ^ij )l"nr ^h-, 1=1

OÙ les {a']'i)/„nr s(mt liés par les mêmes relations que les (A|!J)/„„^ (ce sont du reste les mêmes quantités).

Appliquons maintenant la théorie des systèmes de Pfaff. Désignons par

s^ le nombre des expressions indépendantes de la lorme (f^/^O/n» 51 + ^2 ^6 nombre des expressions indépendantes de la lorme

«),, et «;),„

• ÉQUATIONS DE L.V GRAYITA.TION d'eINSTEIN. 3i

Sj + S2 + ... + 5/ le nombre des expressions indépendantes de la forme (nj^y)/,,,, avec m^i,

s^ -j- «2 + . . . + 5„ le nombre total des expressions indépendantes

Comme toute expression (A^ •);;,„ se ramène à des expressions normales avec diminution soit de l'un des indices h, m, soit de chacun de ces deux indices, on voit immédiatement que :

kl'

Sj est le nombre des expressions normales (AJ)^ «2 est le nombre des expressions normales {A-j)/,^

s„ est le nombre des expressions normales (A^^)^^.

Pour que le système soit en involution, il faut et il suffit que le nombre des coefficients (aJ/)/*/«r indépendants soit égal à

Or ce nombre est celui des quantités (A^^' )/„„,. qui sont normales. Celles de ces expressions normales pour lesquelles on a r =i sont en nombre égal aux expressions ( A Jy);^^, normales, c'est-à-dire

celles des expressions (AJ^'j/^^.^ normales pour lesquelles r = 2 proviennent des

expressions normales (AjJ)/,,„ pour lesquelles m 1,2, et ainsi de suite. La condition

.v', + .< + ... + .<■= 5, 4- 2^2 + ... + ns„

est effectivement vérifiée et le système de Pfaff est en inçolution.

18. La valeur numérique de s„ est importante parce qu'elle indique le nombre des fonctions arbitraires de n arguments dont dépend la solution générale du système de Pfaff. Or 5„ est le nombre

32 E. CaRTAN.

des expressions normales (A^j ),,,„; on a donc nécessairement

et s„ est par suite le nombre des combinaisons avec répétition [jl] de n — I lettres deux à deux

La solution générale du système de Pfaff considéré dépend donc de — fonctions arbitraires de n arguments.

A toute solution du système de Pfafî correspondent, d'après ce qui a été vu plus haut, — ^^ expressions de Pfafï co,, M/j satisfaisant aux relations (lo) et {i4)- Convenons de dire que deux formes différentielles quadratiques décomposées en carrés appartiennent à la même classe lorsqu'il existe un changement de variables transformant chacune à chacune les expressions w, relatives à la première forme dans les expressions crr, relatives à la seconde. Nous voyons qu'à toute classe de formes différentielles quadratiques décomposées en carrés correspond une solution du système de Pfaff et réciproquement. Les relations qui lient les invariants relatifs d'une forme quadratique arbitraire décomposée en carrés

contiennent donc — fonctions arbitraires de n arguments [et

naturellement d'autres fonctions arbitraires d'un moindre nombre d'arguments).

La propriété du système de Pfafï (i8) et (21) d'être en involution conduit à une autre conclusion intéressante. Ce système admet en effet au moins une solution correspondant à des valeurs numériques arbitraires des variables, tant dépendantes qu'indépendantes. Il en est de même pour les systèmes de Pfafî prolongés par l'introduction des invariants relatifs des ordres supérieurs. Par conséquent, il existe toujours au moins une forme quadratique différentielle décomposée en carrés, telle que, pour des <^>aleurs numériques convenablement choisies des variables x et u, les invariants

ICQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 33

relatifs normaux correspondants prennent des valeurs numériques arbitrairement données.

Nous connaissons donc, non seulement le système complet des invariants relatifs, mais encore le système complet des invariants relatifs indépendants,

19. Si nous nous donnons une forme différentielle quadratique à n variables sous la forme

ds- = 2 o'J ( *■ ) '^^■^i d-^'j >

avec des coefficients g/y fonctions indéterminées des x, sa décomposition en carrés

nous donnera des expressions de Pfafï co^ linéaires en dx^, . . ., dx^, avec des coefficients qui dépendront d'une manière déterminée

des gij et de — ^^ variables auxiliaires u. Les composantes co^y

de la rotation instantanée de l'espace, provenant d'une dérivation, contiendront comme coefficients les dérivées partielles du premier ordre des g,^; quant aux invariants fondamentaux A^^^', comme ils proviennent de la dérivation des w,y, ils contiendront linéairement les dérivées partielles du second ordre des g,y (ainsi que leurs dérivées du premier ordre et ces fonctions elles-mêmes, mais non plus linéairement).

De même les (A^^)/, contiendront linéairement les dérivées partielles du troisième ordre des g/y et ainsi de suite.

11 est important de savon' si les — ^^ —, invariants

normaux (A':^^)/, sont des fonctions indépendantes des dérivées partielles du troisième ordre des g/y, et plus généralement si les invariants normaux, pris jusqu'à un certain ordre p, sont des fonctions indépendantes des dérivées partielles des g/y du

34 E. CARTAN.

3'""'" au (p + 2)""' ordre inclus. Cela est vraisemblable, mais il faut le démontrer rigoureusement.

Partons pour cela des expressions co, formées comme il a été dit plus haut et où nous regarderons les g,j comme des indéterminées. On peut évidemment écrire

k =: n (32) 0J/= £,>^ [CO^CO/,,]

avec n- expressions de Pfafï oj/^ qui dépendent linéairement des dx^ des du et des dgij. Ces expressions ne sont pas déterminées d'une manière univoque : nous les prendrons les plus générales possible, en introduisant des indéterminées auxiliaires nouvelles qui seront

évidemment en nombre ^ -^ car de tout choix possible des w,,

on déduit le choix le plus général en ajoutant à co,y l'expression

OÙ les indéterminées a^jy satisfont aux seules conditions Les équations (32) dérivées conduisent aux formules

(33) ^'ji = '^'^lA^jk''^u]+^['>^l<^^kji]

avec de nouvelles expressions de Pfafï i'i/,ji = '^j/<i linéaires par rapport aux dx, du, dgij et dccj^ij. Ces expressions, si on les choisit de la manière la plus générale possible, font intervenir à leur tour de nouvelles indéterminées a^y, dans lesquelles l'ordre des trois premiers indices est indifférent.

Les équations (33) donnent, par dérivation, comme le montre un calcul facile,

(34) ^V.y,=2 ^p[^'>^p '■">?;'• 1 + ep[wyp(.)/,p,-J -t- £p[^J>/p«/.vp] +2 [G)/a)//,y/],

avec de nouvelles expressions de Pfafî co//,^,, dans lesquelles l'ordre des trois premiers indices /, k, j peut être changé sans altérer l'expression.

Une nouvelle dérivation donne

+ [«/p^^JpAyd + [03/,p0J/py,] + [wypW//,pd + [w/pW/Ayp] ( »J =: n

avec de nouvelles expressions (Mmikjh 6t ainsi de suite.

20. Ces formules générales étant établies, si Von suppose maintenant que les g,y sont des fonctions des seules variables x, on pourra (nO o), toujours supposer qu'on a

les formules (33), comparées aux formules (14), nous donneront ensuite

2 [f^A^n-yv] = 2 M'-t^^/'-^^/l'

ce qui permettra d'écrire

(3;) ■ o),,./=^2(^î''+A/fî)^^/'

formule dans le second membre de laquelle les indices A: et / entrent bien symétriquement. Ces équations dérivées donnent, en tenant compte des équations (34) et (18),

2 [^^^/co,,,,] ^ i 2 [(Mr)/+ (A^)/- (A^/)„.- ( Av;.)„,] [co,co,„],

36 E. CARTAN.

ce qui permettra d'écrire

(38) o,:,j,^ ^ 2 [0^'7')^+ (A/r)/+ (A<7)a-+ (A/;")>t+ (A^DyH- (A^r)y]o.„,,

formule dans le second membre de laquelle les indices /, A' et / entrent symétriquement. Les formules (36), (37), (38) sont compatibles avec des fonctions arbitraires gjj des x.

21. Revenons maintenant à notre point de vue primitif du n^ 19

ou les g,y, a/t/y, etc. sont des indéterminées. Les équations

(36) W/y+0Jy,= O (/,y = I, 2, . . ., «)

expriment que les indéterminées g/y ne dépendent que de x-^^ . . . , a;„; elles sont donc équivalentes à des équations de la forme

(36') ^^..^J^^l'^ docu^o {ij=^, •:>: .^..n),

où les g^y' sont des fonctions des indéterminées qui figurent dans les (o, et ct),y, et nous savons d'avance que les quantités x, u, gij, g'-j sont indépendantes.

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équations (36') sont

tandis que ceux des premiers membres des équations (36) sont,

en tenant compte de ces équations elles-mêmes et utilisant les

formules (33),

Il en résulte que les expressions oj/.y,+ coyi,y, à des combinaisons linéaires près des to^ et des premiers membres des équations (36), c'est-à-dire à des combinaisons linéaires près des dx et des dg^j, doivent être linéaires par rapport aux dg\j et, de plus, que par

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 3j

rapport aux clgl"- , il doit y en açoir autant de linéairement indépendantes quily a de différentielles dg'f'-', c est-à-dire Or, d'après

l'égalité de w^t;/ et de Mj^i, on voit facilement que toutes les expressions (x>},ji se déduisent linéairement des expressions Wyi.y,-f- (0/.,y, et

leur nombre est précisément — • Par suite, chaque expression w^ij est linéaire en dx, dgij, dg'^ et, par rapport aux dg/'j, les — - — ' — expressions W/(,y sont linéairement indépendantes.

Introduisons maintenant - — indéterminées A; ■ liées par les

relations (i5) et considérons les équations

(37) «,;,.:. 3 V(Aîf+Ai;)o.,.

D'après ce qui vient d'être dit, et d'après ce qui a été vu au numéro précédent, le système formé des équations (36) et (37) est équivalent au système formé des équations (36') et des nouvelles équations

où les gl'j^^g'ij' sont des fonctions des indéterminées qui figurent

dans les oj„ les w,y et les Mkjh ainsi que des indéterminées A^y, et

nous savons a avance que tes j quantités g sont mdepen-

dantes entre elles et indépendantes des x, u, g,j et gf\

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équations du système (36') et (37') se réduisent, en tenant compte de ces équations, à

Si l'on effectue la même opération sur le système (36) et (37), on obtient, en utilisant les formules (34),