E, C\RT\N

en posant [cf. formule (i8)]

^î/=.M^;-V£p(Ajf(,);p+A^jfw,p+AP>,p+AJPwp).

Il résulte de là qu'à des combinaisons linéaires près des Wy et des premiers membres des équations (36) et (37), c'est-à-dire à des combinaisons linéaires près des dx, dg^j, dgfj, les expressions

(39) r,i/fj^- -T^y^—-TsJ(

sont des combinaisons linéaires des dgfp et, de plus, qu'il y en a exactement autant de linéairement indépendantes qu'il y a de

différentielles dg'f/\ c'est-à-dire !!__l^tlL. Or si l'on effectue sur

l'expression (3g) deux permutations circulaires successives sur les indices /, k, l et qu'on ajoute les deux expressions obtenues à l'expression primitive, on obtient 3 oj^/^y,; on voit de même que tous les ^j/', se déduisent linéairement des expressions (Sg). Or les expressions w^/,y, sont au nombre de

les îTî^,^ au nombre de

les expressions (3g) indépendantes sont donc en nombre total

Par conséquent, les expressions ('^/hj/.et m^- sont linéairement indépendantes par rapport aux dg'/'-'' (et dépendent en outre des dx, dgij, dg-^. Si nous portons en particulier notre attention sur les expressions gîJ^ et si nous remarquons que ces expressions sont égales à dk)'-, à des combinaisons linéaires près des (o,,, c'est-à-dire à des combinaisons linéaires près des dx, du et dgij, nous voyons qii'i7 ne peut exister entre les différentielles des invariants relatifs

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. Sq

fondamentaux, considérés comme fonctions des x, u, gij, -j^^ ox'^dx,' aucune relation indépendante des dérivées partieUes du second

ordre * '^

dxkôxi \ j

Autrement dit, les invariants fondamentaux [normaux] sont des

fonctions indépendantes des dérivées partielles du second ordre des

coefficients gij.

Introduisons maintenant ^i!lZilzLi|l^L±^ indéterminées non-

velles (A^r),, assujetties uniquement à satisfaire aux relations (19) et (20) et considérons le système formé des équations (36), (87) et

o.M..^= - y [( Ajj').+ (Ai^),+ (Af^),.+ (A//).+ (A^^), + (A^)>] «..

ii = i

D'après ce qui vient d'être dit et d'après ce qui a été vu au numéro précédent, ce système est équivalent au système formé des équations (36'), (37') et

(38') dg'i^'^-yg'i'/^'dxn^o,

ii = \

OÙ les gf"'\ dans lesquelles l'ordre des indices supérieurs est indifférent, sont des fonctions des indéterminées qui figurent dans les w,, les w,,, les w,,,, les co,,,-,-, ainsi que des Aj^ et (k)\),. Nous savons d'avance que les '^'^ '^ + ^^n ^ ^^ quantités g^f'^ sont indépendantes

entre elles et indépendantes des x, w, g,/, gj^ et g^ .

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équations (36'), (37') et (38') se réduisent, en tenant compte de ces équations, à

^[dx,d^/f^^-\.

4o E. C\RTAN.

La même opération, efïectuée sur le système (36, (Sy) et (38), donne

en posant

Il résulte de là que les expressions

(j)na-ji et (cî)/)/,

sont des combinaisons linéaires des dx, des c?g,y, des dg'--, des c^g,/ et des dg''^^/'' et que, considérées par rapport à ces dernières quan-

tites dg ■■ , il doit y en avoir exactement indépendantes.

Or le nombre des expressions fo;,/;;.y, est de

les vy''j'- sont de leur côté (n^ 1 I) au nombre de La somme de ces deux derniers nombres est

Par conséquent, il n existe entre les (àmtkji et les (ro')/)/, aucune relation linéaire indépendante des dg"'j"'\ En particulier, il n'existe

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. ^l

aucune relation pareille entre les [m''^^.]/,. Autrement dit, il n'existe

aucune combinaison linéaire des d[A''-^^)/, c[ui puisse s'exprimer

linéairement au moyen des dx, des du, des dg^-j, des dg^^ et des dg^]'-. Donc enfin les invariants normaux {P^)))h ^^ sont liés par aucune relation indépendante des dérivées partielles du troisième ordre des coefficients gij.

22. Le raisonnement pourrait se poursuivre de proche en proche, mais il exigerait des calculs très fastidieux. Nous allons montrer par un raisonnement a priori que tout invariant relatif formé avec les variables x et u, les fonctions gij{x) et leurs dérivées partielles des trois premiers ordres est nécessairement une fonction des seuls invariants A^y e^( A^^)^. Il en résultera en particulier, d'après ce qui vient d'être vu, que tout invariant relatif formé avec les variables x et u, les fonctions gij [x) et leurs dérivées partielles des deux premiers ordres est nécessairement une fonction des seuls invariants fondamentaux A^^.

Revenons, pour la démonstration de ce théorème, au système de Pfafî (i8) et (21), Nous savons qu'il admet toujours au moins une solution correspondant à des valeurs numériques arbitrairement données des variables, tant dépendantes cju'indépendantes. Donnons-nous par conséquent des valeurs numériques arbitraires [a)'j)/f et a^^^ pour les invariants fondamentaux et leurs dérivés du premier ordre, et considérons une des solutions correspondantes du système de Pfafî. Nous pouvons définir cette solution en prenant pour les variables, indépendantes et dépendantes, certaines fonctions déterminées de '—^ — - paramètres E. Désignons par (AJ')/,

et Afy les fonctions de ^ obtenues.

Cela posé, partons d'une forme quadratique indéterminée, décomposée en carrés. Désignons par gjj les coeificients de cette forme et par (Aj-)/„ AJJ les fonctions des x, u, gij, -jt^^ etc., qui définissent les invariants relatifs. Les équations qui définissent les formes (décomposées en carrés) appartenant à la classe choisie plus haut sont évidemment (n^ 15)

(4o) AA/^rA^j, (Aî;).=z(A^j

l\1 E. CARTAN.

ce sont des équations où les variables indépendantes sont les H et les fonctions inconnues les x, u, gij, gfj, g^j', g'^'/". On peut évidemment les remplacer par le système de Pfafï

^'^^v/=^y <A;/^Al^)a)/,

W/y+ (^ji—- O, l = n

En effet, les équations (36), (37) et (38) montrent que les équations (4i) entraînent les équations (4o) et réciproquement.

Or le système (4i) est en iiwolution, car les équations quadratiques extérieures qui en résultent par dérivation sont, d'après les calculs faits au n^ 21,

(42) ^[''^l'^lhji} =0,

en posant

nî/Av, = W//V/- "i^ 2 [^^^' -+- (Â?^+ ^Â]J]I-+ ÔWÛ-+- (Â^+ (XffYjl 0),.

Or, d'après la discussion qui a été faite du système de Pfaff (18) et (21), les équations (4i) écrites à la dernière ligne entraînent pour les d{Ay■),^ des expressions de la forme (21), où les quantités seraient surlignées et par s.uite, d'après la définition même de {^'ij)hj les équations (43) sont identiquement vérifiées. Il ne reste donc à considérer que les équations (42) dont la forme met en évidence la propriété du système de Pfaff (4i) d'être en involution.

25. Le système (4i) étant en involution admet au moins une solution correspondant à des valeurs numériques arbitrairement données des variables indépendantes ^ et des variables dépen-

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. /|3

dantes x, u, g,,, g^!^, gf/', (g^) ^«^^ ^'' .^^^^^ condition que ces chaleurs numériques satisfassent aux relations (4o). Donnons en particulier aux l les valeurs numériques ^" pour lesquelles les invariants A^^ et {A^/j)h prennent les valeurs numériques données a^/j et (a-O// et considérons un invariant relatif quelconque de la forme

cet invariant gardera sa valeur numérique si l'on change arbitrairement les valeurs numériques de ses arguments, sous la seule condition que les nouvelles valeurs numériques donnent aux invariants kf^ et {A^j)a les mêmes valeurs numériques. Autrement dit, V invariant I est une fonction des seules quantités A-^ et (A-^)/,. C'est ce qu'il fallait démontrer. En particulier, comme nous l'avons déjà fait remarquer, tout invariant relatif contenant les dérivées partielles des g^j jusqu'au second ordre au plus est une fonction des seuls invariants fondamentaux k-^.

D'une manière plus particulière encore, si Vinvariant I est linéaire par rapport aux dérivées partielles du second ordre des g/j, cest une fonction linéaire à coefficients constants des AJ -.

Ce résultat, qu'on pouvait regarder a priori comme très vraisemblable, et qui a une très grande importance dans la théorie de la relativité généralisée, est ainsi démontré rigoureusement.

Les invariants absolus d'une forme différentielle quadratique.

2i. Arrivons maintenant à la détermination des invariants

absolus.

1 n{n — I ) Un premier procédé théorique consiste a partir de

invariants fondamentaux qui soient des fonctions indépendantes des variables auxiliaires u et à particulariser la décomposition en carrés de manière que ces invariants prennent des valeurs numériques fixes données. On obtient ainsi pour les u des fonctions déterminées des x; en portant leurs valeurs dans les autres invariants relatifs, on obtient évidemment le système complet des

4^1 E. CARTAN.

invariants absolus. Seulement ils se présentent en général sous forme irrationnelle.

La méthode précédente met en tout cas en évidence ce fait qu'il

invariants absolus fonctions des invariants relatifs fondamentaux. 11 nous sufTit pour la suite de savoir déterminer ces

fi{n — i) (il — 9.) (n -h 5)

invariants absolus. Considérons pour cela la forme différentielle

où le point indique une multiplication algébrique ordinaire. C'est

en somme une forme quadratique ordinaire des variables [cO,CL)y].

Les variables u n'entrent que dans les coefficients de cette forme, supposée développée suivant les quantités [dxidxj]. Calculons la variation de $ pour une variation arbitraire des u, les x restant fixes. Désignons par 0 le symbole de cette variation.

On a, en utilisant une notation déjà employée,

Ô03'/= OC)':— d(,//= — £,2 ^A/Wa,

Ô [ 0)/ (Oy ] = — 2 £y ('>Ay [ ^h- Wa- ] — 2 £«■ &)!,• [ ('ik Wy ] ,

puis, d'après (17), et en remarquant que Q.'-- est nul,

k=zn

ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 4^

d'où enfin

Ô<1» = — 2 £y o4-/ [W,CJ/,] i2/y —^ Si o4 . [OJ/, «y] ^,j

En échangeant dans la première somme les indices de sommation / et k et dans la seconde les indices i et k, on voit immédiatement que le second membre est nul.

Autrement dit, la forme $ est un covariant absolu (^),

21), La recherche des invariants absolus, fonctions des invariants relatifs fondamentaux, revient alors à la résolution d'un problème de Géométrie analytique.

Regardons provisoirement (o^, Wg, . . . , w,j comme les coordonnées homogènes d'un point dans un espace projectif k n — i

dimensions; nous pouvons alors regarder les expressions [wycoy] comme les coordonnées plûckériennes d'une droite dans cet espace. Il^s'agit alors de troui^er les invariants de la forme quadratique plûckérienne

(43) iP="^\1j[r^,,^j][^,^,l

lorsqu'on effectue sur les coordonnées ponctuelles une substitution linéaire consentant la forme ^s^wj.

D'une manière moins précise et pas tout à fait exacte, il s'agit de trouver les invariants d'un complexe quadratique de droites visà-vis du groupe des transformations projectives qui laissent invariante la cjuadricjue ^ £,ojJ =o.

(^) C'est la funne qiiadrilinéaire classique introduite ]iar E.-B. Christ ofïel dans son Mémoire : Ucber die Transformation der lioniogcncn Differetitialausdriicke zweiten Grades {Journal de Crelle, t. 70. i86g, p. /jG-jo). Les (A,y )/, sont de même les coeiïicients d'une forme covariante à cin | séries de diflérenticlles, et ainsi de suite.

46 E. CARTAN.

Analytiquement, on peut remarquer que, pour toute substitution linéaire conservant la forme 7 S/wJ, les coefficients de <P

subissent une substitution linéaire appartenant à un certain groupe. Les transformations infinitésimales de ce groupe sont précisément données par les formules (18), d'après lesquelles on a

Les transformations infinitésimales qui engendrent le

groupe sont caractérisées par les valeurs e,^ des constantes co'"^.

26. II existe une combinaison linéaire à coefficients constants s A'ij qui est un invariant absolu, à savoir

et c'est la seule : c'est la courbure totale de Riemann.

Il existe en outre une forme quadratique en co, qui est aussi un covariant absolu, c'est la forme

qui se déduit de <E> par saturation des indices [Verkûrzung] ; il en est de même plus généralement de la forme quadratique

9 + (aA + (3)V £,oj,?,

où a et p désignent deux constantes arbitraires.

Dans le cas général n > 4? l^i théorie que j'ai développée des groupes linéaires ne laissant invariante aucune variété plane permettrait sans trop de difficulté de démontrer qu'on peut trouver

ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 47

combinaisons linéaires des A^y indépendantes entre elles et indépendantes des coefficients de la forme o, qui sont transformées entre elles par le groupe considéré sans quil soit possible d'en trouver un moindre nombre jouissant des mêmes propriétés.

27. Le cas i^ =4? qui intéresse la théorie de la relativité généralisée, mérite d'être traité en détail. Ici la forme quadratique fondamentale est, comme on sait,

(j)\ — 0)f CO3 + w^.

Avec l'interprétation géométrique indiquée plus haut, elle définit, égalée à zéro, une quadrique réelle non réglée (quadrique fondamentale). Cette quadrique admet deux systèmes de génératrices rectilignes imaginaires conjuguées; chacune des génératrices du premier système, rencontrant trois génératrices fixes du second système, appartient à trois complexes linéaires dont les équations sont faciles à obtenir. Soit en effet

co, 4-/(00 -l-?v(w3+ (11)4) =:o,