OJ , i OJo) W3 -t- «4 ^z o

les équations d'une génératrice quelconque du premier système; les coordonnées plùckériennes de cette droite sont, avec les notations indiquées plus haut,

[^')2W3] ['')3'')l] [WlO),] [f'>I^J»i] __ [riJoCOi] [W3CJ4]

I — A- ^ /(i + A2) ~ 2/. ~ iO'—i) ~ >.' + 1 ~ —2 il ' Les trois complexes cherchés sont donc définis par les équations

!Çl^[w2W:j] /[i-j), on] = O, 43;^ [«iW-.] — ^'[0)30)4] — O.

Les génératrices rectilignes du second système appartiennent alors aux trois complexes linéaires définis par les équations

, Y), = [gJ2W3] -t- «[cOjCUi] = o,

(45) • . Yiî^ [W3W1] H- «[a)2«x)4] = O,

' Y)3^[coia)2]-l-i[a)3 0Jv] = o.

4^ E. CARTAN.

Effectuons maintenant un changement de coordonnées pliickériennes de la droite en prenant pour nouvelles coordonnées les six quantités ^^ et -q,-. La relation à laquelle satisfont les six nouvelles coordonnées d'une même droite est maintenant

(46) ^-^B-i-çi=r,^ + r,z ^-nl.

Le complexe quadratique des droites tangentes à la quadrique fondamentale est manifestement défini par l'équation

(47) Ht + Ç2 + ^3+-^t-+--^J2-+--^' = o-

Cette équation est en effet vérifiée par chaque génératrice de cette quadrique, puisque chaque génératrice, du premier système par exemple, ayant ses coordonnées ^ toutes nulles, la vérifie en vertu de (46). Toute droite tangente à la quadrique en un point défini par l'intersection des deux génératrices

(O, O, O, Yli, Oi: -n-i), (^1, 1-2, Iz, O, O, O)

a pour coordonnées

(>.;,, lli, II,, /arj,. ^-r,.,. p.-,';,)

et par suite satisfait aussi à l'équation (47)-

28. Remarquons maintenant que toute substitution linéaire conservant la forme fondamentale — to; — coi; — wi;+ co; se traduit évidemment par une substitution linéaire orthogonale sur les H et par une substitution linéaire orthogonale sur les T^ (à moins qu'elle n'échange les coordonnées ^ avec les coordonnées y), mais nous ne considérerons que les substitutions qui n'échangent pas entre elles les deux systèmes de génératrices de la quadrique fondamentale). Ces deux substitutions linéaires sont naturellement à coefficients complexes conjugués.

Avec les nouvelles coordonnées de la droite, la forme covariante <î> se décomposera .en une somme de trois formes respectivement covariantes :

1° Une forme quadratique / (^j, Hg, Ç3);

2° Une forme quadratique (complexe conjuguée) /' (y]i, y]2, "^13);

ÉQUATIONS DE L.\ GRAVITATION d'eINSTEIN. l\C)

3° Une forme d'Hermite '^(^i, ^2? ^3 5 "^iu "'125 '''iz) bilinéaire par rapport à chaque série de variables et prenant des valeurs numériques réelles quand on donne aux variables des deux séries des valeurs numériques complexes conjuguées (c'est cette propriété qui définit une forme d'Hermite).

En effectuant le calcul, qui n'offre aucune difficulté, on trouve

-2(A^?H-A]î-f- l\\i-i^ll)lU] '2'ha;-n)=. (A^^ + A;n;.Y/, + (An-A?^-iA|'-/A^l)::,Y.3

+ (A't-Â^^ + M^^ + iA;i);,yi, ' ^ {Al\ -^ Ml}h-n,+ (Ml - K\- iH\ ~ l m)^,-n, -H(A^|-Ai^-^A^* -Mjnç.v;,

Nous remarquerons que la somme des coelficients de c] -\- z', -\- z'I dans /(;) est réelle. On peut alors écrire

O = 7^ A(ç2 + ^ -^ ,;2 ^ .^^2 ^ ^2 ^ Y)^ ) -h 7(^) ^ f{-n) + 'b{i\ -n ), en désignant par A la courbure totale

et en posant

7(0-/(;)-7^A(;f + ç^ + çi);

la somme des coefficients des termes carrés dans /(;) est alors nulle.

Quand on effectuera sur les H une substitution orthogonale, les cinq coefficients complexes de /(H) seront échangés linéairement entre eux sans qu'on puisse trouver /i < 5 combinaisons linéaires indépendantes de ces coellicients qui soient aussi échangées entre elles.

DO E. CARTAX.

Les invariants fondamentaux relatifs de la forme différentielle donnée peuvent ainsi se distribuer en quatre groupes :

1° L'invariant absolu A;

2® Les cinq coeflScients complexes de /( H) ;

3** Les cinq coefiBcients complexes conjugués de f(r);

4*' Les neuf coefficients 'réels ou deux à deux imaginaires conjugués) de -Ki; rj.

Toute substitution linéaire sur les w, échange entre eux les invariants relatifs de chaque groupe et il est facile de voir que ces groupes sont indécomposables en d'autres dont ]ê- «éléments soient séparément échangés entre eux.

29. Nous avons introduit dans le cas général, au n** 26, la forme

quadratique covariante

et plus généralement

Si l'on détermine le coefficient a par la condition que la somme des coefficients des termes en £,017 soit nulle, ce qui donne

les — — — — — I coefficients restants sont échangés entre eux sans

qu'on puisse en trouver des combinaisons linéaires en moindre nombre qui jouissent de la même propriété.

Ici — — I =9; les coefficients qui restent sont donc nécessairement des combinaisons linéaires indépendantes de la forme d'Hermite l{ç; r,). On a en effet

n' '/A«î u4'* A'* \'* -*- A'» s- \**lf.»j

^2(A»;-A|î)«,5y, - ... -Q(A|t+AJÎ)«-:'-»i- ••

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 5i

et l'on retrouve sans difficulté, mais avec d'autres combinaisons, les coefficients de la forme d'Hermite .j;(:; yj).

Il doit y avoir d'après cela une relation géométrique importante entre la forme quadratique z>' et la forme d'Hermite 'h. Cette relation peut être mise en évidence sous différentes formes. D'abord l'équation obtenue en annulant la forme d'Hermite j/ définit un complexe quadratique de droites auquel appartiennent manifestement toutes les génératrices de la quadrique fondamentale (puisque 'j» s'annule en même temps que les H et aussi en même temps que les Y]). Considérons une génératrice G du premier système de la quadrique fondamentale (o; y]"); l'équation linéaire en Çj, ^g? ^3

jointe à l'équation

çr + Ç2 + l' = o,

définit deux génératrices du second système, qui coupent la génératrice donnée G en deux points; ces points jouissent évidemment de la propriété que toute tangente en un de ces points à la quadrique fondamentale appartient au complexe quadratique. Quand la génératrice G varie, ces points engendrent une biquadratique gauche, à laquelle correspond un faisceau de quadriques : la quadrique o'==o fait partie de ce faisceau.

Mais le complexe quadratique ']/ = o peut être défini par une propriété géométrique simple le rattachant à la quadrique fondamentale et à la quadrique z>' = o. Partons en effet a priori d'une quadrique

«11 ^^1 + an'i^l -\- «33 W3 + «44''jl)4 + 2rt23«2'^3-t-- . •+ 2aiiCO,0L>iH- . . .= o,

et cherchons l'équation du complexe des droites qui découpent sur cette quadrique et sur la quadrique fondainentale deux segments formant une division harmonique. Un calcul facile donne pour l'équation de ce complexe

«II ; [w,ûj.>]^ + [wiojsj^ — [w, w.]2{ +. . .

-f- 2 ((,.i \ I 0), CO., ] [ 0», W;i 1 - [ (O4 W.j I [ C.J4 0)3 1 { 4- . . .

J2 E. CAHTAN.

OU, en introduisant les coordonnées H et Tj,

-(«11+ «22+ «33— «44) (^? +^2 +^f +-0' +ril -i-Til)

4- (r/22+ «:î3+ «44— «ll)4rfll— 2((7io— m3.)£,ri2— 2 ((73,+ <«24)^lYÎ3

— 2(a,2+ ««44)^2 TOl+ («33 + «11+ «44— «22)4'2'«2— 2(^23— <«14)t2Tn3

— 2(rt3i — /a24)t3"^i — 2(^23+ mii)£3rj,+ («i, + «22 + «44— «33)^3 "^3= o-

En identifiant cette équation avec l'équation ■]; = o, on retrouve pour les a,j les coefTicients de la forme o'.

Par conséquent, la relation géométrique entre la forme quadratique z»' et la forme d'Hermite '>J> est la suivante : le complexe quadratique de droites obtenu en annulant la forme '>[/ est celui des droites qui découpent sur la quadrique fondamentale et sur la quadrique o' ^= o deux segments formant une division harmonique.

50. On peut encore associer les formes ./ et /' à des formes binaires et la forme sp à une forme doublement binaire. On peut en effet exprimer les coordonnées ç^, Ç25 ^3 d'une génératrice du second système de la cpiadrique absolue au moyen d'un paramètre, ou de deux paramètres homogènes m^, Ug, par exemple par les formules

ii = «i — "2, i;2 = <(«i + «2 )) Çi = 2Mi»2;

on aura de même pour toute génératrice du premier système

"^i=''T— 'i- -fi^ = -— i{i-'] ^ i>\), -na^gcir..

Toute substitution orthogonale sur les ^ se traduira par une substitution linéaire à déterminant égal à i effectuée sur les deux variables u^, Wg- Quant à la forme /(^), elle devient une fornae biquadratique binaire en w, 9\ la forme f'{r^) devient la forme biquadratique binaire en v-^, v^ dont les coefficients sont complexes conjugués de ceux de la première; enfin la forme d'Hermite <]/(H, 7]) devient une forme cjuadratique en (u^, 1*2) et quadratique en ((^j, ç'g)-

Les vingt coefficients A'-y de Riemann se répartissent ainsi en quatre groupes dont chacun comprend un certain nombre de combinaisons linéaires de ces coefficients :

ÉQUATIONS DE I-A GRAVITATION d'eINSTRIN. 53

lO La courbure totale A;

0.0 Les cinq coefficients complexes d'une forme biquadratique

binaire F (w^, U2) ; .

30 Les cinq coefficients complexes conjugués de la forme biquadratique binaire conjuguée F' {^i, ^2) ;

40 Les neuf coefficients, réels ou deux à deux complexes conjugués, d'une forme W{u^, u^; ^i, ^2) quadratique par rapport à u^, 1*2 et quadratique par rapport à i^^, v^.

La signification géométrique des variables Wj, u^ est classique : le rapport — désigne le nombre complexe qui sert à définir la position d'un point réel sur la quadrique fondamentale. Toute transformation projective de la quadrique fondamentale en ellemême se traduit en effet par une transformation projective à coefficients complexes sur |-^- L'équation ^F = o définit sur la quadrique fondamentale une courbe qui n'est autre que la biquadratique considérée plus haut,

51. La recherche des invariants absolus, fonctions des A-y, revient maintenant à un problème classique de la théorie des formes. En particuHer, la forme F donnera deux invariants rationnels, l'un du second degré, l'autre du troisième degré; la forme F' donnera les deux invariants complexes conjugués.

Ces invariants s'obtiennent du reste aussi facilement en partant de la forme quadratique /( E) : il suffit, comme on sait, de considérer la somme des mineurs principaux du discriminant de cette forme, ainsi que ce discriminant lui-même. La forme '|, ou plutôt la forme 9' qui lui est équivalente, donne de même un invariant quadratique, un invariant cubique et un invariant biquadratique par la considération du discriminant et de ses mineurs principaux : ce sont les coefficients des différentes puissances de \ dans l'équation obtenue en annulant le discriminant de la forme

cp'+X(— wj — w^ — 00^ + wrj.

En dehors de ces sept invariants (ou plutôt huit en tenant compte de l'invariant A) fournis par la considération isolée de

54 E. CARTAN.

chacune des formes /, /', j^, il y en a six autres (mixtes) formés avec les coefficients de plusieurs de ces formes. Nous n'insisterons pas davantage sur cette question.

52. Ce qui est plus intéressant pour les applications à la théorie de la relativité généralisée, c'est la résolution du problème suivant :

Troui^er, de la manière la plus générale possible, dix combinaisons linéaires à coefficients constants R,-, des quantités A^y qui soient échangées entre elles comme les coefficients d'une forme quadratique quand on effectue sur les w, une substitution linéaire conservant la forme fondamentale — (ii'\ — co^ — wij -\- to";|.

Autrement dit, construire une forme quadratique covariante

dont les coefficients soient des combinaisons linéaires à coefficients constants des P^)'j.

Nous avons déjà obtenu une solution de ce problème, à savoir la forme quadratique

X(p'+ («A -I- (3) ( — b)] — (jii — f,)^ + w";),

où X, a et (3 sont trois constantes arbitraires.

Il est facile de voir que le problème ne comporte pas d'autre solution.

Soit en effet

une forme quadratique covariante; posons

'^/y = ^^U — 7 ^ij I^ (£'7 = o si f ^y ; £» , = £2-> == e-ts = — i ,£,.; = + i ) ; on ])eut alors écrire

<^ =-r R( — M-^ — 0)^ — fx)'l + (^l) -+-7 H/yrj),a)y,

et l'on a

La quantité R est, comme on sait, un invariant absolu ; par suite, par sa propriété même d'être une combinaison linéaire des Ajj, on a

R = aA + [3.

Quant aux quantités R,j, elles dépendent linéairement de neuf d'entre elles que nous pourrons, sans préciser davantage, désigner par __.

R,, R2, • . . , Rg-

Elles subissent entre elles une transformation linéaire quand on effectue une substitution linéaire quelconque conservant la forme — w' — w; — fo;+ wj, et il est impossible de trouver h< g combinaisons linéaires indépendantes des R, jouissant de la même

propriété.

Chacune des neuf quantités R, peut se mettre, d'une manière et d'une seule, sous la forme

r]— H,+ K,+ Li+cciK -f- [3/,

où H, est une combinaison linéaire et homogène des coefHcients de la forme /(H), K, une combinaison linéaire et homogène des coefficients de la forme f(r^), L, une combinaison linéaire et homogène des coefficients de la forme '}(^; y)), a, et [3, enfin des constantes.

Quand on effectue sur les co, une substitution linéaire conservant la forme — w; — w"^ — w;; + w;, les quantités R, subissent entre elles une substitution linéaire; il en est de même des coefficients de la forme /(H), de ceux de la forme f (tj) et de ceux de la forme 4^(H; •^). Si les H, ne sont pas tous nuls, comme la forme f{c) contient cinq* coefficients indépendants, il y aura un certain nombre h{/i'Sh < g) de combinaisons linéaires indépendantes des R^ qui ne contiendront pas les coefficients de la forme /(?) : nous pouvons toujours supposer que ces combinaisons sont pré-

5f) E. CARTA.N.

cisément Rj, . . . , R/,. Mais cela est impossible, car si par exemple, par une substitution linéaire arbitraire laissant invariante la forme — co^ — wi; — w^ + to'l, la forme linéaire H^ était changée en

les coefficients )^/,x,, . . ., A^ devraient être tous nuls, puisque K^ est changée dans une combinaison linéaire des CoefTicients de /'(tj), L^ dans une combinaison linéaire des coefTicients de •]> (E; -q) et

que A est conservée. Il faudrait donc que les quantités R^, R2, ..., R/, fussent échangées entre elles par une substitution linéaire quelconque du groupe considéré, ce que nous avons vu être impossible.

Le raisonnement précédent montre que tous les termes H, sont nuls; on verrait de même que tous les K,- sont nuls, ainsi que tous les coefTicients a^ et p,. Par suite, les R, sont des combinaisons linéaires des coefficients de '|>(ç; '/]) ou, ce qui revient au même, des coefficients de 9'(w).

Considérons alors la forme quadratique

qui est, par hypothèse, covariante quelle que soit la constante X et dont les coefficients sont des combinaisons linéaires et homogènes des neuf coefficients de ^'(w). Déterminons la constante A par la condition que les neuf coefficients de co^, to',, ro^, (o,(d^, soient linéairement dépendants, ce qui est toujours possible. Si ces nouveaux coefficients n'étaient pas tous nuls, on aurait /i < 9 combinaisons linéaires indépendantes des coefficients de o' qui seraient transformés linéairement entre eux, ce que nous savons être impossible. Il faut donc que la forme quadratique écrite ci-dessus devienne identiquement nulle pour une valeur convenablement choisie de la constante A, C'est précisément ce que nous {Voulions démontrer.

En définitive, toutes les formes quadratiques covariantes absolues dont les coefficients sont linéaires par rapport aux A'^, sont données

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 67

par la formule

{li8} >.2 £/Agc.vcj/, + U^ ^i-j^'ij -^^ji — ^l — '^^l - «' ■+ '^l ^

aP6c trois constantes arbitraires a, p, X.

55. Les équations de la gravitation d'Einstein sont en rapport très étroit avec le problème qui vient d'être résolu. Étant donné un ds- a quatre variables

ds- = >^ g-,/,- ( jo ) dxj dxi;

réductible à la forme — w; - w; — wj + co;, les équations de la gravitation d'Einstein sont de la forme

où les G,A sont les coefTicients d'une forme différentielle quadratique covariante

4>=2 ^'ikdxidjc/c.

Einstein admet que ces quantités G,a sont des fonctions déterminées des variables x, des fonctions g,yi {x) et de leurs dérivées partielles du premier et du second ordre, et qu'elles sont linéaires par rapport aux dérivées partielles du second ordre. La forme

2] G^/A (^f^^i dxi,

doit être covariante : cela signifie que si Von effectue sur les x une transformation arbitraire

et si par cette transformation on a

E. CARTAN.

on a en même temps

) rfo-/ dxk

=2 Gm

1 dxjdx,,.

Pour obtenir toutes ces formes quadratiques covariantes, imaginons que nous ayons décomposé, de la manière la plus générale possible, la forme donnée <:^s- en quatre carrés — '-o'^ — coi; — w!; +^"^^5 les coefficients des quatre expressions de Pfafï seront des fonctions déterminées des g,/, {x) et de six variables auxiliaires u^, . . ., u^. La forme $ pourra alors s'exprimer comme forme quadratique en w^, Wg, CO3, co,,, soit

où les R,fc sont des fonctions déterminées des x, des u, des gii,{x), de leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, les dérivées du second ordre entrant linéairement. La forme tp étant par hypothèse un covariant absolu et les expressions w, étant des covariants relatifs, chacun des coefficients R^^ est un invariant relatif et par suite, d'après ce qui a été démontré au n° 25, une combinaison linéaire à coefficients constants des im^ariants fondamentaux K^^.

La forme d^ Einstein yiG,,^dx,dx/^ est donc nécessairement de la forme (48)

^Gf^dxidx,,^}. y^ £,A;5r,)yO)/,+ ( a ^e/SyA;/^ [3 ) (~ w^— oH — oj -f-oj:).

54. Avant de particulariser les coefficients constants a, p, X par la condition que la loi de conservation soit respectée, faisons quelques remarques sur ceux des invariants fondamentaux qui n'entrent pas dans les équations de la gravitation. Ces équations font intervenir seulement la courbure totale A et les coefficients de la formie d'Hermite •>}^(H; -f]), mais pas ceux des formes quadratiques /(^) et /'(yj). Les dix équations, linéaires par rapport aux dérivées partielles du second ordre des g,^, qu'on obtient en annu-

ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 69

lant les coefficients de ces formes, ont évidemment une signification invariante absolue. Ces équations sont, en se reportant aux expressions de f{l) données (n^ 28)