II. — Autres conditions aux limites
13. Dans la théorie de la propagation de la chaleur on est conduit à chercher plus généralement des intégrales de l'équation (i) satisfaisant aux conditions
\ y(b) + ïl/(b) = o 9
du rapport -s-^- est au moins égal à celui de
A(x)yJ, dx.
0) Le raisonnement prouve que 8 7 s'annule exactement q — i fois entre a et b y car, si 8j ne s'annulait pas dans ab, le rapport J- devrait varier en décroissant de zéro à un.
32 S. SA MELE VICK
h, H étant des constantes positives. En faisant h = H = o, on retombe sur le problème traité.
L'intégrale de l'équation (i) satisfaisant aux extrémités de l'intervalle ab aux conditions
a, (3 étant des constantes données, résout l'équation intégrale
où la fonction G, (a?, £) est définie de la manière suivante :
G. (*.«)= ^H-^A pourÇ^,
G.(*.*> = ^H-a + A POurU*.
Si dans l'équation (19) on fait a = j3 = o, on est donc conduit à une équation de Fredholm sans second membre n'ayant de solution que lorsqu'on attribue au paramètre X des valeurs exceptionnelles. La fonction v définie par l'équation (19) est méromorphe en X et, a et p étant quelconques, admet toutes ces valeurs exceptionnelles comme pôles.
On démontre, comme au n°2 du premier Chapitre, que ces pôles ne peuvent être que réels et simples. S'il y avait une valeur exceptionnelle complexe X' -+- i'X" on aurait, en désignant par u + «V l'intégrale correspondante,
«Ai
d'où l'on déduit que X" est nécessairement nul.
De même, si la solution y de l'équation (19) admettait un pôle multiple X , on serait conduit, en désignant par ?(#) le coefficient de la
plus haute puissance de , * dans le développement dey autour de ce pôle, à l'équation
f (^Vrfj?-hH9 , «(6)4-A?' l (a) = o,
ce qui entraîne <p(a?) = o.
Démontrons maintenant l'existence effective de ces valeurs exceptionnelles.
A cet effet, considérons d'abord le cas particulier H = o, c'est-à-dire proposons-nous de rechercher les intégrales s de l'équation (i) satisfaisant aux conditions
Gomme une pareille intégrale n'est déterminée qu'à un facteur constant près, nous pouvons écrire ces conditions
Faisons d'abord abstraction de la dernière de ces conditions; les deux premières déterminent une intégrale z.
Désignons encore par y l'intégrale déterminée par les conditions
y(a)=zo, yi(a) = \.
Entre ces intégrales on a la relation facile à établir
\ v dx M dx ) a '
c'est-à-dire, en vertu des conditions initiales et en mettant en évidence le paramètre X dont dépendent les intégrales y et s,
Donnons à X successivement deux valeurs singulières X n et X„ +If dont nous avons établi l'existence dans le Chapitre précédent. On
34 S. SANIELEV1CI.
aura
D'autre part, en vertu de ce que nous avons établi au n° 7, les déri- \èesy(b 9 X n ) et y'(b, X^,) sont de signe contraire; il en est donc de même des quantités z(J>,\ n ) ctz(b, X n+I ). Or, z(b, X) étant une fonction continue de X, cette fonction doit par conséquent s'annuler au moins une fois pour X /I <X<X„. M . D'ailleurs, la même formule (21) montre qu'entre deux valeurs consécutives de X annulant z(b 9 X) f il existe au moins une valeur singulière [c'est-à-dire une valeur de X annulant y(b, X)]; de sorte qu'entre X n et X rt+ , il existe une valeur et une seule de X pour laquelle on a s(6,X) = o(').
Le problème particulier H = o étant ainsi résolu, soient
les valeurs qu'il faut attribuer au paramètre pour que l'équation (1) admette une intégrale satisfaisant aux conditions (20); et revenons au cas général.
La formule (6), convenablement modifiée et appliquée à l'intégrale z déterminée par les conditions initiales z(a) = h, z'(a)= 1, devient
qu'on peut encore écrire
d \\ Vz'[b) il) 1 f 1 h . r h (dzy, 1
Cette formule, valable lant que z(b)^=o, c'est-à-dire pour \zfzX n (n = ± 1, ± 2, ...), prouve que l'expression
U*<*> Hj décroit constamment lorsque X varie de X' m à X) M+i , par exemple;
(!) Il y a exception pour l'intervalle (X— 1, Xi) dans lequel se trouvent deux valeurs pareilles, Tune positive, l'autre négative.
comme elle devient infinie aux limites de cet intervalle et qu'elle est continue pour ^ l <^<^ wl+l » il est clair (■) qu'elle varie de -hoc à — a© et que, par conséquent, elle s'annule une fois et une seule. Ceci établit l'existence, en nombre infini, des valeurs exceptionnelles auxquelles correspondent des intégrales satisfaisant aux conditions (18).
Quant au calcul de ces valeurs exceptionnelles, il est clair que la méthode développée au n° 6 est encore applicable.
14. Proposons-nous encore d'intégrer l'équation (i) moyennant les conditions aux limites
qui correspondent, dans le problème de propagation de la chaleur auquel nous faisions allusion au commencement du n° 13, au cas où il n'y a pas de rayonnement vers le dehors.
On peut considérer les conditions (22) comme la limite des conditions (18) pour h = H = 00.
Remarquons tout d'abord qu'il n'y aurait aucune difficulté à traiter le cas où l'une de ces quantités, soit H, tendrait vers l'infini; on n'aurait qu'à remplacer, dans l'équation (19), la fonction G,(j?, Ç) et le second membre par leurs limites pour H =qc.
Il n'en est pas ainsi lorsque A et H tendent simultanément vers l'infini, puisque la fonction G, (x, Sj) cesse d'exister.
Pour traiter ce cas, nous supposerons H = A et nous ferons augmenter h indéfiniment.
Les expressions qui définissent la fonction G, (a:, Sj) peuvent s'écrire
G.(-r> ç) — -H j^-^ pour£<J7,
(b — c,)(jn—a) b — a
M*>£) = ~ H b^a pour 5>;
( ! ) Il est d'ailleurs aisé de lo vériGer directement. Dans le voisinage de X = \' n la fonc-
30 *>. svmunv.1.
Ola étant, l'intégrale A* l'équation
du
vérifiant le* conditions u< a ) — hu* a) = zh, u(b)-*~hiï by = £A, est donnée par la formule
Xh aib — Jr;-h^ jt — a *o — at -
.%' maintenant la fonction donnée fi xy satisfait à la relation
on pourra retrancher de la fonction G, (2?,!;) la quantité - qui est sa partie principale dan» le développement autour de h = oc; dans l'expression qui reste on pourra alors faire croître h indéfiniment. Le résultat auquel on parvient ainsi est le suivant :
L'intégrale de l'équation
vérifiant les conditions aux limites
u'(a)=-a, u'(b) = £, et en supposant satisfaite la relation
I f(œ)dx + <x -H (3 =0,
tion z uriitiKl lu développement z = z -+- (X — X^jz,-*-. . ., les fonctions z , z it ... vérifiant lu* conditions initiales z (a) = h, z' (a) = 1, z (ù) = o, z x {a) = z\(a) = o, et l'on trouve facilement
est donnée par la formule
où Ton a posé
G',^.r, ;) = 2 pour £^x,
fi', (jr, $)= — pour £ = x.
On a ajouté la constante C qui ne change évidemment rien» ni à l'équation, ni aux conditions sur le bord.
Ce résultat nous permet maintenant de ramènera une équation intégrale le problème posé au début de ce numéro. Il est clair» en effet, que l'intégration de l'équation (i) satisfaisant aux conditions
sera donnée par l'équation
(»3) ^^^X^GU^OA^ytO^^ ^^^^^^^^ +C,
C n'étant plus cette fois une constante arbitraire» mais choisie de façon que y satisfasse à la condition
(24) >/ A(x)y(x)dx-+-cx-+-$ = o.
•Ai
Posons, pour abréger,
f\i*)dx = U, «(*-*) + P(-*-«)= A . (j , )t C.^.Çj-â f G',(*^)A(x)rf.r = H(.r,£), *(*)—*? / k(x)k(x)dx = l(x).
En déterminant la constante C par la relation (24), on sera conduit
38 S. SANIELEYICI.
finalement à l'équation intégrale (»5) ^W-i|H(^OA(^)^ = /W-^ (•).
Il est facile de voir que le second membre de cette équation ne s'annule, quel que soit x f que lorsqu'on a a= p = o. Les pôles dey(x) coïncident donc avec les valeurs exceptionnelles de X auxquelles correspondent des intégrales satisfaisant aux conditions (22). Ces pôles sont réels et simples; ils forment une suite infinie. La démonstration est entièrement semblable à celle que nous avons développée au n° 13.
Remarquons cependant que, pour démontrer qu'un pôle X est simple, on doit supposer X =^ o. Or X = est évidemment un pôle; c'est un pôle simple, comme il résulte de la forme du second membre de (25); mais ceci exige essentiellement qu'on ait M ^o, comme nous l'avons tacitement supposé en établissant la formule (25).
Il résulte de ce qui précède que, pour calculer les valeurs exceptionnelles et les intégrales satisfaisant aux conditions (22), on doit partir du développement suivant de la fonction y définie par l'équation intégrale (2$) :
y = — jjjj 1 -+- M*) + >yi(*) + ....
Qu'arrive-t-il lorsque M est nul? La formule (2/4) ne déterminera plus C; en y remplaçant y(&) par sa valeur tirée de (23), on lui donnera simplement la forme nouvelle
(24') a-h(3 + >f k{x)k(x)dx + K f f G' 1 (£,tf)À(a?)A(£) i r(*)^^==o.
C'est sous cette forme qu'elle déterminera la constante C, si la quantité
(*) Réciproquement, il esl aisé de remonter de l'équation (25) à l'équation (1) et aux conditions sur le bord.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. 3q
est différente de zéro. En posant
n l M) = G\M)-±f f G\(* 9 Ç)G\a' 9 t)A(*)Aiï')dxdÇ 9 * {ar) ~if f Gi('.5)A(*)A(Ç)*(0rf*^ = /«(*),
on sera conduit à l'équation intégrale
)dx
La valeur X = o est donc cette fois un pôle double dey(x); et Ton devra tenir compte de cette circonstance dans le calcul des pôles.
On continuera de la même façon si Ton a aussi M, = o; et ainsi de suite.
15. Une méthode entièrement pareille nous permettra de traiter le problème des intégrales périodiques de l'équation (i). Notre point de départ sera l'intégration de l'équation
moyennant les conditions
( u'(a) = u'(b) + k (*z=const.).
Il est clair que le problème ne sera possible que si la fonction /(a?) satisfait à la relation
Cette relation étant supposée remplie, l'intégrale cherchée est donnée par la formule ( * )
u(x)=zf G(r, £)/(£) </£+C (C const. arbitraire).
C 1 ) La fonction G(.r, {) est celle que nous avons définie au n° 1.
4o S. SANIELEVICI.
Il suffira maintenant d'énoncer le résultat :
L'intégrale de l'équation (i) satisfaisant aux conditions (26) est la solution d'une équation de Fredholm, dont le second membre s'annule aveck. Le point X = o est un pôle de cette solution, dont l'ordre de multiplicité dépend de la fonction k(x).
En particulier, si la quantité
est différente de zéro, le pôle X •= o est simple. Quant aux autres pôles, ils ne peuvent être que réels et simples.
A ces pôles, que nous appellerons valeurs caractéristiques, correspondent des intégrales satisfaisant aux relations
Par conséquent, si la fonction A(a?) admet la période b — a, ces intégrales admettront la même période.
Pour démontrer l'existence d'une infinité de valeurs caractéristiques, établissons brièvement une formule analogue à (6).
Tant que X est différent des valeurs singulières \ n du premier Chapitre, il existe une intégrale et une seule de l'équation (1) prenant la valeur un pour x = a et x=b. Désignons-la par z(x, X); c'est une fonction continue de X, pour X =^ X n . La marche suivie au n° 3 conduit ici à la relation
— [z'ib^-z'ia,! )]-f- / A{x)z*(x,l)dx = o.
Comme d'autre part on tire de l'équation (1)
s'(b,l) — z'(a, X)— Ç z'*{x,ï)dx + i C \(x)z*(x,l)dx = o, il vient finalement
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. t\\
II est clair que z satisfait à l'équation de Fredholm
<a8) *(.*)-> f G(* f OA(Ç)*(?)rfÇ = '.
Étudions cette fonction dans le voisinage d'une valeur singulière X„. On a
En portant ce développement dans l'équation fonctionnelle (28), on trouve
d'où l'on tire aisément D'autre part,
d'où l'on conclut que le rapport " T " "' tend vers -hooou — ao
suivant que X — X„ tend vers zéro par valeurs positives ou négatives, pourvu toutefois que ty(x) ne soit pas identiquement nulle.
Or il est facile de se rendre compte sous quelle condition se présentera la dernière circonstance. Si l'on désigne par u n (x) la solution de l'équation associée à (28), sans second membre, pour X = X„,
««U')-^A(a?) / G(Ç, jt) u H &)dl = o 9
il faut et il suffit qu'on ait
f u n (x)dx = o.
4^ S. SANIELEY1CI.
Or, comme on a manifestement
cette dernière condition revient à
c'est-à-dire à
yn(&) étant l'intégrale singulière correspondant à X R .
L'intégrale singulière y n (x) serait donc en même temps une intégrale périodique et X n serait une valeur caractéristique.
Écartons cette circonstance qui est évidemment d'une nature exceptionnelle et supposons que X varie entre deux valeurs singulières consécutives X„ et X w+I , dont aucune n'est caractéristique. La formule (27) prouve alors que, entre ces deux nombres, il y a une valeur caractéristique et une seule.
Remarquons qu'une valeur singulière d'indice impair ne saurait être en même temps une valeur caractéristique. Il résulte en effet, de la propriété des intégrales de l'équation ( 1 ) établie au n° 7, que les valeurs de la dérivée d'une intégrale singulière d'indice impair aux points a et b sont de signe contraire.
Supposons maintenant que la valeur singulière d'indice pair X an soit en même temps une valeur caractéristique; la fonction s(a?, X) est alors holomorphe autour de X = X 2tt et l'on a
ty ( x ) étant évidemment une intégrale de l'équation (1), pour X =X 2Jt , prenant la valeur un en a et b. La formule (27) reste valable pour X = X an et l'on doit distinguer deux cas :
,o <|/ § (a)- ^(6)^0. - Le rapport *'(*'*) -*'(*,*) décroît de
-h oo à — oo lorsque X varie de X 2 „, à X 2J ,^, et par conséquent s'annule pour une valeur de X différente de X 2n .
2 <|/ (a) — <|/ (ft) = o. — L'intégrale ^ (#) est périodique et il en
est par conséquent de même de toutes les intégrales de l'équation (i) pour X = X 2n .
En résumé, entre deux valeurs singulières consécutives d'indice impair il existe en général deux valeurs caractéristiques; si ces deux valeurs se confondent, elles deviennent égales à la valeur singulière d'indice pair respective et alors toutes les intégrales de l'équation (i) sont périodiques.
Quant au calcul des valeurs caractéristiques, on appliquera la méthode du n°6, en tenant compte, bien entendu, que X = o est un pôle.
