DEUXIEME PARTIE
L'ÉQUATION Aa + XA(a?,^)w = o.
I — Intégrales nulles sur le bord.
1. Le premier problème fondamental qu'on se propose sur l'équation aux dérivées partielles
A« + XA(*,jr)« = o (a-^ + ^j)
est d'en trouver une intégrale, continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre à l'intérieur d'une aire simplement connexe (R) limitée par un contour fermé C('), et ^annulant sur le bord.
Soit G (x, y\ £ f Y]) la fonction de Green attachée au contour C, c'està-dire la fonction satisfaisant aux conditions suivantes :
Elle vérifie l'équation de Laplace à l'intérieur de C;
(*)Nous supposons que le contour donné est de ceux par rapport auxquels on peut résoudre le problème de Dirichlet; pour plus de simplicité, nous le supposons formé d'arcs de courbes analytiques et ayant partout une tangente déterminée.
44 s - SANIELEVICI.
Elle est continue dans (R), sauf au point x = Ij, y = yj, où elle devient infinie comme log , ;
Elle s'annule le long du contour C.
On sa|t que l'existence de cette fonction, que les conditions énoncées déterminent complètement, est une conséquence du célèbre problème de Dirichlet.
La fonction de Green jouit de plusieurs propriétés importantes, entre autres d'être symétrique par rapport aux deux couples de variables cv 9 y et E, Y).
Cela étant, considérons d'abord l'équation
oùf(x,y) est une fonction donnée admettant des dérivées partielles dans (R) et sur C; cette équation admet une intégrale parfaitement déterminée, continue et ayant des dérivées premières continues à l'intérieur de C, et prenant la valeur zéro sur le bord. C'est la fonction
l'intégrale étant étendue à l'aire (R). Cette fonction vérifie en effet l'équation (2); c'est une conséquence de la formule de Poisson. D'autre part, elle s'annule sur la frontière comme la fonction G ellemême (*). Il est clair que cette intégrale est unique, puisque la fonction harmonique nulle sur le bord est identiquement nulle.
De même, soient u (s) une fonction continue donnée le long du contour C et u (x,y) la fonction harmonique prenant sur ce contour la succession de valeurs u (s). La fonction
(3) u(x f y) = u (x 9 y)^~J t fG(x f y;^r t )/(lri)did-n
vérifie l'équation (2) et prend sur le bord les valeurs u (s); c'est d'ailleurs la seule intégrale de (2), continue ainsi que ses dérivées du premier ordre dans (R), qui prend ces valeurs sur la frontière.
( ! ) La difficulté relative au point \ = .r. yj = y se lève facilement.
Si maintenant nous nous proposons d'intégrer l'équation (i) moyennant la condition
u(x,y) = u (s) (sur C),
nous serons conduit à une équation intégrale
(4) w (^^)"""^ / ( G (**y* Sf*0 A(5,tï) u(% 9 n)d£dn = u (x,y).
Réciproquement, la solution de cette équation intégrale satisfera a l'équation (i); il suffit pour cela que A(œ 9 y) soit dérivable dans (R).
L'intégrale de l'équation (i) qui prend sur le contour C les valeurs données u (s) est donc une fonction méromorphe du paramètre X ; ses pôles sont les valeurs de X pour lesquelles l'équation sans second membre
(5) «(^^)-^yy"ri(*,y;Ç,t ï )AU,ti)i«U,tï)dEAj==o
admet des solutions non identiquement nulles. Or on est conduit à l'équation (5) en supposant u (ac 9 y)=o; il faut et il suffit pour cela qu'on ait u (s)=o. Les solutions de l'équation (5) représentent donc des intégrales de (i) s'annulant sur le bord, et l'on voit ainsi que de pareilles intégrales n'existent que, peut-être, pour des valeurs exceptionnelles de X. Nous appellerons ces valeurs les constantes caractéristiques de l'équation (i).
2. Les constantes caractéristiques ne peuvent être que réelles.
Soient en effet a-hi(3 une constante caractéristique complexe et v-h m une intégrale correspondante, de manière qu'on ait, en séparant les parties réelles et imaginaires,
Ai* +«A(.r,/)f -pA^jjwno, Aw 4- a k(x,y)\v->t- (3 A(x,y)v = o.
De ces équations on tire
/ / (w Ae — v \w)dxdy — [3 / / A(.r, y) (f'-f- w*)dxdy = o,
(6) \ J J J J " I f ( v Ac -h w Aw) dxdy ■+■ <z I f A ( x, y ) ( c* -+- w 1 ) dx dy = o.
46 S. SANIELEYICI.
Or, les formules classiques de Green donnent
//■^-*=-jC'£*-// , [(© ,+ (©>*
-t- désignant la dérivée suivant la normale intérieure et fis l'élément
linéaire de G. Par conséquent, comme v et w s'annulent le long du contour, les relations (6) se réduisent à
P f f A (x, y) ( p* -+- cp») d.v dy = o,
On a donc nécessairement (î = o, car autrement la fonction p + iw serait constante; et comme elle s'annule sur le contour, elle serait identiquement nulle (* ).
Démontrons encore que la fonction u( x % y ; X) (nous mettons en évidence le paramètre) définie par l'équation (4) ne peut avoir que des pôles simples.
Soit en effet \ un pôle d'ordre n (n > i) de cette fonction, de telle façon qu'on ait, dans le voisinage de ce pôle,
En portant ce développement dans l'équation (4) et en égalant les
(*) La démonstration suppose l'existence des dérivées normales sur le contour. Or, remarquons qu'une intégrale singulière satisfait à l'équation (5); elle aura donc des dérivées normales sur le contour, si la fonction de Green attachée au contour en a. Dans le cas où le contour se réduit à un cercle, il en est bien ainsi; la démonstration que nous venons de donner est donc valable pour un cercle et par conséquent pour tout contour qu 'on peut représenter conformément sur un cercle.
coefficients des plus hautes puissances négatives de X — X , il vient
p(x,y) — ^JJG(*>y;Z>*)Ml>*)p(Z>*)<%<i'o = o 9
relations qui reviennent à
£kp+l k(a: 9 y)p = o,
a «i 4/ v a/ x (P=9 = o sur C).
bq + \k(x 9 y)q + k(x 9 y)p = Q
On tire de là, comme tout à l'heure,
f{ q ^~ p ^) ds +ff A{x ' y)p%d * d ~ y = '
Comme/? et q s'annulent le long du contour, il en résulte qu'on a identiquement p(x 9 y) = o.
3. Gela posé, nous allons établir l'existence effective d'une infinité de constantes caractéristiques.
La fonction u(x 9 y;\) étant holomorphe autour du point X = o, qui n'est pas un pôle puisque u(x,y;o) = u (x 9 y) f développons-la autour de ce point.
Soit
(7) u(*fY;\) = u ê (x 9 y)+lu l (x,y)+... + \*u n (x f y)~t-...
ce développement, qui est évidemment absolument et uniformément convergent, lorsque X varie dans son plan à l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre et passant par le pôle le plus voisin, le point (x,y) ayant une position quelconque dans (R). Portons le développement (7) dans l'équation (4). En annulant les coefficients de
48 S. SANIELEVIC1.
toutes les puissances de X, il vient
"«(^7) = ^// G (a?,/; £,tq) A(Ç, m) w„i(£, n)d\dn (n = i,2, ...)•
Les fonctions u 09 u { , . .. se déterminent donc de proche en proche par les relations récurrentes
[ Au
-hA(j:
et movennar
it les conditions
sur le
bord
> (surC).
S'il n'existait pas de constantes caractéristiques, la fonction u(x 9 y;X) serait holomorphe dans tout le plan de la variable complexe X et la convergence de la série (7) serait illimitée. Si donc on démontre que le cercle de convergence de cette série est limité, on sera assuré qu'il existe au moins une constante caractéristique.
Nous allons maintenant remplacer cette série, où les coefficients des différentes puissances de X dépendent de x et de y> par une autre k coefficients constants. Considérons à cet effet la fonction
*i(*)= / ! A(.r, y) u (x,y)u(x,y; l)dxdy.
Il est clair que cette fonction est elle-même méromorphe et qu'elle ne saurait admettre d'autre pôle que ceux de u(x, y; X). Il suffit donc, pour le but que nous nous sommes proposé, de démontrer que ^(X) n'est pas holomorphe dans tout le plan de la variable X.
Posons
"'n= / f A(ar, y) u (x f y) u n (x, y) dx dy. Les constantes w n ont été introduites par Schwarz.
Le développement de la fonction $,(X)dans le domaine de l'origine est alors
Montrons que ce développement n'est pas valable dans tout le plan. On a, en vertu des relations (8),
! ! A(x,y)u p u q dxdy = — j j u q lu p+l dxdy.
D'autre part, la formule de Green donne j j ( u p + x Au,— u q ùkUp+ x )dxdy + J (u p+l -^ — Uq -^^\ ds = o.
Par conséquent, en supposant y = i, comme u JH . i et m, s'annulent sur le contour C, on a
— / / u q lu p + l dxdy = — j j Up+ibiiqdxdy, c'est-à-dire
/ j A(x,y)u p u q dxdy= j j A(x,y)u p + l u q i dxdy.
Il résulte de cette égalité qu'on peut écrire (10) *Wi= j j A(x,y)u n (x,y)u a + l (x,y)dxdy.
Transformons encore celte formule à l'aide des relations (8); on a
^în+i = ~ / / "«-h Aw «+« dx d y> et, par l'application d'une formule de Green,
5o S. SANIELEVICI.
Les constantes de Schwarz à indice impair sont donc essentiellement positives et différentes de zéro (* ).
On a de même
«Wi = / j k(x,y)u n it n + x dxdy=z— j j u n bu n+1 dxdf et, par conséquent,
Gela posé, considérons la forme quadratique définie positive en a etp
inégalité qui s'écrit simplement, en vertu de ce qui précède,
On a donc et, puisque ces nombres sont positifs,
La suite d'inégalités
montre que le rapport llt " 1 " 1 tend vers une limite finie et plus grande
(*) En effet, u'm-M ne peut s'annuler que si w„-m se réduit à une constante, mais alors u n) u n -\j •• -, «o seraient nulles en vertu de (8). Remarquons encore qu'on a
w*« = / JX(x,jr) u\ dx djr.
Par conséquent, pour k(x,jr) > o, les constantes à indice pair seraient aussi positives (*) 11 est essentiel de remarquer que la forme ne peut s'annuler que pour a = p = o.
que zéro. En effet, ce rapport ne saurait augmenter au delà de toute limite, puisque la série (9) aurait un rayon de convergence nul, ce qui n'est pas.
Il résulte de ce qui précède que la convergence de la série (9) est limitée.
En effet, si la série
Wo + Xwi-t-X^iH-. . .-h X w «>„-+-. ..
convergeait pour toute valeur de X, il en serait évidemment de même de la série
X c v x -+- X 8 »' s 4- X» vr $ -+- . . . -h X 8 * +l «>,„+, -+- . . . ,
où Ton n'a conservé que les puissances impaires de X; mais alors on devrait avoir
lim «w, =0
4. Il existe donc au moins une constante caractéristique. Réciproquement, soit X, la constante caractéristique la plus petite en valeur absolue et soit
*ip
un système d'intégrales linéairement indépendantes correspondantes, c'est-à-dire les fonctions satisfaisant aux relations
(12) A^ U +X I A(07, y)z ïk -0 (* = i,a. ...,/?),
s j;t =o (surC).
Je dis que, si la fonction u (s) n'a pas été choisie d'une façon particulière, les séries (7) et (9) ne sauraient converger au delà du cercle de rayon |X, |.
En effet, pour que X = X I ne soit pas un pôle de u(x,y\X), c'està-dire pour qu'on puisse résoudre l'équation
52 S. SANIELEVICI.
il faut et il suffit que son second membre satisfasse aux relations
Z sk étant solution de l'équation associée, sans second membre,
Z(*,y)-^ffG(i,-n;a:,y)\(a:,y)Z(Z 9 T0)dZcI* = o.
Grâce à la symétrie de la fonction de Green, on vérifie immédiatement qu'on a
Z lk =X(x 9 y)z xk (k = i, ...,/>), puisque la relation
est équivalente aux relations (12).
La valeur X = X< sera donc certainement un pôle de u(x 9 y; X), si les égalités
j j X(x,y)z ik (x,y)u (a; 9 y)dxdy = o
ne sont pas vérifiées par la fonction w (r, y), c'est-à-dire, en vertu de (12), si l'on n'a pas
/ j u*(*j y) tkz xk dx dy = o,
ce qu'on peut encore écrire
(i3) f U t {s) *î±ds = o (k = i 9 a, ...,/>).
Or, u (s) est une fonction arbitraire; on peut donc supposer que ces relations ne sont pas satisfaites et par conséquent la convergence de la série ( 7 ) s 'arrêtera au cercle de rayon | X , | .
La fonction u(x f y; X), admettant le pôle simple X = X,, aura dès
lors autour de ce pôle un développement de la forme
u(x, y; X) = ""^ -h partie régulière autour de X = X^
Nous avons désigné le coefficient de j- par z XK% parce que ce
I xr
coefficient est une intégrale singulière correspondant à la constante caractéristique X,, comme on le voit de suite en portant le développement précédent dans l'équation (4); et l'on peut évidemment prendre cette intégrale pour la première du système (i i).
Le coefficient de — — =- dans le développement de la fonction <!>, (X)
autour du pôle X = X, sera par conséquent
j j À(x, y) s n (x, y) u (x, y) dx dy,
expression qui n'est pas nulle. La série
diverge au delà du cercle de rayon |X|, ce que nous avons voulu démontrer.
5. L'étude de cette série va nous faire connaître les diverses circonstances qui peuvent se présenter.
Si le rapport -^- tend vers une limite bien déterminée lorsque n
augmente indéfiniment, il y a un seul pôle sur le cercle de convergence des séries(7)et (9). Désignons-le par X, et soits n (x 9 y) le coefficient
de — — y dans le développement de u(x, y; X) autour de X = X,. On
'-xi
aura alors, comme au n° 6 de la première Partie,
lim ■=. r->
lim X? u m (x, y) = s u (jc 9 y).
54 S. SANIELEVICI.
Wn
Si au contraire le rapport — — n e tend vers aucune limite bien
déterminée pour n infini, nous sommes certain qu'il y a deux pôles, égaux et de signe contraire, sur le cercle de convergence de séries(7) et (9). Désignons-les par X, et X 2 = — X,, et appelons s,, et z 2l les
coefficients de c- et *- respectivement. On a, dans ce cas,
la fonction v(x,y; X) étant holomorphe dans un cercle de rayon plus grand que |X, |. On calculera alors X,, z KK et z 2{ par les formules
*n (*, y) — s„ (x, y) = lim ï\ n +* u tn+l (x f v), ~u(^, y) ■+■ *ti(*% y) = Vitale u ln (.r, y).
6. D'une manière générale, supposons qu'on ait établi l'existence et calculé la valeur des constantes caractéristiques rangées par ordre de modules non décroissants
Ai, Aj, . . ., A p9
dont la valeur absolue est au plus égale à un nombre donné N, et que l'on ait en même temps calculé les résidus correspondants
z pi-
On pourra écrire, dès lors,
u(x 9 y;l) = — ^j 4- -^j+..H ^y -hU(*,/; X)
— ÏT l -T t -X
la fonction \}(x>y\ X) étant holomorphe dans un cercle de rayon plus grand que N. Portons cette expression de u(x,y; X) dans l'équation (4);
il vient
iii y +...4--^H-U(*, 7 ;X)
— À ^0^ G <^ ^ ^' ^^ À <^* ^ > T^^^ -^ • . . -h- U (4. ^ ; X)~J ^ rfrî = ^o (^, JK) •
Or, les fonctions z kt satisfont aux relations
Il vient donc finalement 04) U(* f 7;X)-^y"yG(ar f yU f iï)A($ f ii)n(Ç f ti;X)dÇ*i
= «o( *f y) — *u — *îi — • . . — 3 P f
Le mécanisme des constantes de Schwarz nous permettra alors d' établir l'existence d'une nouvelle constante caractéristique , ainsi que d'en calculer la valeur.
Soit en effet
V(x, y i *) = **.(*, y) + *Vi(*, y) +...+ l m Vm(* 9 ?)+•••
le développement de la fonction U(a?, y\ X) autour de l'origine. La fonction
(X) =ffk{x, y) \J.{x, y) U(*, /; \)dxdy
aura autour de X = o un développement dont la convergence sera limitée.
La démonstration est identique à celle que nous avons développée au n° 4.
Réciproquement, soit \ JHmi une constante caractéristique de module immédiatement supérieur à N, et soit
un système linéairement indépendant d'intégrales correspondant
56 S. SANIELEVICI.
à X^,. La fonction \J(x,y; X) admet le pôle X = X^, si l'on n'a pas
jj [u (x, y) — z XÏ {x 9 y) — ... — z pl (x, y)] A(x, y) z p + uk dx dy = o
Cette relation se réduit, en vertu de l'orthogonalité des intégrales singulières ('), à
(i5) / /A(;r, y)z p + uk u (x, y)dxdy = o (Ar = i, 3 ^r),
c'est-à-dire à
Il est clair que, pour u (s) quelconque, ces relations ne seront pas vérifiées. De même, pour que la fonction 9 pMÎ Çk) admette le pôle X = Xp».,, il faut et il suffit qu'on n'ait pas
(16) j j A(x, y)*p+i,i U (.r, y) dx dy = o,
en supposant qu'on ait pris pour première intégrale du système z^. ith le coefficient de j— dans le développement de U(#, y; X). Or, en
faisant X = o dans l'équation (i4)t on trouve
U (*, y) = u (x f y) — s u — z lx — . . .— z pl .
La condition (16) n'est donc que l'une des conditions (i 5) supposées non vérifiées.
( 1 ) Des relations
toi -+-X/ k(x,y)zi = o )
\ Zi= Z k =08\lV C
As* H- Aa- A(x, y)z k = o ) Ton déduit
/ / A(x,y)ZiZjdxdy = o pour i jéj.
