II. — Autres conditions aux limites
7. Au lieu de chercher des intégrales de l'équation (i) qui s'annulent sur la frontière, on est conduit, dans certaines questions de Physique mathématique, à examiner s'il existe des intégrales satisfaisant sur le contour donné à la condition
du .
Tn- k "=°>
k étant une constante positive ( •) et -7- désignant la dérivée suivant la
normale intérieure au contour C.
Ce problème peut être traité d'une manière tout à fait semblable.
Désignons par Y(x, y; £, tj) la fonction harmonique en (x, y) à l'intérieur de C, sauf au point x = £, y = yj, où elle se comporte comme
lojr ■> et vérifiant sur la frontière la relation
an
Il est facile de démontrer que cette fonction existe et est bien déterminée. Posons en effet
T(*>y;Z, *î) = iog- — <»(*,/; £>*)),
La fonction (o(x $ y ; !j, rj) sera partout harmonique dans C et satisfera, sur le contour, à la relation
(17) -. k(ù= — Arlog —
' dn dn °r
Si l'on représente cette fonction harmonique comme un potentiel dû
( J ) Ou môme une fonction positive le long do C. S.
58 S. SANIELEVICI.
à une simple couche de densité p étalée sur G, en écrivant
a) = f P<J log-irfd, r> = VV- •*)*-+- (JW) 1 [a?, y' coordonnées du point (*) sur C],
les propriétés bien connues de ces potentiels, jointes à la relation (17), fourniront, pour trouver p, l'équation intégrale
r /cos* i\ rflog 7 1
( |8 ) J P°\-jT L -- klo s-p) d<r -' !: P<=—iïi *iog-,
x,y désignant ici les coordonnées du point fixe (s) du contour, et <p l'angle de r avec la normale intérieure en ce point.
La densité p sera ainsi parfaitement déterminée; en effet, on ne se trouve pas ici dans un cas singulier, puisque la fonction harmonique V satisfaisant sur G à la relation
an
est identiquement nulle (■). La dernière partie du raisonnement démontre aussi que o> est bien déterminée.
Cela posé, la fonction
tt =iïff T (*>y>t>*)M> 1 «) d tdn
vérifie dans C l'équation
(19) àu + f(x 9 y) = o,
( ! ) Cela résulte de la formule de Grcen
qui devient ici
'jC"*V/[(SH?)>*"
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. 5g
et satisfait sur G à la condition
du
- ku = o.
an
De même, si Ton désigne par u une fonction continue du point sur le contour G et par u (a?, y) la fonction harmonique vérifiant sur C la relation
du* . - — -ku.= u,
l'intégrale unique de l'équation (19), vérifiant sur la frontière la relation -^ — ku = u, sera donnée par la formule
(20) u = -^ff r (*> 7? 5» *)/(& *0 <%àn 4- « t (* f /).
8. Revenons maintenant à l'équation (1). La recherche d'une intégrale de cette équation satisfaisant sur la frontière à la relation
du . . -
-j ku = u
dit
nous conduira à l'équation de Fredholm
(ai) u——\\X{x > y\ £, u)ii(Ç, u)À(£, Yî)d£rfY) = tf«(x f y).
On peut donc répéter ici tout ce qu'on a dit aux n 09 2 et 3. Avec de très légères modifications, les raisonnements restent valables; les constantes caractéristiques, c'est-à-dire les valeurs de X auxquelles correspondent des intégrales vérifiant sur C la relation
du .
Tn~ ku = >
sont réelles, et ce sont des pôles d'ordre au plus égal à un pour la fonction définie par l'équation (21).
L'origine X = o n'est pas un pôle, puisque pour X = o on a
£/ = w (ar, y).
60 S. SANIELEVICI.
En écrivant donc comme précédemment
les fonctions u n (x 9 y) se calculeront par récurrence au moyen des formules
Aw =o, — —ku = u
âu t + Al*,y)u. =o, 2fc-ku t =o\ (supC)<
bu n + A(x,y)u n -i = o, ~ —ku n =zo
La série (22) est à convergence limitée; on le voit, comme au n° 4, en considérant le développement autour de l'origine de la fonction
Les constantes W k indice impair sont essentiellement positives et vérifient les relations
VÛ <w (/t = 2, 3, ...)
qui résultent de la considération de la forme quadratique définie positive
-h* / (a«, M H-pa„ + ,)V(T>o.
On démontrera aussi, de la même façon que précédemment, que, si Ton désigne par X, la constante caractéristique la plus petite en valeur absolue, X = X, sera un pôle de u(x,y; X) et de ^(X). Il faut et il
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. 6l
suffit pour cela que u ne satisfasse pas aux relations
u z dfj -=. o,
z étant une quelconque des intégrales singulières correspondant à la constante caractéristique X f .
On continuera comme aux n° 8 5 et 6.
9. On pourrait croire que la condition aux limites -j-=o n'est qu'un cas particulier du problème précédent, où l'on fait k = o. En réalité, cette condition est beaucoup moins facile à traiter (').
Reprenons la fonction de Green généralisée T(x, y; !;, yj ; k), en mettant en évidence le paramètre k dont elle dépend évidemment.
Nous avons posé
r(*,.r; J, r>; k) = log - — <ù(x,y; £, n ; k), w= j p 9 \ogpd<j
et nous avons été conduit, pour calculer p, à l'équation de Fredholm(i8).
Le noyau de cette équation, ainsi que le second membre, étant des fonctions rationnelles entières de k, il résulte de la manière de construire la solution de (18) que p est une fonction mêromorphe de k, ne pouvant admettre d'autres discontinuités que des pôles. Or il arrive précisément que k = o en est un, puisque, en faisant k = o dans l'équation (18) sans second membre, on retombe sur l'équation de Robin qu'on sait posséder des solutions non identiquement nulles ( 2 ).
(*) Uno méthode différente de celle que nous donnons ici a été proposée par M. Picard {Annales de V École Normale, 1907).
rflogi (*) Le second membre de (18) devient —* Cette expression ne satisfait pas à la
condition de compatibilité qui est ici / — j — ds = o, puisque le point ((, *)) est à Tinté-
rieur de C et qu'on a par conséquent / — -3 — ds = 21t.
62 S. SANIELEVICI.
La fonction <o(a;,y; !;, r\;k) est donc elle-même méromorphe en k, et admettra le point k = o comme pôle. Je dis que c'est un pôle du premier ordre. En effet, supposons pour le moment qu'on ait autour de k = o
<»(*>y;k*;*) = |5[ + ^Eï +••■-+- «'ter; 5» «;*) (*>*), o>' étant fini pour k = o. On devra alors avoir, le long de C,
-^=0, — Wa =o, ...,
les fonctions o> n , 0> n o ... étant d'ailleurs harmoniques à l'intérieur du contour. Il en résulte d'abord que o> A est une constante; et comme on doit avoir
dn
da = o,
a>„ est identiquement nulle.
Par conséquent, on pourra écrire
"(a?,^ ; £, ri; k) = ^ -+- w'(:r,/; Ç, tj; *).
Pour calculer la valeur de la constante a, remarquons que
est harmonique dans C, holomorphe pour k = o, et satisfait quel que
soit £ à la relation
d\og En y faisant k = o, on trouve
rf* - * w, - a = -^ kl0 *? (surC) '
flk)'(g,j;$,T);o) ^ ° 8 r
d'où l'on déduit
c'est-à-dire
S désignant la longueur du contour C.
En posant donc
r'(*>7;k*î;*) = l(>g- — «'(*,/; Ç,tq;*), on aura
r(*,r;Ç,Yî;À-) = H +Y\x f yXf\\k).
De même, la fonction V, partout harmonique dans C et vérifiant sur la frontière la relation
dh-~ ky = u >
admettra le pôle simple k = o, et Ton aura
V(x t y\k) = -^fûd* + V'(œ 9 v;k) 9
V étant harmonique dans C et holomorphe pour k = o.
