Cela posé, l'intégrale de l'équation

bu+f(x,y) = o

satisfaisant sur la frontière à la condition

du , -

-; kll — U

an est fournie par la formule

(23) «^^/y"[j|+r(* f ^;Ç f ti;*)]/« f i|)dÇAi

-+- V'(*,/; A:) — ^j uda.

Supposons maintenant que les fonctions données /(#,/) et u satis-

64 S. SANIELEVICI.

fassent à la relation

(*4) ] ]f(x 9 y)dxdv=z Cad*.

L'équation (23) se réduira alors à

On a ainsi le résultat suivant :

V équation

ÛLU-*-f(x,y)=zo

intégrée moyennant la condition ^ ku = u sur le contour, et en supposant qu'on ait

j j f(x,y)dxdy = J ûd<r,

fournit une fonction unique exprimée par la formule (25), où V est une fonction harmonique dans C, sauf au point (£, Y]), où elle se comporte

comme

log-

Mv-ir + iy-vy vérifiant sur la frontière la relation

dT l 27T

•- kY' = -=- (S longueur du contour),

et V(x, y\ k) une fonction partout harmonique dans C et satisfaisant sur Cà la condition

^-* v '=«-îX« rf '-

Les fonctions F et V sont holomorphes pour k == o. En désignant par F et V' leurs valeurs pour k = o, nous pourrons énoncer la proposition suivante :

La fonction

u = ^ff T 'o (*,y;l*)AZ, ri) did-n + v; (*,r) est une intégrale de l'équation

(26) Aw4-/(^/) = °

satisfaisant sur la frontière à la relation -7- = /*, en supposant remplie la condition

I I f(x,y)dxdv = / u dv.

Les fonctions T et V' vérifient sur le contour les relations

dT' a:: § rfv; - 1 /■- , *ï = t el ^r = "-sj"^

Or, ces conditions, jointes à la propriété de ces fonctions d'être harmoniques dans C et, pour T , d'avoir une discontinuité logarithmique en (£,*]), ne déterminent ces fonctions qu'à une constante près; de sorte que, si on laisse aux fonctions T et V leur signification précise

de tout à l'heure, l'intégrale générale de (26) satisfaisant à -7- = u sur C sera donnée par

« = ^ffT , o(x,y;lr>)fa,ri)dZdr ï + \ > (x 9 y) + E, E étant une constante arbitraire.

II. Nous pouvons maintenant aborder l'intégration de l'équation (1) Aw -4-XA(a?,j)w=ro

avec la condition sur la frontière

du dï= u -

66 S. SANIELEVICI.

La fonction u devra satisfaire à la relation

E étant cette fois, non plus une constante arbitraire, mais choisie de telle façon que u satisfasse encore à l'égalité

(28) 1 I / A(x, y) u(x,y)dxdy = f uda.

Portons la valeur tirée de (27)dans(28);il vient pour déterminer E

+ V;(*,jr)] +'kEj'j % A(x 9 y)dxdy=fudv;

d'où, en posant

a = J ! A{x,y)dxdy

constante que nous supposons différente de zéro,

E=ri- fTldtJ

de sorte que l'équation (27) devient

(29) u(x,y) — —JJR(x,y;Z,ri)A(t,ri)u{£ ) ,ri)d£ i dri

en posant

H(^,,y;^Yî)=z:r (a7,7;|,yi)— ^ J J k{x,y)T' ii {x,y\l,f\)dx dy,

v.{*> y) = v.(*fy)-zffM*, y )V (*, y) dxdy.

L'équation (29) est une équation de Fredholm. Il n'est pas difficile de

démontrer, réciproquement, que la solution de cette équation satisfait aux conditions voulues.

L'intégrale cherchée est donc une fonction méromorphe du paramètre X. Remarquons que, en faisant u = o, le second membre de (29) s'évanouit; de façon que les pôles de la fonction définie par cette équation sont précisément les constantes caractéristiques de l'équation (i),

pour la condition aux limites -^ = o.

// est essentiel de remarquer que \ = oest un pôle. Cela résulte de ce que X = o est un pôle du second membre de (29); on le voit aussi directement, en remarquant que les relations

Aw = o (dans C),

dit t n\

d7 t =° (surC) sont vérifiées par u = const.

12. Les constantes caractéristiques sont réelles. Ce sont des pôles simples de la fonction u définie par (29). La démonstration est la même que pour les autres conditions aux limites, si l'on suppose le pôle X ^ o. En effet, si X est supposé un pôle d'ordre n, p(x,y) étant le

coefficient de > ' > on démontre comme précédemment que/? est

constant; et comme on a

Ap+-X A(a;, f)p = o,

on voit que p est nul, si X =^ o.

Le pôle X = o est lui aussi simple si; comme nous l'avons supposé, la quantité

az=z I I A( ac, y) dx dy

est différente de zéro.

En effet, en écrivant

68 S. SANIELEVICI.

on déduit de l'équation (29)

surC.

Par conséquent, p est constant; et en appliquant la formule de Green, on tire de

/ j Iqdxdy + p J j A(x 9 r)dxdy = o

la relation

^=Xâ*=°-

c'est-à-dire, puisque a^o,

Le développement autour de l'origine de la fonction u(x,y;\) définie par l'équation (29) sera donc de la forme

En portant ce développement dans (29), il vient, pour calculer les fonctions u n ,

a = - / u de,

"o(^,r) — ■^JJVL(^y;^'n)A(l 9 -n)dldri =v' (x,y),

«i(*> y) — ^j J H (*> yiZ>*) A(^ti) u (Z,n)dZd-o =0,

«»(*i y) — -^ / / H (*» 7; 5t *0 A (£. *0 w »-i (?» *0 rfÇ *ï = °-

D'après l'expression de la fonction H(a?, y; $, tj), ces relations

peuvent encore s'écrire

les G/ étant des constantes. Ces relations sont équivalentes aux suivantes :

A£/ -h«A(.r,/) =0, — =nl

a a / v du* f

1 v J ' dn ) (sur C),

bu a +k(x,y)u n x = o, -^=0 J

la constante arbitraire qui entre dans l'expression de u n { étant déterminée de telle façon que les relations que doit vérifier u^ soient compatibles (n° 11).

Cela posé, la démonstration de l'existence de constantes caractéristiques autres que X — o revient comme précédemment à la démonstration de la convergence limitée de la série (3o).*

On considérera la fonction

*i(*) = / / A(#, y) u (x, y) u{x, y; X) dx dy,

dont le développement autour de X = o est (' )

(3i) ^(X)z=W -f-XW 1 + ...4-X«W tt -+-...,

en posant

w » - / / A (^> y) "•(*» y) "»(*■> y) dx d y*

(») *i(X) est holomorphe autour de l'origine, à cause de la relation

70 S. SAN1ELEVICI.

La série (3i) et par conséquent aussi la série (3o) ne convergent pas dans tout le plan ; il existe donc au moins une constante caractéristique. Réciproquement, soient X, la première constante caractéristique et z une intégrale correspondante, de façon qu'on ait

(32) As-+-X,A(j?, y)z = o avec T" = ° (surC).

Pour que X, ne soit pas un pôle de u(x, y; X), il faut et il suffit qu'il existe une fonction u vérifiant les relations

(33) Au -+- X t A(;r, y)u = o avec -j- = u (surC). Or, de (32) et (33) on tire

/ / (uÙlz — zbu)dxdy = o,

c'est-à-dire et enfin

Jf zuda — o.

Supposons donc que la fonction arbitraire u ne satisfasse pas à ces conditions. $f(X) admettra alors le pôle X = X lf puisque le résidu de $, (X) par rapport au pôle X = X, est

j j A(j?, y) u (x, y) z(x, y) dxdy,

quantité différente de zéro (*).

On continuera comme précédemment.

13. Indiquons succinctement ce qui arrive lorsque la quantité

j j A(x 9 y)dxdy

(*) En effet, celte quantité, après quelques transformations, se réduit à / uzda.

est nulle. La valeur de u tirée de (27) et portée dans (28) ne détermine plus E, mais fournit une nouvelle équation à satisfaire par a. En portant dans cette équation la valeur de u tirée de (27 ), on détermine E si Ton n'a pas

(34) fjffk(x 9 y)L&*)Y,(x % y^)d(xy)dfa) = o.

On aura ainsi pour calculer u(x, y) une autre équation de Fredholm, dont le second membre admet le pôle double X = o. Il en est de même de u(x, y; A) et Ton aura un développement de la forme

u(x,y;l) = Yt H y-" ^ M*> y) -H^M*?, y) +• • ■•

Sauf ce détail, rien n'est changé à la suite des raisonnements. De même, si l'égalité (34) est aussi remplie, on aura une fonction u(x 9 y; X) admettant l'origine comme pôle triple, etc.

14. Disons, en terminant, quelques mots d'une question de nature différente à laquelle on peut appliquer avec succès les méthodes que nous venons d'exposer.

Considérons une surface fermée à p trous, et soient

ds* = E du % -h aF du dv -+- G dv * le carré de son élément linéaire et d<r son élément superficiel. Posons