MU, V) — EG — F
àl du dv) , d( * du)
du \ y'EG — F 4 / àv \ y/EG - F» /
Soit maintenant G un contour fermé entourant une portion connexe 2
72 S. SANIELEV1CI.
de cette surface; on aura la formule de Green
Dans cette formule, U et V désignent des fonctions de (m, v) continues ainsi que leurs dérivées du premier ordre dans E, et -7- la
dérivée normale intérieure. Si les fonctions U, V satisfont k ces conditions sur toute la surface, on pourra prendre comme contour C l'ensemble des rétrosections K qui rendent cette surface simplement connexe; l'intégrale curviligne de la formule précédente disparaît alors identiquement.
Cela posé, considérons avec M. Picard (') l'équation
(36) l) 1 U + lc(n,f')v'EG— F*U=o,
et proposons-nous d'en trouver une solution continue, avec ses dérivées du premier ordre, sur la surface entière.
Dans son cours de 1908 k la Faculté des Sciences, M. Picard a ramené ce problème k une équation de Fredhohn sans second membre. Le problème n'est donc possible que pour des valeurs exceptionnelles du paramètre X. De pareilles valeurs existent-elles effectivement? On en aperçoit une immédiatement. C'est la valeur X = o. En efTet, l'équation de Beltrami
admet bien une solution continue sur toute la surface; c'est la fonction U = const.
Pour établir l'existence d'autres valeurs singulières du paramètre X, on partira de l'équation
<3 7 ) ]),U -+- lc(u, iOs/EG ~ F* U = s/EG - Fy(«, *)»
équivalente k une équation intégrale avec second membre. La solution de cette équation admet comme pôles les valeurs singulières en ques-
(*) Comptes rendus, 1905.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CORDES ET DES MEMBRANES VIBRANTES. j3
tion. En s'appuyant sur la formule de Green ( 35) et ses conséquences, on démontre facilement que ces pôles sont réels et simples, sauf le pôle X = o, qui peut être un pôle multiple.
Mettons-nous dans les circonstances les plus simples et supposons qu'on ait
(38) ffciut^da^o,
l'intégrale double étant étendue à toute la surface; alors le pôle X = o est un pôle simple et la fonction U définie par l'équation (37) admettra autour de ce pôle le développement
(3g) V(u 9 v;l) = j -t-U (w, v)-hlU t (u, i;)-k.. (a = const.).
Les fonctions U , U,, . . ., U„ satisfont aux équations
/ D,U H- «c(«, o)v/E(i - F'= V^G — *V("f v)> (4o) jDtU,+ c(ir, f)v^EG-F»U t =0,
et sont continues sur toute la sur/ace. Chacune de ces fonctions n'est donc déterminée qu'à une constante additive près, dont on disposera de manière à rendre possible la solution de l'équation qui définit la fonction suivante. En effet, si dans l'équation (35) on fait U = U n , V=i, et si l'on choisit pour contour C l'ensemble des rétrosections K, elle devient
ff
