CHAPITRE III
Equations y! —° ( * }v° 5 PU x) ,,, Q(y,2).
T'IJMRU ET Y(y Tr); HUE)
1. — P et Q sont des polynômes en y, dont la substitution y Ÿ — 1 donne le degré: 3 pour P, 5 pour Q. J'écris done l'équation
RAS, Tr Dec . te) +lu+, tv.
Pol... ee Un eur (y) à h+ ra .
Les valeurs o, 1, © de y jouent ici le même rôle. Si je fais par exemplex—X, y—1—Ÿ à la valeur y— 1 correspond Y —0, la forme de l’équation n’est pas modifiée, il y a seulement les échanges suivants:
De même par x—X, yY —1 à y—o correspond Ÿ —0, la forme de l’équation n'est pas modifiée, sauf les échanges
a b Co d e Î 9 h k l b AMC dc Î e q k h —|— 7.
Il suffit donc d’étudier une seule des 3 valeurs 0, 1, ©. Formons par exemple les simplifiées relatives à y—o. C’est la substitution + —x, + a X, y—aY qui donne
C’est une équation du type y! — h—;) F- +... où n —3 et l’on sait d’après les
résultats obtenus au chapitre 1°", paragraphe 2, que ou bien b,—7f,—o, ou fo — 302, c’est-à-dire ou bien b—=f=o, ou bien f(x) =3 b?(x).
Si b—f—o, on forme une seconde simplifiée par x —x, + aX, ya Y qui UE AU ou = 0.
est Y"— —k, et d’après les résultats du chapitre 1, paragraphe 3, k, —=o
B. Gambier,
On en déduit immédiatement que où bien & eo ou bien e 3a° et
de même où bien 6e g lo où bien g 3 c*.
L'interprétation de b f ko est très simple: si l'on fait y 2° on a une équation du second ordre et du premier degré en 2" où la valeur 2 —0 est une valeur ordinaire; done bb f ko entraîne l'existence d’une famillagge ZÉTOS triples mobiles.
Les résultats précédents conduisent à une équation obtenue en supposant
Teil I à é ; a À a=b=c=0, y" + | y° + qg(x)y! qui est à points critiques fixes: en poj DAT MOUSE L" p" R OR TE: I Le FLE sant y—=Y,X—qp(x), ——g onobtient Y”- A M 7: Y® dont l'intégrale Ë - 2 } Y — 1 ! 4 »
4 ; )'(aX + BP, 0, — 1) +1 A = générale est } P{ = ) , de sorte que l'intégrale générale de l Il 2 [I I , D (UOTE T) EN u :
y" == + } n° + q(x)y! est y SARET ) avec — —q. Il est facile 3\y y—1/: D: 2 u de vérifier que dans le cas actuel y, 1-—7, - sont des cubes de fonctions à points Ce critiques fixes.
9. — Si nous supposons maintenant que @, b, c ne sont pas nuls tous 3,
il faudra avoir recours aux développements correspondant soit aux pôles, soit aux Zéros, soit aux unités de y. Je fais remarquer que la substitution y = Y,
/ Il : : 2 à (TE X —@(x) ne change pas la forme de l'équation et remplace 4 par 1 D; (! ( DDC e l À É @) 0, c par =, —, —: 6, J,...t par +,...—<: Ceoïi nous servira plus tard.# P P P P” P”
Puisque d’autre part y Ÿ — 71, où y + Ÿ —1 ne change pas non plus la forme de l'équation, il est clair qu’une substitution X — (x), y —@(Y) où @; est l’une I à A RARE Ÿ —7 ÉLUS de pe OO Y ; USE TE LL ANS RE
ne change pas non plus la forme de l'équation. Il me suffira donc d’indiquer,
des 6: fractions op, = Y, 0, —
pour le tableau 7, toutes les formes que l’on peut avoir en supposant c = 0, car du moment que à, b, c ne sont pas nuls tous 3 et que c peut être par l’une de ces substitutions échangé avec b, ou a, le cas de c “0 suffira.
Formons les conditions relatives aux pôles si a <#o. Il y a alors deux familns UE EE —-— ++: où À sera arbitraire,
34€ —% | avec la relation + 3(ad—a!+a)—o; la seconde famille de pôles est
2 18 Caen 7 RS 3 do © —To
les de pôles simples: la première y—
+ a, + A(x— 2%) + --- où 2 est arbitraire avec la relation (2A+3 a?)*
+ 6 (ah — 2 ha) — 9 a(b—c) + 6a*(k +1) —o. On remarque en passant que si
Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 39
a(x) = e(x) — (x) 0, ces relations sont encore vérifiées, mais entraînent pour les
pôles des conséquences différentes (une seule famille de pôles triples). Ces résul- } 4 pe Æ f LA ® \ LA À LA L.
tats s'étendent aux zéros et aux unités et on est done conduit à écrire l'équation
Fi 2 à L | 12 b (; . n (x) Vas \y y AE + (a+? — 2 a)y + ÿ b? 2 k l * 1 (y — I [3 a - ele es RS: + h + Æ + — | x ) 4 À y (y 11) y T
avec le système de relations différentielles algébriques | h + 3(ad + a —a')—0
d k + 3(bd + bc + b—b)—0
Les 3(ca + ch+cd+c+c)—=o
un —
(2h + 3 &°)? + G(ah'— 2 ha') — 9 a*(b— c) + 6a?(k +1) —=0 (3) (2 k + 3 b?) + 6G(bh'— 2 kb!) — 9 ba + c) + 6bP(hR—1—3c)—=0 (21+ 30?) + G(cl'— 2 lc) —9 c(b— a) —6 ch +.k + 3 a? + 3b?)—0
que j'ai cité comme type dans l'introduction, paragraphe 7.
Je vais profiter de cet exemple, pour montrer la méthode qui permet d’intégrer les relations (2), (3) et qui démontre qu’alors (1) a ses points critiques fixes, donnant l'intégration de (x) si elle est intégrable ou la ramenant à un type déjà connu. J'ai dit aussi que si l’on prenait maladroitement le système (2), (3) on ne pouvait rien en tirer; or pour les calculs qui suivent je vais montrer que les 3 relations (3) sont inutiles, elles sont d’ailleurs assez difficiles à former, les relations (2) au contraire très simples, parce que le rang du coefficient indéterminé dans le développement polaire est moins élevé pour la r1°'° relation (2) que pour la rè® relation (3). Cette remarque d’ailleurs est générale.
3. Je prends, en supposant a(x)--0, le pôle mobile y DES 3 4% —%0
l'expression es 3ay est évidemment régulière pour un tel pôle, et la valeur
qu’elle prend pour ce pôle est arbitraire au même titre que À, à savoir a, —6 la.
Un pôle de la seconde famille DR +... est pour cette expression un 0 0 à ; ; TEE RUES EF pôle simple de résidu — 3. De même l'expression y = si bo, est régulière
pour le zéro mobile y = — 3b,(x —x,) + À(x—2x,)? +--:, la valeur qu’elle prend
40 B. Gambier,
alors étant arbitraire; l’autre zéro mobile y 3 (x—x,) + -:: est pour cette
expression un pôle mobile de résidu + 3. Je condense ces résultats en posant
! es 2 PNR es Loyx
où A(x) est une fonction arbitraire; le premier pôle et le premier zéro de y laissent « régulière avec une valeur arbitraire; le second pôle ou zéro de y sont pour « un pôle de résidu — 1 ou +1. Je choisis, pour la commodité des cal-
C L.pe Ÿa, 52 Ée culs AZ; +a—b. Je vérifie aisément, en me servant des relations (2) que
l'équation (1) équivaut au système
l Les 2 LYS S DES ESC R 39 2
ÿ se 54
12 à à u'—u — au +hp
où, pour abréger 2 2
( 2 B=6 = +24 CR a(s à Lo ‘| - ; 2 3 5 2 2, & Nous éliminons y entre les équations (4): par exemple en remarquant que la 1° peut s’écrire
y! su?) y—T y —]I
On obtient ainsi
uw! sue U £ a uw Fe 2 u'—z2uu —a'u— au! +! 3 2 / 3 + nn = = ©. Ê 1 2 u se u'— uw — au + p ac GORE ere 2U US
DS
2 + 1 : u'—u — au + p
Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 41
Si l’on remarque que
on voit immédiatement qu'en multipliant par «#4? —œu + 3 les 2 membres de n, on obtient
MADU)U Or
2e PI donc P et Q ne peuvent admettre es comme pôle: il suffit donc, avant
multiplication, d'écrire que dans (5) u— 3° n'existe pas en dénominateur ou que
: A : C : GÉOLÉ C le polynôme en suivant, w! - (u'— u?— au + B), est divisible par u — 7 : 2 . : C C c PR ÉENRT ce qui donne la relation f — 3. (e 2° 3. On vérifierait aisément que cette 2 2 2
relation est. une. conséquence des relations (3): or mon but est de prouver qu’il est inutile de former ces relations (3), et que le cours des calculs doit les donner, ou plutôt donner 3 équations équivalentes, où les coefficients sont mieux groupés. Cette relation admise nous avons
zu?
(6) = +(a+b+c+2d)u + + 3(b—a—cju°
É “Aer Ep —0" oae|u PQ EbE cd) ee
Cette équation (6) résoud la question: nous l’avons étudiée, chapitre 1°, paragraphe 9. Nous savons même, qu’il y a avantage pour avoir les types réduits, à supposer a+b+c+2d—0; on y arrive par y=Y, X —œ(x), u— Vqp'(x), substitution qui laisse intacte les relations (4), où y et « sont remplacées par Y et V, les coefficients de (1) étant remplacés par ceux de l’équation en Y et X.
: Ë b 2 d NUE Il suffit alors de déterminer qg par la relation “ sn De , ce qui revient
à ajouter aux 6 relations (2) et (3) la 7% a +b+c+24d—o, difficile à prévoir à priori et qui va permettre de déterminer les 7 fonctions a, b, c, d, h, k, l des types T; il suffit d’ailleurs de déterminer a, b, c, d en tenant compte des 3 relations (2). Il n’y a plus alors qu’à écrire que l’équation (6) coëncide, moyen-
nant a+b+c+2d—0 avec l’équation Acta mathematica. 33. Imprimé le 10 juin 1909. 6
42 B. Gambier.
(7) Pia + SVOPAOMNE DIE nn
ne … PTE ARR RL où le second membre désigne soit pt 3 y3, soit ar - VreEay? + 2 57 — AdQ
Fe
V'! 18 9 Tr T79 ro De / £ Soit — + 3 V2+4 XV?+2(X2— a) V — - a, , y étant des constantes nu-
2 V 27 GARE mériques. Cela donne des équations différentielles très simples, donnant sans ehfortra CON NU
4. — Je donne le simple résultat: le tableau T se réduit (moyennant une substitution auxiliaire Y —4;(Y,), dont il a été parlé, si c’est nécessaire) aux
2 équations
2 ÿ!! de. 2 ss Er | y’? h., 4 Fe ce ee SE (2) pe LES 2
PrOr —n|3aY ; F-œ-mtidt trtst+a+
ASP Su (rh 9) ane : nr + = avec € Le E FÈ E | Dont à se 210 STE NEC = node el E?
3s—2 Ÿ,;, Vi — 2 V, HR 2 : +4 CV: +2DV, Do tr Intégration:
VRRRT—ATRE (74 3Y Le NES 2 mr Verre HAN) SE EE à le . E?
IT SE 5 EU pi P?,54 OV 2 DV — 2,
où C, D, E sont ou bien nulles toutes 3, ou égales à 3 constantes non nulles ensemble, ou bien égales € à X, D à X?—« et E constante.
Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 43
5. — Je fais encore remarquer ici que les types dérivés de l'équation irré- : ee 13 ee f? 2e ductible Y!— Es + +4XY® +2 (X? + «) Y — + yY mettent encore en évidence
des valeurs ou de &« et f pour lesquelles des intégrales particulières de cette équation sont des transcendantes banales. I1 suffit de chercher si g ou r peut être nul, c’est-à-dire si les intégrales de lune ou l’autre équation de RiccATD Y'+ Y°+2XY +8—0o ou Y'—Y?—2XY+/$—o peuvent satisfaire
à l'équation Y"— Me AA + 2(X7—0Y — ; on trouve que si f —
DT 0 -2(1—a) toutes les so de la première équation de Riccarr sont solutions et si B—2(r +«) toutes les intégrales de la seconde équation de RrccaTr sont
solutions.
