S A: 1 ! TR

Où v = do: + u 3 où 2! et u! sont deux constantes arbitraires.

Ces formules donnent alors complètement la solution si V, et V, sont différentes de V, et différentes entre elles, ou si l’une des quantités V, ou V, a seule tendu vers V, ou si elles sont toutes deux tendu vers V, avec Au — ul! #o.

Si V, étant différent de V,, V, tend vers V, il faut donner des explications complémentaires pour 7; de même si V, a tendu vers V, ainsi que V, et que lu'— ul —o, c'est-à-dire 2—4', « = u! puisque À et u sont simplement déterminés à un facteur près de proportionalité.

Prenons V,#V, et V, tendant vers V,, alors qg tend vers =?! et r

Le aa y,

D ee ne 0V,, OV vers” — — où l’on calcule o par l’intermédiaire de la quantité u, — 1 + uw RE 2 2

et par la formule o — 2. | ee |

Æ Re V; Si V, et V, ont tendu toutes les deux vers V, et si 2—=1, u'=u on a ) 1 V !

S—0, ES où u— À - Vi Lu LP br $f en posant cette fois uw 0&; ù db; Q : 32 92 PE | p=}2° ji + 2lu | Gé + u?- Lx ») da da, 0f 0° d (?) ré 1e i Er er

Cet exemple montre combien doit être minutieuse la formation de tous les types T puisqu'il faut considérer 3 integrales V,, V,, V, de la même équation V'—6V?+$8. Si je prends S$—o j'ai par exemple les intégrales de V=6 V? qui sont où o ou Rx Y ou &?p(aX + B,0, 1) ce qui fait en tout pour V,, V,, V, un nombre considérable de combinaisons.

48 B. Gambier.

CHAPITRE VI. æ « L € UT I EE ue Equations 7 à be y We GT ge + PB (950887 AUD ) dé 1. — Si l’on prend À — « où « est une constante, on obtient seulement deux

équations dont les formes T' sont

ÉRNE: ï 1° TI! PESTE DE | CAR pe P'isrez ÿ ñ (HO : é D: = y à s

74 # & : Fer I I | : y Q] € | fo (l Æ——— - = ———— + — — = —— à L @) F'=— L pp) C0 06 o[s FR He" " é.

et les formes © correspondantes d P RP Le eee | ca & Late 2 Ex N—I Yu Fa 6)7 12 | [ 1 7. I 1 Le IE CURE 2 F n—]I = | g'E) à Ÿ Nine ent ALLIE 1 Ne l z0: | à Le (&) n + q(Ë)n(n—1) (nc) É À À À (n— 1} F (y— a} |"

On passe du type © au type T par n— Y, X —qp(£) où p est donné +

(x) par 2 quadratures - — q(£) et pour la seconde par une seule p'?— q(£).

L'intégrale de (x) s’obtient en écrivant Y®— KY(Y — r1)(Y — «) et celle de (2) en écrivant Y”? [2 pY T— un __ Te x | Y(Y—1)(Y—«).

2. — En supposant 4 — X on obtient le type irréductible VI qui est RS ALU I I I I

RES : : Li ER =

VOR 1) (7 — X) X. (Nr) C0) e.. ren: Le Ps Votre) Dev e) | Les substitutions Y Y,=ux, XX, =1r ou Ÿ+Y,—1, X+X,—1 ou Y=XY,,

XX, —1 ne changent pas la forme de l'équation et permutent entre elles les constantes «, Ë, y, 0. |

Pour «,f5,7,0 nuls ensemble, M. PAINLEVÉ a donné l'intégration de cette équation; pour «, Z, y, à quelconques cette équation est irréductible. —

(sit

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 49