Problème inverse

Etant donnée une équation y" — P(y', y, x) où P est rationnel en y' et y comment reconnaître si elle a ses points critiques fixes?

I] suffit de vérifier si une transformation

permet de ramener l’équation à l’une des formes donnée dans le tableau 71. Mais comment se calculent les coefficients /, m, p, q, q de cette transformation ?

Pour les transcendantes irréductibles, /, m, p, qg, q sont des combinaisons algébriques de l'équation proposée. Mais pour les autres il n’en est plus de même, au moins en général; !, m, p, q s’expriment algébriquement au moyen de p et g'; quant à la fonction @ elle est donnée soit par une ou deux quadratures soit par l'intégration d’une équation différentielle du second ordre. Les opérations qu’exige le calcul de cette transformation sont d’ailleurs les mêmes que celles qu’exige l'intégration de l'équation elle même: intégration qui se ramène,

? Si V, ou V, tendent vers V,, ou si V, et V, tendent simultanément vers V, ou si V, tend vers V,, on aura à trouver pour f, À ou « les valeurs limites de quotients de fonctions

prenant la forme ©. Cette limite sera indiquée dans le texte et se fait comme il a été indi-

qué précédemment, page 15.

On voit que pour l'équation (50) il y aura un nombre considérade types particuliers.

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 19

nous lavons vu, soit à des quadratures soit à l'intégration d'une équation linéaire d’ordre 4 au plus.

Il est alors plus avantageux, pour traiter le problème inverse, de dresser un nouveau tableau © des types canoniques auxquels les équations y! = P(y!, y, x) se laissent ramener algébriquement par une transformation

À, u, x, 4, q se calculant cette fois algébriquement. Ce tableau © est trop considérable pour pouvoir le donner explicitement: il faudrait reprendre chacune des 50 types du tableau T et lui faire correspondre dans le tableau © un certain nombre d'équations en nombre considérable: la dernière équation (50) par exemple conduit à plus de 100 types. — Les équations (28), (35), (36), (42), (45). (40), (47) donnent aussi un nombre considérable d'équations correspondantes dans le tableau ©.

Je me bornerai donc à prendre comme exemple les équations (29), (30), (31). Le raisonnement étant le même pour toutes, le genre de calcul le même, il suffira de quelques indications rapides pour permettre de reconstituer les types © dans

tous les cas.

12. — Je vais maintenant extraire du tableau T un tableau (4), dont il suffit d'indiquer la nature de chaque équation pour en déduire immédiatement la nature de toutes les équations T' et en donner l'intégration effective, quand on regarde comme complètement connus les éléments analytiques du tableau (#).

C’est le tableau suivant!

(3 0 AE (22 NS MES fi

CNE.

D Re DR Le T'AS Te) (6) Y'——2YY'+q(X)Y'+qg(X)Y TEA

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1 Voir pour chaque équation (f) ce qui en a été dit au tableau 7.

B. Gambier.

Si = CE " j | = tal Hp TEy à RÉF CRANERT., RER PNEU a ae. + B) + (24 + 7)

y'e y! cu. É = LU mnt MAL DATE 712 2 l 2e & PES ps Mo y Ê | } st (n + 2)° n + 2 à ne ACNOR AA ne n) } PA Pr \: R YMN(RES) 4 An ÎnQn) yes y )Y ï n + 2 J + Un (q, FE RES — À Y + 0 ÿ'e y3 112 — Ve + = + 4 «& y? EL u2 PY = ou y'2 à V3 92 pt. +4XY'+2(X—0) RE TR + + 7 — (, } F Y —7 = à] 2e = + ra nf Y — dé la où FAR RÉ er ou

Equations différentielles dont l'intégrale générale est à points critiques fixes.

. APE ï il ; MED ARE LAN A PP A AU (24) an er rte tr)

En) ent) CE te 1 A (x T) ATP ee er ne er \P

Remarquons en passant que les coefficients de toutes les équations (4) sont explicitement connus. Ces coefficients sont rationnels en X, sauf pour 5 d’entre clles: (5), (6), (13), (x4), (x5) où figurent des fonctions analytiques gq, r arbitraires de X et leurs dérivées jusqu'à un ordre fini. Ces 3 équations sont d’ailleurs intégrables.

15. — Toute équation de 7 non contenue dans (4) dérive d’une équation du tableau (f) par le procédé suivant.

Pour abréger le langage j’appellerai équation secondaire l'équation Y!" — p(Y"', Y, X) considérée dans T' et V'= P(V', V, X), l'équation de (t) à laquelle elle se ramène, (pour la clarté j'ai remplacé Y par V pour l'équation de f), sera dite équation primaire.

J'apprends à former pour l’équation secondaire Y!—p(Y', Y, X) une fonction V—#(Y', Y, X) rationnelle en Y' et Y telle qu’inversement j'aie Ÿ — p(V', V, À), p étant rationnelle en V' et V. Le système différentiel

fais ss He 206

équivaut à l'équation secondaire, qu’on obtient par élimination de V, tandis que l'élimination de Y conduit à l'équation primaire.

Or l'équation primaire a ses coefficients explicitement connus; voyons comment on obtient les coefficients des fractions rationnelles @(V', V, X), F(Y"', Y, X) et p(Y', Y, X): Appelons V(X, a, B) l’intégrale générale du type canonique primaire et V; l'intégrale particulière correspondant aux valeurs numériques «; et ?; données à « et f; soient de même A . Te a ... les dérivées de Y où l’on fait «a —a«;, B —/;; la fonction p(V', V, X) rationnelle en V et V'a pour coefficients des combinaisons rationnelles de 3 (au plus) intégrales partj- OV; OV; PV.

CB ON MOT EI étant au plus du 3" ordre; or quand on fait sur l'équation primaire V"— P(V', V, X) une telle transformation Y —æp{(V", V, X) il est bien clair que l’équa-

culières V;, soient V,, V, et V; et des dérivées -- les dérivées

tion secondaire obtenue Y'!—p{(Y"', Y, X) a ses coefficients nécessairement transcendants et que ces coetficients s’expriment d’une façon toute sembable au moyen

99 B. Gambier.