CHAPITRE II. - Groupes abéliens de points

Opérations sur les points et variétés de X?,

CoNGRUENCES. — Soit, comme dans le chapitre précédent, X” le produit topologique de n espaces Z7,; un point de X” est un système de #7 nombres æ,,…, &,, de À, que nous appellerons les coordonnées du point. Nous définirons le produit À, = À,-A, de deux points 4,, À, de X”, comme étant le point ayant pour coordonnées les produits des coordonnées de même indice de À, et de À,. Désignons par { X"} l’ensemble des points de X” qui n’ont aucune coordonnée nulle. Ils forment un groupe abélien par rapport à la multiplication que nous venons de définir. Si nous muitiplions tous les points de X* par un même point À de { X”}, nous obtenons une transformation de X* en lui-même que nous appellerons une congruence. 1} ensemble de toutes les congruences forme un groupe abélien isomorphe à { X”}. Deux figures formées de points de X” qui se correspondent dans une même congruence seront dites congrues. C’est évidemment une relation transitive. Une congruence étant une transformation affine non singulière de X”, deux figures congrues ont en même temps le caractère d’être une variété algébrique irréductible, de dimension s, ou d’être une variété algébroïde irréductible de dimension s,

144 C. CHaBauTy: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

u-Variétés. — Soient A4,,.., 4,, r points de X* de coordonnées Œiisne ini Grypn Gr, Nous supposons que l'on ar < n, que les Log (a;;) existent, et que les r vecteurs ù (1) (Log (as), …, Log (ap) 122)

sont linéairement indépendants par rapport à Æ,. Alors pour des valeurs des paramètres y suffisamment voisines de zéro |yi|,< c, les exponentielles af} sont définies et sont des fonctions analytiques des y. Le point

(2) a di = Exp (y1 Log &ii + … + y, Log &) An) = at: x a?

pour |yil,<cC, engendre un élément régulier, ayant pour centre le point (1,.., 1), et de dimension r. Une telle variété ou ses variétés congrues

(3) Ds = GA ee GA | = 1, 2.50)

{où q,,.…., q, Æ0) seront dites des u-variétés de dimension 7. On voit facilement que si (bn pe eesr LENS (m Fe E 2, ss N— r)

. . : F 4 sont n —7r vecteurs linéairement indépendants, dont chacun est orthogonal à tous les vecteurs (1), les équations implicites

(4) b Loge + … + bd, Log A 0) We D UT)

définissent la même variété que les équations paramétriques (3).

Les p-variélés jouent exactement par rapport au groupe des congruences, le rôle des variétés linéaires par rapport au groupe des translations. En effet, soient y,",.…, y,” un système de valeurs des exposants telles que |ÿ|,< c,

posons U1° Yr° | 1 c Vies QU in (—1,2,..,n) les formules ré Un Ye. :

Re HE QU —1,2,.,n

pour

Yi |» <C fournissent les mêmes points que les formules (3) On voit qu'une p-variété est invariante globalement par la congruence qui fait passer de lun à l’autre de deux quelconques de ses points. 11 en résulte qu’une u-variété est bien définie quand on sait qu’elle est congrue à une -variété donnée, et qu’elle passe par un point donné (qu’il faut supposer appartenir CNED CN N à

d'un corps de nombres algébriques fini 145

Soit Q, (g,,.…, q,) un point de { X”}. Considérons la transformation

(5) x; = Log (ri) Gba, n) qi

Soit vw un voisinage de Q, w le voisinage correspondant de l’origine. Supposons suffisamment petit pour que la transformation soit biunivoque et bianalytique. Nous appellerons & un voisinage propre de Q. Dans la suite de ce chapitre nous supposerons toujours pour toutes les études locales que nous ferons, que tous Les points, les éléments de variétés, les voisinages considérés, sont intérieurs au voisinage propre d'un inême point fixe de ! X"}.

Par la transformation (5), aux p-variétés passant par des points voisins correspondent des variétés linéaires de mêmes dimensions, voisines de l’origine et réciproquement, Aux congruences voisines de la transformation identique correspondent des translations d’amplitudes voisines de zéro. Moyennant la restriction indiquée, et grâce à la transformation (5) et au théorème (1.12) on voit facilement que: $

HA étant un élément algébroïde irréductible au voisinage d’un point A, et In le voisinage sur HA d’un point B régulier de HA, si In est contenu dans une n-variélé M, HA fout entier est contenu dans M. En particulier, si on montre que In est une n-variélé, il en résulle que H, est une n-variété. On obtient aisément aussi grâce à la transformation (5), la démonstration de la réciproque d’une proposition énoncée plus haut:

Si IA est un élément régulier de centre À, et si pour tout point B de IA à y a un voisinage de ce point sur IA congru à un voisinage de À sur I\, IA est une u-variété.

Produit de deux variétés. — Nous appellerons produit de deux figures | F,.F,, formées de points de X”, la figure F,— F,-F, formée par l’ensemble des points produits d’un point quelconque de la première par un point quelconque de la seconde. Nous appellerons énverse d'une figure F, la fiœure F#—' formée par l’ensemble des points inverses des points de F qui n’ont aucune coordonnée nulle. Nous nous occuperons de figures qui ne sont tout entières dans aucun des hyperplans de coordonnées x; — 0. Dans ces conditions, F, = F,-F, contient au moins une figure congrue à F, et une figure congrue à F,, et F—* existe.

Le produit de deux variétés algébriques irréductibles |), W, de dimen-

(tt) Une variété algébrique W est dite irréductible quand son idéal propre (W) dans l'anneau des polynômes en %4,,…, æ,, est premier. C’est une irréductibilité globale, dif”

146 C. CHapaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

sion s,, W, de dimension $s,, est une variété algébrique irréductible W, de dimension S, ZS; + S8,:.

En effet, le point général de W, admet une représentation paramétrique, les coordonnées étant des fonctions algébriques de s, paramètres; de même W, avec s, autres paramètres. Donc les coordonnées du point général de W, sont des fonctions algébriques de s, +5, paramètres. Il en résulte que W, est une variété algébrique irréductible de dimension <5$, +Ss,.

On verrait de façon analogue que si W est une variété algébrique ürréductible de dimension s, non tout entière située dans un hyperplan de coordonnée, W=' est une variété algébrique irréductible, de dimension s.

Intersections de -variétés et de variétés algébriques.

LEMME 2.1. — Soit W une variété algébrique irréductible de X", de dimension s. Soit À un point de W, non singulier et non situé dans un des hyperplans de coordonnées. Soit MA une n-variélé de dimension r, passant par À. Supposons que MA (1 W soit, au voisinage de À, un élément régulier IA de dimension k= 1 et qu'il n'y ait pas de variété algébrique de dimension inférieure à s qui contienne IA. Alors en tout point Q de W étranger à une vraie sous-variélé algébrique w de W, l’interseclion Mo fi W (Ma étant la u-variété congrue à MA passant par Q) est un élément régulier IQ de dimension k, qui dépend analytiquement des coordonnées locales de Q, quand on fait varier Q sur W au voisinage d'un point Q, étranger à w.

Soient |

PS dEe 0 (h—1,2,..,f)

les équations qui définissent W w, ] XL, { € bi Log x À ee + Or L09 A 0 {m—=1,2,.,n—r)

celles de M1, les n —7r vecteurs (b,1,.., bmx) étant par hypothèse linéairement indépendants. Celles de Mo, Q étant un point quelconque de { X”},

férente de l’irréductibilité locale définie au chapitre I pour toute variété algébroïde. La dimension s de W, définie algébriquement à partir de cet idéal de polynômes, coïncide en tout point avec la dimension définie localement comme an chap. I. On démontre qu’il existe une représentation, comme fonctions algébriques de s paramètres, des coordonnées de tous les points de W étrangers à une vraie sous-variété de W ou comme on dit du point général de W.

| (Cf. Van der WAERDEN, Moderne Algebra. tome II, chap. 18),

3 : j j PAN LSE : 3 d'un corps de nombres algébriques fini 147

de coordonnées q,,…., q,, sont x, Ly bus Log d + jt Our Log — == 0. ({m—1,2,...,n—r)

{ nm

Considérons les système d'équations aux différentielles totales

°F; dF, des =— +... + dx, = 0 1 ds | j CHE à ji g mn da (9 2 are ? f) b b, | | dæ, n ++ dx, = 0. (m—=1,2,..,n—r)

Il est satisfait quand le point (x,,…., æ,) parcourt l'élément 74 qui est une variété intégrale à kÆ dimensions de (D). D’antre part, (D) est un système d'équations linéaires et homogènes par rapport aux dx, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des x. Son rang a donc la même valeur e en tous les points de W, sauf peut-être sur une vraie sous-variété algébrique de la variété algébrique irréductible W. Nous désignerons par # la réunion de cette sous-variété avec celles qui portent les points singuliers de W et les intersections de W avec les hyperplans coordonnées, s'ils n’étaient déjà contenus dans la première. # est une vraie sous-variété algébrique de W. Il est impossible que 74 soit contenu tout entier dans # donc p est égal à n— k. En un point quelconque Q, de W étranger à # le système (D) peut donc être résolu par rapport à X variables auxiliaires dé, ,…, dé, sous la forme

(D) MAD ter Non dE (=, 2.)

Les g; sont des fonctions rationnelles des x, et les Æ vecteurs (g,,,.…., g;,) sont linéairement indépendants. Les conditions d’intégrabilité de (D') sont des équations algébriques en x. Comme elles sont vérifiées sur 74, elles sont nécessairement identiquement vérifiées sur tout W.

Soit maintenant (1) , RES E NAS) (= 1, 2, ..Hn)

l’élément régulier, de dimension s, qui représente W au voisinage de Q, (Q, correspond à #, = ..—t{,—0). Substituons les f aux x dans (D). Les premières équations de (D) sont identiquement vérifiées, les n — r restantes forment un système (D’) complètement intégrable. On peut l'écrire à l’aide de Æ éléments auxiliaires dû,,…., dû,, sous la forme

(D") dt; = h;;d0, -.… + h,;d0, Nue")

les h;; étant des fonctions analytiques des f, au voisinage de #, =... —#t, —0, et les 4 vecteurs à s dimensions (h,,,., h;,) étant linéairement indépendants.

| 2 J } + j + L : 4 PATNT 148 O. Onapaurv: Sur les équations diophantiennes liées aux wités

On peut calculer le développement en série des { suivant les puissances entières positives de 4 variables auxiliaires 6,,..., 0,. En effet les conditions d’'intégrabilité étant identiquement vérifiées, on obtient les dérivées partielles des £ par rapport aux 0 pour les valeurs initiales f; comme fonctions analy-

tiques des {;” grâce aux formules

ê è à 3b — 5 lon +. + 3. his (g = 2 2, ente k) 9 Dual TD d’où dt: :

RG, ANA) fie ss)

Bb HA Eee JO AR LE RE NET ES 9% … 04E