VS ERA

sn Of sen be) as On vérifie aisément que cette série, considérée comme série en 0,,…., 0,,…., t,",.., t,, converge pour les {” et @ assez petits (en supposant qu’on ait fait au besoin un changement de variables 0, = pN0,', N étant un nombre naturel assez grand). Substituons aux # les expressions qu’on vient de calculer, dans les équations (1), on obtient

(2) Ge D OS CNE PAUL MP L N, (OR à les fonctions ®; étant des fonctions analytiques des {’ et des 0. Pour 6, —.… — 0, — 0, elles se réduisent à Les Dhs le 0. 10) APRES OS et représentent tout le voisinage de Q, sur W. Si on y laisse {°,….,1{,° fixes et si l’on fait varier les 0 alors (2) représente un élément 7, de dimension Æk, régulier autour du point Q (q,,…, q,)

de W, correspondant à 40, —...—0,—0. Il est évidemment sur W. D'autre part, il satisfait à Un bn / dx, . +... + de, = = 0 (m—1,2,:.,n—7r)

"1 nm

donc, en tenant compte des conditions initiales, on voit qu’il est sur la

u-variété Mo

bi Log a ste 0 Log = 0 (nm = 1, 2,..,nm—r) { n

qui est la {variété congrue à M passant par Q. 10 appartient done à

WA M4, comme il est de dimension #, il constitue tout le voisinage de Q

sur W ff} Mo, le lemme est démontré.

à ré d'un corps de nombres algébriques fini 149

LEMME 2.2. — Conservons les notations et les hypothèses du lemme 2.1. Supposons en outre qu'il n'existe pas de u-variété de dimension inférieure à x qui contienne IA. Alors il existe une variété algébrique W de dimension RE rl K contenant M.

Prenons un point Q, de W, étranger à # et situé sur 74. C’est toujours possible, puisque # ne peut contenir 14. Alors Q, étant un point de M1, Mo, est identique à M4. Soit Jo, le voisinage de Q, sur 74, c’est un élément régulier de dimension k# qui représente W f} Mo, au voisinage de Q,; Wet Mo, sont la variété algébrique et la n-variété de dimension minima contenant Lo,. Utilisons la représentation paramétrique (2) du lemme précédent pour ie voisinage de Q, sur W. Soit © une courbe algébrique irréductible, située sur W, passant par Q, et régulière en Q,. On peut la définir au voisinage

de Q, par l'intermédiaire de (2), en se donnant les { comme fonctions analytiques convenablement choisies d’un paramètre €

= ue] Ne NU is]

et en laissant les Ü nuls. Nous supposons que grâce à une congruence convenable sur la figure initiale les coordonnées de Q, sont 1,.., 1. Formons la variété algébrique W, = W:07"'. Elle est irréductible et contient W comme sons-variété. Elle est donc de dimension s + 1 ou s. Dans ce dernier cas, elle coincide avec VW. Elle contient les points de l’élément paramétrique

ds = D, fs, Bien, 0x)D5'(u,(6), 4,10), 0, …, 0) Ê=— Le D es ; h).

{ee

C’est même la variété algébroïde de cet élément.

Donnons à € une valeur fixe €° et faisons. &, = u,(0),.…., é, = 4,(f) et faisons varier les 6. On obtient ainsi un élément 19 congru à 719 = MoN W d’après le lemme précédent, (Q étant le point de coordonnées x; — Dj{u,(£°),… …, U(C'), 0,…., 0) Faisons 0, —.. —0, —0 dans la représentation paramétrique de 79. On obtient le point Q{(1,.…, 1). Done 1 appartient à M,,. Il en résulte que l’élément paramétrique

(1) ai = Du(t),…., (6), 0, OuDi fu, (6), …, d(t), 0... 0) Mt 22, 0h)

appartient à W{WM,, et qu'il contient des éléments congrus à chacun des éléments réguliers de dimension k#, 19 = Wf\ Mo, pour chaque point Q de la courbe C voisin de Q,.

Si tous ces éléments 7,4 sont congrus à Z9,, quel que soit le choix de la courbe algébrique C passant par Q,, ils sont congrus à 74, quel que soit Q

: } j - 4 . } 1) 150 Ô. Orapaurv: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

sur W dans tout un voisinage de Q,; en particulier quel que soit Q sur 19,. Tous les voisinages sur 79, sont congrus, 10, est done une u-variété. Mais alors comme MQ, est la p-variété de-la plus petite dimension contenant 1o,, To, coincide avee Mo,, c’est-à-dire avec M1, et k est égal à r. W est ellemême la variété algébrique W cherchée.

S'il n’en est pas ainsi, on pourra choisir la courbe algébrique C de façon qu’un des 79, Q étant sur OC, ne soit pas congru à Z9,. J, sera nécessairement de dimension plus grande que #4. L’intersection de W, et M,, est au voisinage de Q, une variété algébroïde. Il y a au moins une de ses composantes irréductibles, soit Æ,, qui contient J,; soit 4, la dimension de H; on a k, œk+1. Soit À, un point de A, régulier et étranger aux autres composantes de W, f Mo,. Le voisinage de À, sur J1, est un élément régulier 11 de dimension k,, qui représente toute l’intersection W, N M4 au voisinage de À, (M4 est identique à M4). On voit facilement que W, est la variété algébrique de dimension minima contenant 7,4 et que My = M, est la n-variété de dimension minima contenant 741. :

On peut donc opérer à partir de W,, de dimension s, — s + 1, Z1 de dimension 4, = k + 1 et M4 (= M1) comme on vient de faire à partir de W, Fa MA MOuTbien Er, Ja est identique à M4 donc à M1, ou bien on peut

construire W, de dimension s, —s, + 1, telle que W, [}] M4, ait au voisinage

de À, une composante irréductible contenant 74, et de dimension k,=k, + 1, ete. Au bout de r —k— 1 opérations au plus, on arrive donc à une variété W,

Un

telle que W,, f\ M4, ait une composante de dimension r, c’est-à-dire que W,, contienne M4, c’est-à-dire M1. W,, est de dimension <r +-s — k. C’est la variété W cherchée.

Remarquons que le résultat peut être trivial si l’on n’a pasr 4 Ss—k<n car alors W peut être l’espace X” tout entier.

LEMME 2.3. — Si une variété algébrique de dimension $s contient une u-variété, entre S + 1 quelconques des coordonnées d’un point de la n-variété, Soient Xa,,, Xg,,1s U Y à une relation N , Nds+1 ER Aie

ns ui

deja 7e Te di

où les exposants Na,,…., Nu ,, Sont des entiers rationnels, non tous nuls et Cate duo un nombre différent de zéro indépendant du choix du point sur la u-vartété.

Nous pouvons, par une congruence, amener le centre de la u-variété, au point de coordonnées 1,.., 1. Soient M la u-variété, W la variété algébrique (toujours de dimension s), déduites des premières par la congruence.

d'un corps de nombres algébriques fini 151

s 4 1 coordonnées d’un point de W, soient æ,,.,*,,, sont liées par une équation algébrique

Hesse 0:

Soient b,,..,b, les coordonnées d’un point de M autre que le point de coordonnées 1,..., 1, alors M contient aussi le point de coordonnées b,",.., bn quelque soit le nombre naturel h. Done W le contient aussi, et l’on a

FO"... bé) = 0.

Soit v le nombre de termes dans f. Ecrivons les équations précédentes pour h==1, 2,..,v. On à ainsi, entre les coefficients de f, y équations linéaires et homogènes dont les coefficients sont des monômes en be b,, et dont le déterminant est un déterminant de VAN DER MONDE. Pour que ces équations aient une solution non triviale, il faut que ce déterminant soit nul, done qu’il ait deux colonnes égales, ce qui entraine l'égalité de deux monômes en b,,.., b,,,. On obtient un nombre fini de variétés algébriques, chacune définie par une équation du type ai aMsti — 1