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(les N étant des entiers rationnels non tous nuls), dont la réunion doit contenir tous les points de M. Comme M considéré comme variété algébroïde est irréductible, l’une des variétés précédentes doit contenir M tout entier. En revenant à la n-variété initiale par la congruence inverse de là première, on trouve la propriété annoncée.

«Groupes abéliens de points à bases finies. — Considérons des points à coordonnées, qui soient des nombres algébriques, formant un groupe abélien l par rapport à la multiplication définie au début de ce chapitre et possédant une base minima finie à r générateurs d’ordre infini et r’ générateurs d’ ordre fini. Nous appellerons r le rang du groupe et nous supposerons r > n. Soient (a,,,…, a,,),…, (@,,.…., &@,,), les coordonnées des points de base d’ordre fini, (a, ,.…., @n), …, (Œ'ensre, G'rin) Celles des points de base d’ ordre infini. Alors un élément quelconque du groupe F a pour coordonnées

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les exposants 7% étant des entiers rationnels. Choisissons comme il est toujours possible, le nombre naturel premier p, de façon que les coordonnées des éléments de base, et par suite celle d’un

152 C. CHaBaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

élément quelconque du groupe, soient des unités p-adiques. Formons le corps À, et l’espace X" définis précédemment. Nous considérerons les éléments de [comme des points de l’espace X7.

Nous dirons qu’un sous-groupe y de l'est distingué s’il admet une base minima formée de points dont les coordonnées sont des unités distinguées de Æ,. Ces points de base sont tous des éléments d'ordre infini de y car la seule unité p-adique distinguée qui soit racine de unité est 1. Leur nombre est donc égal au rang du sous-groupe.

Soit X, l'extension finie de À,, qu’on obtient en adjoignant à À, les coordonnées des points de base. D’après le théorème (1.14) il existe un nombre naturel h, tel que; pour toute unité p-adique « de X,, uw" soit une unité p-adique distinguée.

Posons

a = bij Giro) Le groupe

is m nt, POELE 6 Post up Pi DES (= 00)

où les »#; sont des entiers rationnels, est un sous-groupe d'indice fini de F, qui est distingué.

Pour un sous-groupe quelconque 7, l’intersection de y et de l; nous fournira done un sous-groupe y* de y d'indice fini par rapport à y (donc de même rang que y) qui est distingué.

Nous appellerons dimension d’un sous-groupe distingué 7*

Æ PRE m ra G \ V5 ct. Cr CAS

le nombre d (au plus égal au rang de ÿ*) de vecteurs linéairement indépendants par rapport à A, parmi les vecteurs formant «la base logarithmique » de y*. Nous entendons par là les vecteurs ayant chacun pour coordonnées les logarithmes p-adiques des coordonnées d’un même point de la base distinguée de y*. Soient (c,,,.., Cu,),.., (Cuir, Cas), les points de base cor: respondant à d deces vecteurs linéairement indépendants. La n-variété de dimension d

{ &Y D nl Wa D'Eu- D A Ge PR OC Het, #0)

contient tous les points de y* pour lesquels les # sont en valeur absolue p-adique, suffisamment voisins de zéro. Nous appellerons {y} L& u-variélé de y*. On voit facilement qu’un ensemble infini & d'éléments de y*, a au moins un point d’accumulation, soit ©, et que la p-variété C-+{y#*} congrue à }y*} et passant par C, contient un sous-ensemble infini d'éléments de &,

d'un corps de nombres algébriques fini 153

S’accumulant autour de C. On a le même résultat pour l’ensemble d’une infinité d'éléments appartenant à une même classe de l'}y.

Soit & l’ensemble d’une infinité d'éléments de F, nous dirons qu’un sous-groupe y de rang p est minimal par rapport à &@ pour la classe cy de l/y si les deux conditions snivantes sont remplies :

1°) la classe cy de F/y contient un sous-ensemble infini &, de 6; 2) il n'y a pas de sous-groupe y de l', de rang moindre que celui de y, tel qu’il y ait une classe de l/y contenant un sous-ensemble infini de 6,.

Si y est minimal par rapport à & pour la classe cy le sous-groupe distingué y* = 7 fl, est minimal par rapport à 6, pour l’une au moins des classes de l/}* dont la réunion forme la classe cy, car celles-ci sont en nombre fini. |

Si 6 est un ensemble infini d'éléments de Fil y à toujours au moins un sous-groupe minimal, donc au moins un sous-groupe distingué minimal par rapport à 6,.

& étant encore l’ensemble d’une infinité d'éléments de T, nous dirons qu’une variété algébrique W irréductible est minimale par rapport à & si:

1°) elle contient les éléments d’un sous-ensemble infini & de 6, et si 20) il n°y a aucune de ses variété algébriques de dimension inférieurs à celle de W qui contienne les éléments d’un sous-ensemble infini de &,.

Si les éléments de & sont contenus dans une variété algébrique de dimension $s il y au moins une variété algébrique minimale par rapport à &@ de dimension <s.

THÉORÈME 2.4. — Soit l'un groupe abélien multiplicatif de points à coordonnées algébriques, de rang x: inférieur au nombre n de coordonnées des points. Soit.

(1) RAR ab Ù (RL PS0

un système d'équations algébriques à coefficients algébriques dont les premiers membres forment la base d'un idéal de polynômes premier de dimensions. Supposons que les éléments de L satisfaisant à (1) forment un ensemble infini &. A tout sous-ensemble infini &' de & correspond au moins un sous-groupe Y

de T' ayant les propriétés suivantes :

10) à y a au moins une classe de V/; qui contient un sous-ensemble infini d'élément de &'.

20) Posons o —=8s +7; entre o quelconques des coordonnées d'un élément de y, soient Xa,,.…, Xa, à y à une relation

ai ….aeNacs — 1 d dc

154 C. CHaBaury: Sur les équations diophantiennes liées aux unités

où les exposants N sont des entiers rationnels non tous nuls indépendants du choix de l’élément dans Y.

(Ces résultats deviennent triviaux si l’on n'a pas s<n—r— 1). Choisissons p de façon que les coordonnées des points d’une base de F soient des unités p-adiques. Supposons les points de [' représentés dans l’espace X* construit à l’aide du corps p-adique Æ,. Désignons par W la variété algébrique de X”, de dimension s, définie par les équations (1). Soit y*

un sous-groupe de T distingué, minimal par rapport à l’ensemble &° pour

une classe de l/y*. Soit @” le sous-ensemble infini de &’ dont cette classe contient les éléments. Les éléments de &” sont dans W de dimension s, donc il y à une variété algébrique W, (sous-variété de W) minimale par rapport à &” et de dimension $s,<s. Soit &, le sous-ensemble infini de &” dont elle contient les éléments. y* est encore évidemment minimal par rapport à &, pour la classe de l/7* considérée plus haut. Il y à au moins un point d’accumulation C des éléments de &6,. Soit Mc la n-variété congrue à la -variété {y*} de y* et passant par ©. Elle à une dimension d <r, Elle contient un sous-ensemble infini &c d'éléments de &, convergents vers le point C, et aucune variété de dimension plus petite ne peut contenir un sous-ensemble infini de 6c. W, et Mc ont une infinité de points communs convergents en C. Leur intersection est au voisinage ‘de © une variété algébroïde qui a au moins une composante irréductible Æ de dimension #1 contenant un sous-ensemble infini &c de &c. H ne peut être contenu dans une variété algébrique de dimension moindre que celle de W,, une telle sous-variété contiendrait les éléments du sous-ensemble infini &c' de 6, ce qui est contradictoire avec le choix de W,. Soit À un point régulier de /Z et non situé sur une autre des composantes de W, Mc. W, N MA est au voisinage de À un élément analytique régulier /4 de dimension £ 1. Et 74 ne peut être contenu dans aucune variété algébrique de dimension inférieure à s, car une telle sous-variété contiendrait Æ7 ce qui est impossible. 71 ne peut être contenu dans aucune p-variété de dimension inférieure à celle de M4, car une telle p-variété contenant 7/4 contiendrait 4, done l’ensemble infini &c, ce qui est impossible, On peut donc appliquer à W, le lemme 2.2. Il en résulte que M4 est contenu dans une variété algébrique irréductible W de dimension S<8,+d—1, <s+r—1—=0—1. Il en résulte d’après le lemme 2.3 que o coordonnées d’un point de M4 sont liées par une relation

a Na 2 Na — constante.

di do

Donc pour les coordonnées des points de la u-variété de y* et finalement pour celles des éléments de tout 7* on obtient les relations annoncées,

d'un corps de nombres algébriques fini 155

Nous pouvons ajouter ce complément à l'énoncé:

p étant un nombre naturel premier tel que les coordonnées des éléments de base de l' soient des entiers p-adiques: tout sous-groupe de T' distingué pour ce choix de p, et minimal par rapport à &' pour au moins une claese de T/y fournit un sous-groupe ayant les proprietés indiquées dans le théorème 2.4.