CHAPITRE

11. Avant d'aborder l'étude des dérivées des fonctions de lignes, qui est l'objet de ce Chapitre, faisons quelques remarques sur la variation des fonctions qui dépendent d'une courbe plane et d'un point particulier de cette courbe.

Soit une famille de courbes planes dépendant d'un paramètre. Nous désignerons par (à) celle qui correspond à la valeur a du paramètre. La position d'un point M sur la courbe (À) sera définie comme au n*^ - L. 4

'iCy PAUL lÉvy.

par la longueur d'arc s, et la variation de cette courbe par la fonction

dn ,, o/i =z -— c/A.

Nous aurons plus loin à considérer des expressions de la forme

l'intégration étant effectuée le long de la courbe Çk), et à en chercher la variation quand X varie. Pour faire ce calcul, on peut supposer qu'on ait exprimé s en fonction d'un paramètre t qui varie entre des limites indépendantes de 'k; on appliquera alors sans difficulté la formule de dérivation sous le signe d'intégration.

Sans faire figurer explicitement le paramètre t dans les formules, nous le supposerons toujours choisi de manière qu'à une même valeur de t correspondent quand 1 varie des points situés sur une trajectoire orthogonale aux courbes ().). ods est alors la variation de longueur d'un arc infiniment petit dont les extrémités se déplacent normalement à la courbe et a la valeur

( I ) 0 ds = — A on ds,

k étant la courbure de l'arc considéré, comptée positivement si la concavité de la courbe est tournée vers la direction positive choisie sur la normale et négativement dans le cas contraire. Dans les mêmes conditions, ùfiM.) a une valeur bien déterminée, et il vient

ol = f[^J'{M) - k/{M)on] ds

Supposons maintenant que les courbes considérées dépendent à la fois de X et d'un autre paramètre [x, et qu'on ait à dériver l'exprès-

sion('2) par rapport à u.(*). Définissant la dérivée d'une fonction de M par rapport à a comme nous avons défini la dérivée par rapport à )., nous

•1 / .• 1- n . 0 dfy M) ,,

avons a considérer en particulier 1 expression -r- -=^^= — . 11 est important

,, , ; . d dfiW\ ^ à âf(\\) ^ ''11

d observer que Les expressions -r — —^i — - et -^ -^ — ont en gênerai des

valeurs différentes.

Pour le voir, faisons d'abord varier X ; le point M se déplaçant ortliogonalement aux courbes considérées, viendra en \, sur la courbe (A-+-dA, [/.); si ensuite nous faisons varier y., il viendra en M, sur la courbe (). -f- rf)., u. -h r/u.). Si au contraire nous faisons varier u. d'abord, puis X, M vient en N, sur la courbe (À, an-r/a), puis en M, sur la courbe (À -h r/A, y. -f- r/'i.\ Les points M, et AI, sont en général différents. On a

â'ji d\ efj.d'^

d d/(M) [yïM.->-/r\.^]-[/(X,^-.AM)]

et par suite

âx ÔK ÔK d-x •/ ■• ■ dnl'X

y^(M) désignant la dérivée de/"(M) par rapport à l'arec.

Pour calculer M, M, il suffit de projeter sur la tangente à la courbe (X, ;jt.) en M le contour M^N^MX^M.,. M.Mj étant certainement de l'ordre de grandeur de dldjL, il suffit d'écrire les termes en dldiL; il est aisé d'ailleurs de vérifier que les termes en dl^ et d'j^ sont nuls. N,M et MX, ne donnent aucun terme en dj.d'L. XgM, a pour longueur

Y d\ et fait avec la direction sur laquelle on projette l'angle - H- -r- d'^^'-,

sa projection est donc — -y^ -^r/X^/u.. De même celle de M,X',

(*) Nous supposons que les courbes considérées aient entre elles un voisinage d'ordre deux au moins, de manière que la variation de k soit bien définie.

2 8 PAUL lÉvY.

est ^-yr-dldiL. La valeur principale de M, M^ est donc

/ dn dn' dn dn'\ ,, ,

et l'on a par suite

d df{m) d d/(M) (dn on' dn On' \

^^ dix ôl ()l â^i ~*^ ^ ^ \dii. â\ 01 Ou.)'

Donc, les dérivées par rapport à a et il ayant le sens précédemment défini, leur valeur dépend de l'ordre des dérivations . Il faut remarquer toutefois qu'on a

0 On 0 On Cette formule n'est pas en contradiction avec la précédente, car n

n'a aucune signification par lui-même et -jY n'est qu'une notation. Si l'on appelait ?? la distance des deux courbes (a, (jl) et ()v^, u.^) comptée sur une normale à la première, il faudrait remplacer yr par

Pour établir la formule (4), appelons P (A, 1, u.) la distance d'un

OP point quelconque A à la courbe (1, [j.). Nous désignerons par y- la

dérivée normale de P quand le point A vient en M. On a évidemment

et par suite

aP(M, ).,;.)

0 On

J-P On 0 0?

Ou. 01

0'}. 0[x Ou. 0\ On

^^ r)lViM, X,, a) , 1 • 1 1, 1 1 1

Ur — ^—- '— représente le cosmus de 1 angle des normales aux

courbes (X, a) et (X,, a) ; sa dérivée par rapport à 1, s'annule pour

EQUATIONS I.NTEGRO-DIFFEREXTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 2(J

À, = Aj et par suite

d dn (?-P d'j. d\ d\d\L

ce qui démontre la formule (4)- On peut donc sans risque d'erreur employer la notation -t^-t; •

Il n'en est pas de même des dérivées d'ordres supérieurs. Ainsi, en faisant intervenir un troisième paramètre v et en appliquant la formule (3) à la fonction ^, puis en permutant ). et v, on trouve

.„. d d'-n dn dn' dn' d d'^n dn dn' dn'

d'jL d\ &j . d'ji dA à/ d A du. d^/ d\ du d-^

d d'-n dn dn' dn'

&f d\ d'x &f dh du

12. Considérons une fonction $ de la courbe C, et supposons que sa variation soit de la forme considérée par M. Volterra. Si la courbe C dépend d'un paramètre À, on a donc

(6) , ^=f^.is>ps.

Considérons la variation de $, (s) lorsque la courbe C se déforme et que le point M se déplace normalement à cette courbe. Conformément à ce qui a été dit paragraphe 7, nous admettrons qu'on a

(7) o<P,{s)= I ^^^^{s,s,)on,dst-hAoon + \^rJn'-\-...-{-Apon(P\

en appelant o/^^ et s, les valeurs de on et s correspondant à un point M, quelconque de la courbe C. Les coefficients A,, A,, ..., A^ sont naturellement des fonctions de s. Nous allons voir que ces fonctions et la fonction <^, ,(j, j,) ne sont pas des fonctions quelconques ('}.

(') Des considérations analogues se trouvent dans une Note de M. Hadamard. Sur les dérivées dei fonctions de lignes {Bull, de la Soc. math., 1902). Mais les dérivées considérées dans ceUe Note sont les dérivées ^'^^ et O^. au sens de M. Volterra, de sorte que les résultats sont un peu différents de ceux que nous allons obtenir.

3o PAUL LÉVY.

Si, en effet, la courbe C dépend de deux paramètres \ et [j., on doit

avoir

0 (Hi â <)^ ^ ^ di>. ÔA ^ dh d^ '

Or, en dérivant la formule (6) et en tenant compte de la formule (2),

il vient

,, d d^ r^<^,(5) On . C , , J O-n , on ()n\ ,

^ ' à'j. âl 1^ â<j. à A / ^ ^{âAÔ'j. âk ou. J

La deuxième intégrale ne dépendant pas de l'ordre des dérivations, il doit en être de même de la première, ce qui donne

/ \ r r ^ , (an an , dn dn^\ , ,

en posant

Les deux intégrales de la formule (9) sont nulles séparément. Si, en

effet, nous prenons pour tt et -r- des fonctions telles qu'en tout point

de la courbe G l'une au moins s'annule, de sorte que leur produit soit nul sur toute la courbe, l'intégrale simple étant nulle, l'intégrale double doit l'être aussi, ce qui donne

et par suite

L'intégrale double est donc nulle quelles que soient les fonctions -^

et j- et l'intégrale simple doit l'être aussi. Ce fait peut s'exprimer en disant que l' expression différentielle E est identique à son, adjointe (*).

(*) Totr Darboux, Théorie des surfaces {i. Wfi^. iio).

Équations integro-différentielles et fonctions de lignes. 3i

Il est facile de former les relations qui doivent exister entre les fonctions A pour qu'il en soit ainsi. A, peut évidemment être une fonction quelconque. La condition obtenue s'écrit, par une intégration par parties,

Cette intégrale étant nulle quels que soient -r- et ^ , les coefficients des diverses dérivées de ^- sont tous nuls. Considérons d'abord celui

de — j^— : il vient

ce qui montre que la dérivée d'ordre le plus élevé qui figure dans l'expression E est d'ordre pair. En emplovant une expression définie au paragraphe 7, on peut dire que la fonction $,(^) a une continuité

cCoi cire p(ur (').

Egalant à zéro les coefficients des autres dérivées de ^r- dans la for-

mule (il), on a, en désignant par des accents les dérivées des fonctions A : .

A P(P-'HP—V yr {p-l)(p—2) ^,

A^3 ^. A^ A^^, -L-{p—2) A^, — Ap 3,

Si A^, A^2, .... A, sont connus, les équations de rang impair de ce

(*) Le résultat obtenu par M. Hadamard est que les dérivées $j. et ^ ne peuvent pas avoir une continuité d'ordre zéro, en d'autres termes que leur variation contient nécessairement un terme en on'. Gela se déduit du résultat obtenu ici. Si, en effet. Tordre de continuité de ^j. ou *b'^ était nul, les formules (4) de l'introduction montrent que $i aurait une continuité d'ordre ui, ce qui n'est pas possible.

système déterminent parfaitement A^,, A^3, . . . , A,. Je dis qne les équations de ran^ pair n'imposent aux fonctions A aucune condition distincte des précédentes, c'est-à-dire qu'o/i peut clioislr arbitrairement A p, A^2, ..., A^.

Il suffit évidemment de montrer que A^ est quelconque. On formera de même une expression différentielle d'ordre p — 2, identique à son adjointe, où A^2 soit arbitraire, une autre d'ordre/; — 4 5 où A^^, soit arbitraire, et ainsi de suite. En ajoutant ces différentes expressions, on vérifiera le résultat énoncé.

Pour montrer que A^ est arbitraire, considérons la fonction

^=\ l\k^''Yf{^^)ds,

où ¥''^ désigne la dérivée d'ordre q par rapport à s de la courbure Â\En appelant 9 l'angle de la tangente en M à la courbe C avec l'axe des œ, on a

se = 5/i',

d'où, en tenant compte de la formule ( 1 )

(i3) ok = o-r = -i i-r- = '^'^ + f^' '^'h

^ ' as as ds-

et d'une manière générale

(i4) ÔA-('/) = o/i(v+:i)-f-...,

les termes non écrits ne contenant que des dérivées de Zn d'ordre inférieur à ^ -f- 2. On trouve alors aisément que

= A(- i)''/''"^"*""/(M) +. . .] on ds,

les termes non écrits ne contenant que des dérivées de k d'ordre inférieur à 2 ^H- 2. La variation du coefficient de on ds est alors une expression différentielle d'ordre 2 </ -f- j? identique à son adjointe, où

le coefficient de o//^**"^*^ est

(-i)ViM).

Il est donc arbitraire, ce qui démontre le résultat annoncé dès que p est au moins égala 4- Or pour yj = 2, il est évident, car le système (12) se réduit à deux équations, dont la première est

et dont la seconde est la dérivée de la première. Le résultat annoncé est donc établi dans tous les cas.

Ce résultat sera utile pour former les conditions d'intégrabilité des équations intégro-différentielles, en évitant de recommencer dans chaque cas des transformations qui viennent d'être faites d'une manière générale.

D'après ce qui a été vu au paragraphe 9, ces conditions d'intégrabilité s'obtiennent en écrivant qu'on a

à 0^ à d(^ dix dA d\ âiL

Or les conditions que nous venons de trouver sont équivalentes à cette équation. Il suffît donc, pour former les conditions d'intégrabilité d'une équation intégro-différentielle, de la résoudre par rapport à la dérivée ^, (j), de mettre 0 $, (<y) sous la forme

0^,(5)= / 4>,,,(5, 5,)o/J, ds^-r- AoO/J -f- A, 0/i +...— ApOn'v»',

et d'écrire :

1° Que ^, , (j, s,) est une /onction symétrique de s et de s ^\ Q.^ Que p est pair, et que les équations de rang impair du système (12) sont vérifiées. Si p = 0, ce système ne contient aucune équation . Si p = 2 // se réduit à V unique équation (i 5).

Nous appellerons dans la suite ces deux groupes de conditions la L. 5

première et la seconde conditions d'iiitëgrahilitë relatives à l'équation étudiée.

Si au lieu d'admettre que la variation de ^t{s) est de la forme (7), on avait admis une forme analogue à l'expression (9) du paragraphe 7, les résultats précédents seraient encore exacts, mais les égalités (12) devraient être considérées comme vraies à la limite seulement.

15. Avant d'appliquer ces résultats à l'étude des équations intégro-différentielles, nous allons voir comment on peut obtenir des relations analogues entre les dérivées d'ordres supérieurs. La variation de la dérivée $, (.y), mise sous la forme (7), a conduit à introduire de nouvelles fonctions $,^,, A^, .. ., A^, qu'on peut appeler les dérivées secondes de la fonction de lignes ^I». De la même manière, on peut définir les dérivées troisièmes de cette fonction, et ainsi de suite. Il existe entre ces diverses fonctions des relations que nous allons former dans le cas oïL p = o^ c'est-à-dire dans le cas oii les dérivées secondes se réduisent aux deux fonctions $, , [s, s^) et Ao(,5"). Nous désignerons dans la suite cette dernière fonction par $2 W-

Pour former les relations qui existent entre les dérivées d'ordre /?, il suffit de raisonner sur les dérivées d'ordre n — 2 comme nous avons raisonné jusqu'ici sur la fonction ^I> elle-même.

Considérons d'abord la fonction î\(^). D'après la formule (3), on doit avoir

^' ^ d^ ~~()}. Jk ~df~ ^ TH- ^' \à^. ~âl ~ Jk Ihl)'

Or on a

r>I),(5)= / «I),,,(.V,A,)ô/i,f/A-, + fI)3(A-)o/i,

et, d'après les principes exposés paragraphe 7, on peut poser

(17) oo(5)= / ^K,,(.v, .v,)o/i, ds^-hBo{s)on + \^,{s)on'-h....

êQUATIONS INTEGRO-DIFFÉREXTI ELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 35

La variation de $, , (.?, s,) contiendrait de même une intégrale et des termes dépendant des valeurs de on et de ses dérivées aux points M et M,.

L'équation (i6) contient donc une intégrale double, une intégrale

simple, et des termes ne dépendant que des valeurs des fonctions -j^,-J^

et de leurs dérivées au point M. Xous pouvons annuler ces derniers termes indépendamment des autres. Il suffit pour le voir de donner

à ^ et ^ des valeurs nulles sauf dans un intervalle très petit compre-

nant le point 31. Il vient ainsi

/ o\ dnf^dn du' \ àn/^ dn dfi' \

d^ rdn dn' ân^ dn'\ ds \d'j. âl âX à'j. )^

et comme les valeurs de y , -r- et de leurs dérivées au point M sont quelconques, c'est qu'on a

Quant à la fonction B,, /~ , elle peut être quelconque, et nous la désignerons par ^, (s). On a donc

.{s)= I *2,i {s, Si ) 5/1, dsi -h $j (s) on — -f^i (*) ^n' .

La variation de ^3(^) contiendra de même un terme ^^on ; on définit de même une fonction $5(j), et ainsi de suite. D'une manière générale, cherchons ce que sera la variation de ^i{s). Posons

h^i{s)= I */^,(5,5,)5/i,^, + Bo(5)o/i-t-B,(5)o/i'H-...,

et raisonnons sur $■, <s) comme nous venons de le faire pour $,. Xous arrivons à une équation analogue à l'équation (i 8), linéaire par rapport

Sf) PAUL LKVY.

aux fonctions B, les coefficients étant les mêmes que dans l'éqnation (i8). B^ est donc encore une fonction arbitraire, que nous désignerons par ^■^^ (y), tandis que les antres fonctions B sont parfaitement déterminées en fonction de , (s), ^^\{s'), . . . , ^I\(v). Mais les valeurs ainsi déterminées ont une expression moins simple que celles que nous avons obtenues pour 1= 2, car les termes indépendants des inconnues B qui figurent dans l'éqnation considérée sont moins simples qne ceux qui figurent dans l'équation (18).

Pour obtenir ces valeurs, an lieu de faire le calcul d'après cette équation, nous allons considérer des fonctions simples de lignes pour lesquelles les dérivées ^l\{s), ^I^aGO' ••• ' ^1^(0 aient des valeurs arbitraires pour un contour particulier C. L'expression des coefficients B obtenue dans le cas de ces fonctions sera certainement générale.

Ces fonctions sont les fonctions du premier degré au sens de M. Volterra, dont il a été question paragraphe 4. ^1\ (,y) est alors une fonction du point M, indépendante de la courbe C, que nous désignerons par 9 (M). On a d'une manière générale

en désignant par y- une dérivée prise normalement à la courbe C. Or la variation de — , )..., - se calcule aisément. Elle provient à la

fois de ce que le point M se déplace et de ce que la direction de la normale change. On trouve

ù — — LA— i — — '/ . ' on — il — i) , .' .\ 6/r,

en désignant par y la dérivée prise quand le point M se déplace sur la tangente à la courbe C. jMais pour revenir à la notation ^ (,v), il faut faire intervenir la dérivée y prise en supposant que le point M se déplace sur la courbe C et qu'en même temps.la direction du tourne de manière à rester normale à la courbe. En désignant comme piécédem-

Équations intkgro-différentielles et fonctions de lignes. 87

ment par k la courbure de la courbe au poiut M, les dérivées y et j- sont liées par la relation

d'où l'on tire

d d'cp(M) d ()''^('M) d r)'-' .p(M)

Définissant alors la notation -T- $,(^), qui n'a aucun sens par ellemême, par la formule

^'9^ h^'+* ^'^ ^7rs^'+' (^)-^ ^''^ *'•(*)

on obtient la formule, valable pour toutes les fonctions de lignes considérées,

^i,^(s,s^)on^ds^ + $/^, (.s)o/? — (« — 0^^'-« (^)5«-

14, Il est maintenant facile d'étudier la variation d'une dérivée quelconque. En généralisant les notations déjà employées, nous serons conduits à considérer des fonctions $ affectées de plusieurs indices. La fonction $„„«,...,«. {s^, s^, ..., s-) étant supposée définie, nous poserons

(21) 0„,„^....„ (5,,52, ...,Si)= I $„__„, „__,(5,,52. ....5/+, )0/?/+, ^5/+,

les termes non écrits étant des termes en ori^, onl, . . ., etc. que nous formerons plus loin. Cette formule définit les fonctions $ qui figurent au second membre.

Il faut d'abord dérfiontrer que cette définition est exempte de contradiction. En effet, une même fonction, *^a„n,{s^, s^) par exemple, se trouve définie une fois en partant de <5«,-i,«, (s^, s^) et une autre fois en partant de iK,„a,-i (v,, s^). Il faut montrer que les deux fonctions obtenues sont identiques. En appelant dérivation l'opération qui consiste à déduire de la fonction qui figure au premier membre de la formule (21) une de celles qui figure au second membre, cela revient à dire que V ordre des dérivations n influe pas sur le résultat final. Il suffit évidemment de démontrer qu'on peut intervertir deux dérivations consécutives.

Ce même nom de dérivation désigne d'ailleurs plusieurs opérations distinctes. En employant une notation analogue à la notation différentielle pour les dérivées ordinaires, et en appelant 0(J■^^ l'élément d'aire

on^^^ dsi^^, on est conduit à appeler dérivation -. l'opération qui

consiste à former la fonction qui figure dans l'intégrale de la formule

d (21), et dérivation -^ — celle qui consiste à former le coefficient de 0/?^.

Nous appellerons de même dérivation y^ ou y^ l'opération qui consiste à former le coefficient de 0 n',^ ou 0 ri',^.

i*^ Démontrons d'abord que les opérations y et -^ — sont permutables. A cet effet considérons la fonction ¥(^", s^ ) de la ligne C et de s et s^. On pourrait sans inconvénient supposer que ces fonctions dépendent d'autres valeurs de la variable s ; les déterminations de -^ et

-T- que nous avons à considérer étant nulles pour ces valeurs, cela ne

changerait rien au raisonnement qui suit. Posons

3^F(5, Si) = I W, (5, 5,, 50) S/Zo ds2 + Aq on -+- -Xq 0/?, n- A, ô/i' + . . .

S A„(.V, 5,) = Bo(5, 5,)S/i,+.. .,

EQUATIONS INTEGRO-DIFFERENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 3q

Remplaçons $, par Y(^, ^,) dans la formule (i6), qui contiendra alors au second membre un terme en -^ et un terme en ^. Supposons que ^ soit nul sur toute la courbe C sauf au voisinage du point M, et que de même ^ soit nul sauf au voisinage du point M,. La relation obtenue doit être vérifiée quelles que soient les valeurs de ^, ^, ^', -r7, . . . , etc. En annulant le coefficient de ^ï — , on trouve

ce qui montre que les opérations jj-^et^ sont permutables. En annulant les autres coefficients, on voit de même que les opérations -^ et j^^ sont permutables.

2** Démontrons maintenant que les opérations ^ et ^ , effectuées sur une fonction Y(^), sont permutables. Ici encore, si cette fonction dépend en outre des valeurs s,,s^, ..., etc. de s, cela ne change pas le

raisonnement qui va suivre; il suffit de supposer que les fonctions p et j- s'annulent pour ces valeurs ainsi que leurs dérivées. Posons

o ^'(s) = fw, (s, s, ) on, ds, — Ao o,i -4- A, un' -h- • .,

OW, (*, 5, ) = BoOW -4-«l«oO"l-i-B, 0/t'-4-.. .,

oAo(*)= / -Xo(SyS,)on, ds -i-. . ., ^ c

SA, (5)= / cl.,(5, 5,)Ô/l, cfcj,-i-

Je Dans la formule (16) écrivons Y au lieu de $,, et supposons que ^ soit nul sur la courbe C sauf au voisinage du point M, et que ^ soit quelconque sur la courbe, mais s'annule au point M ainsi que ses

4o PAUL LÉVY.

dérivées. On a ainsi

On' Cri s. xs , \i^/^l ;

et par suite

.1.0(5, 5,) — Bo(5,5,) = ol>,(5, 5,) — B,(,Ç, 5,) = ... = 0,

ce qui montre que l'opération yj- est permutable avec les opérations

Cela suffit pour affirmer que la formule (21) est exemptede contradiction. Mais il est utile d'ol)server encore ({ue les opérations y et -v;^ sont

permutables. Pour la fonction $, cela revient à dire que $, , (v, s ^) est une fonction symétrique de.? et de s ^ , ce qui a déjà été établi. Si au lieu de î> on raisonne sur une fonction pouvant dépendre de 'S\, s^, . . . , etc. , il n'y a rien de changé au raisonnement du paragraphe 12, à condition

de supposer que -y^, y- et leurs dérivées jusqu'à l'ordre p s'annulent

pour ces valeurs.

On voit alors aisément qu'une quelconque des fonctions <1> ne change pas si l'on y permute à la fois les indices a^ et aj et les valeurs correspondantes s^ et Sj. En particulier si a^= cip la fonction considérée est une fonction symétrique de s^ et Sj.

Il reste maintenant à former les termes non écrits dans l'expression (21). Cherchons par exemple les coefficients de 0//',, hi,, . . ., etc.

Supposons d'abord «, = i. Dans ce cas ces coefficients sont nuls. En effet, pour les former, on peut intervertir l'ordre des dérivations d'une manière quelconque. Partant alors de $,(^,) , effectuons d'abord

l'opération ^ (^u ^, • • • , etc. j, ce qui donne zéro dans le cas que

nous étudions. En effectuant ensuite les autres dérivations, on obtient

Équations intégro-difikkentielles et fonctions de lignes. 4i

les coefficients cherchés, qui sont certainement nuls. (On voit de même que, si l'on était resté dans le cas général du paragraphe 12 où. p a. une valeur quelconque, on aurait ici des termes en o//',,

o/i:, ...,a/ir).

Pour traiter le cas où r/, est quelconque, partons de la fonction ^a a „ X^îi ^31 '• •'> ^i)- P*ii* l'artifice qui vient déjà d'être employé plusieurs fois, on peut étendre à cette fonction les raisonnements faits aux paragraphes 12 et i3 sur la fonction , bien qu'elle dépende de j",, s^, . . ., s^. Or la dérivée première, qui joue ici le même rôle que $, (s) à l'endroit indiqué, est ^, „^„, .. «.(«^o ^21 •••» ■^/) dont la variation ne comprend pas de termes en on\, ^n], . . . , etc. , comme nous venons de le démontrer. On est donc dans le cas étudié paragraphe 15, et la formule (20) montre que les coefficients de o//°, ..., etc. dans la variation d^ ^«, a. ni i^'ty ^2i ' "y ^i) sont nuls, et que celui de on\ est

la notation -7- étant définie par la formule (19) où l'on peut sans inconvénient remplacer par une fonction qui dépend de f,, s^, . . . , s^. Nous pouvons donc écrire

Les résultats résumés par cette formule, et le fait qu'une fonction ^ ne change pas si l'on permute à la fois deux indices o. et les valeurs de s correspondantes, constituent les seules relations nécessaires entre L. 6

4^ p\UL jj':vv.

les dérivées des fonctions de lignes pour les(|uelles le nonil)i'e « du paragraphe 12 est nul.

En efï'et, si nous choisissons arbitrairement pour un contour particulier C les valeurs de toutes les fonctions vérifiant la condition de ne pas changer si l'on permute deux indices a et les a aleurs de s correspondantes, il est facile de foimer une fonction de lignes admettant toutes ces fonctions pour dciivées.

Pour cela définissons la fonction de points 9/(M, , M,, . . . , M-) par la condition qu'on ait sur la courbe C

cp,-(M,,M„ ..., ]M,-) = <ï),., ,(5,,5o, ...,Si),

^)"'-^"-^+--'-'''cp,-(M,,M2,...,M/)

()/>"' dn"^ . . . ô/)'!'

cp, est une fonction symétrique des points M,, M^, ..., M-, et la valeur de la fonction de lignes cherchée pour une ligne CJ est

chf^ désignant l'élément d'aire qui correspond au point M^^, et l'intégration étant effectuée relativement à chaque point entie les courbes G etC^

15. Les fonctions de lignes représentables par la formule {'23) jouissent à\\ne propriété caractéristique relative à leur mode de continuité, quand la courbe C varie.

Considérons une famille de courbes dépendant d'un paramètre \, et supposons une courbe C^ définie ]:>ar la distance n de chacun de ses points à une courbe (] de la môme famille. Nous supposerons n développable en série de la forme

On ^, ^ I d- n ,^ .

Une fonction $ de la courbe C sera fonction de À. Cherchons s'il est possible d'exprimer les dérivées de $ par rapport à À en fonction

de -zr, -^,j ..., etc., ou bien s'il est nécessaire d'introduire les dérivées

de ces quantités par rapport à s.

Cela est possible pour les fonctions delà forme (28). En effet, si par chaque point M compris entre C et C passe une seule courbe de la famille considérée, ce qu'on peut supposer, ce point peut être défini parles valeurs de n et de s. L'intégration relative à M peut alors être remplacée par deux intégrations successives par rapport à s et )/ ; cette dernière peut être effectuée, puisque $, est donné sous la forme d'un développement suivant les puissances croissantes de n, n sous la forme d'un développement suivant les puissances croissantes de // — ). et que l'élément d'aire est (i — k/i) ds dn. On a ainsi le développement de ^ suivant les puissantes croissantes de // — a. Les coefficients dépendent

de -j^j ^2' • • • î ^tc. , mais pas des dérivées de ces quantités par rapport à s.

Cette propriété est caractéristique des fonctions de la forme (28). En effet considérons une fonction $ qui ne soit pas de cette forme, c'està-dire pour laquelle le nombre/; considéré au paragraphe 12 ait une valeur 2</ paire et différente de zéro. En désignant par A les mêmes fonctions

qu a cet endroit, on voit que y-r contient des ternies oungurent -j^et -jy, et en outre les termes

rV ^ dn' , ôn^^in On ,

Par des intégrations par parties, cette expression se ramène à des termes qui ne contiennent que des dérivées par rapport à s d'ordre au plus égal li fj — i et au terme

• 1 / 1 <«. • 1 On['^) . . . ()-<!' . .,

qui dépend eliectivemeiit de —T^- Ainsi, pour ([lie -jyr; ait un sens, u

faut que les courbes de la famille considérée aient un voisinage d'ordre q.

\ij. En utilisant les résultats précédents, on peut former les conditions d'intégrabilité de ce qu'on peut appeler des équations intégrodifférentielles cl ordres supérieurs ^ c'est-à-dire des équations établissant des relations entre les dérivées d'ordres supérieurs.

Considérons, pour fixer les idées, une équation de la forme

Si l'on choisit arbitrairement, pour un contour initial C, des valeurs quelconques pour , ^I\(^), '^'^{s)^ ^\{^)-> • • ••> etc., et pour , ,(^,^J, ^ , , (.5", .y, , ^2) , . . . , etc. , des valeurs symétriques par rapport aux différentes variables, l'équation (;z4) et celles qu'on en déduit par des dérivations successives, définiront successivement toutes les autres fonctions $. Mais en général il n'existera pas de fonction de lignes admettant ces fonctions pour dérivées. En effet les relations nécessaires que nous avons établies entre les fonctions ne seront pas toujours vérifiées. Pour que la fonction de lignes cherchée existe, il est nécessaire et suffisant qu'elles le soient.

Ainsi, dans le cas d'une équation de la forme (24), en dérivant l'expression de ^\^{■'i^>s^) on obtient une fonction ^^^^[s,s^^s^) qui doit être symétrique en s^ et s^^ une fonction ^^2,i{'^'-> ^t) ^}^^ ^^^^ être symétrique en s et .v, , et une fonction 4>3 , (.v, s^) qui peut être quelconque. Enfin, en considérant le coefficient de oVz, on voit qu'on doit

avoir

df d d , , .

()2(.v) ds ^ ■ ds (]ette équation ne peut pas être vérifiée quelles que soient les

conditions initiales choisies, puisque /"ne dépend pas de -^,(.v)et

de ^<5, , {s, S,). Une équation de la forme (24) ne peut donc pas être

complètement intégrable.

Il faut remarquer que la formule (22) ne s'applique qu'à une classe particulière de fonctions de lignes, et qu'une étude plus complète serait nécessaire pour former d'une manière générale les conditions d'intégrabilité des équations intégro-differentielles d'ordres supérieurs. Sans former les relations qui dans ce cas remplaceraient la formule (22), remarquons que la méthode à suivre serait la même que dans les paragraphes 15 et 14. Il en résulte qu'il ne peut exister que des relations linéaires et homogènes entre des fonctions dépendant d'un même nombre de variables et leurs dérivées par rapport à ces variables.

Considérons alors l'équation

(25) *i,i...,i(*, *i, .-v ■Sm) = o-

Pour cette équation, les relations entre des fonctions de m variables au plus sont des conditions imposées aux données initiales. Les fonctions ^ qui dépendent de plus de m variables sont nulles et les relations qui doivent exister entre elles sont certainement vérifiées. On peut dire que l'équation (25) est complètement intégrable.

Si/=o, les fonctions définies par cette équation sont des constantes. Si i^ I, dans le cas particulier oii/; = o, on obtient les fonctions du premier degré de M. Volterra, à une constante près. En ne se restreignant pas à ce cas, on obtient une classe plus générale de fonctions, comprenant par exemple toutes les intégrales de la forme

Ces fonctions de lio:nes sont analogues aux fonctionnelles

4() PAUL LKVY.

Il faut observer que cette iutégrale n'est pas eu général une fonctionnelle linéaire au sens de M. lladamard, sauf si /" est une fonction linéaire et homogène de j et de ses dérivées. De même si m est quelconque, les fonctions définies par l'équation {'iS) ne sont pas des fonctionnelles d'ordre m au sens de M. Fréchet.

CHÂPURE II.

17. Une équation intégro-difPérentielle (du preoiier ordre) est, comme nous l'avons vu, une relation quelconque faisant connaître la dérivée $, [s) d'une fonction $ d'une ligne C en un point M en fonction de C, de $ et de M. On peut considérer plusieurs sortes de fonctions de C, de $ et d'un point M de C.

On peut par exemple considérer une fonction de la ligne C dont la variation soit de la forme indiquée par M. Volterra, et qui dépende en outre de trois paramètres, ^ et les coordonnées du point M. Nous désignerons une pareille fonction par /J, (, M ).

On peut supposer que /dépende d'un certain nombre d'autres paramètres, )^o, >v,, .. ., \j^^ sa variation, quand $, les coordonnées de M et ces paramètres restent constants étant toujours de la forme étudiée par M. Volterra. M venant sur la courbe C, on poindra remplacer ces paramètres par G, Â", /•', ,.., /•^''^ c'est-à-dire l'angle de la tangente à la courbe C en M avec l'axe des x, la courbure en ce point et les dérivées successives de cette courbure par rapport à l'arc s. La cjuantité obtenue /^ ($, M, 6, Â-, k' , ..., ]&^) est encore une fonction de C, de $ et de M. Une pareille fonction est beaucoup plus générale que celle qui a été considérée d'abord.

Nous sommes donc conduits à considérer deux types d'équations

intégro-différentielles :

(2) 4».(5)=/c(<>, M, 9, A-, Ar', ..., k'P>).

Il existe entre ces deux sortes d'équations une différence essentielle au point de vue de leurs conditions d'intégrabilité. D'après le résultat obtenu au paragraphe 12, il faut, pour former ces conditions, calculer d'abord la variation o$,(^). Cette variation, outre l'intégrale de M. Volterra provenant de ce que la forme de la fonction fxarie avec la courbe C, contient des termes provenant de ce que M suit la courbe G dans son mouvement en se déplaçant normalement à elle ; la forme des variations de ces quantités a été vue paragraphe 12, formules (i3) et (i4) • Il faut enfin tenir compte de la variation de $, qui est donnée par l'équation intégro-différentielle elle-même.

Ou voit ainsi que o$, [s], dans le cas de l'équation (2), contient des

termes en 0//, o/f, Au contraire, dans le cas de l'équation (i),

elle n'en contient pas. Donc, dans le cas de l'équation (i), la première condition d'intégrabilité du paragraphe 12 sera suffisante. Dans le cas de l'équation (2), il faut aussi former la seconde.

Nous allons étudier dans ce Chapitre les équations de la forme ( i ). Nous nous occuperons dans le suivant d'équations de la forme (2) .

18. Nous nous bornerons au cas le plus simple où la fonction / est indépendante de la courbe C . L'équation peut alors s'écrire

Zn ds.

Proposons-nous de chercher toutes les équations complètement intégrables de cette forme.

La condition d'intégrabilité est

Cette relation doit être vérifiée quels que soient <!*, M, M,. Il faut et il

surut pour cela que — ^Ar^^ soit indépendant de M, c est-a-dire

que^soit de la forme

/(a>, M)= -((D)cp(M).

L'é([uation (3) s'écrit alors

¥ étant une fonction du premier degré au sens de M. V^olterra. Donc les Jonctions définies par des équations complètement intégrables de la forme (3) sont des fonctions de fonctions du premier degré.

19. Nous avons déjà observé que, si est une fonction de la ligne G et d'un certain nombre d'autres paramètres, il se présente de nouveaux types d'éc{uations intégro-did'érenti elles. Nous allons supposer que $ dépende de deux points A et B et étudier les équations de la forme

(4) S<^.i = ffW^^ K. ^«, A, B, M) on ds.

Cherchons d'abord les équations de cette forme qui soient complètement intégrables dans le champ des fonctions syniétricpies ^ c'est-à-dire pour lesquelles la condition d'intégrabilité soit vérifiée identiquement si $ est une fonction symétrique des deux points.

Ce problème n'a d'intérêt que s'il conduit à des équations admettant eiïéctivement pour solution des fonctions symétriques. Il faut donc que, si l'on prend une fonction symétrique comme valeur de î>g pour le contour initial, la variation de $y, calculée par la formule (4), soit également symétrique quelque soit o//. Il faut pour cela qu'on ait

en posant pour abréger

Formons maintenant la condition d'intégrabilité de l'équation (4). \ous savons qu'il faut pour cela former la variation de/", c'est-à-dire

et considérer dans cette expression les termes introduisant des intégrales, abstraction faite des termes qui dépendent spécialement de la variation du point M. Ecrivant alors que la fonction qui figure sous le signe d'intégration est une fonction symétrique de M et du point M, introduit par l'intégration, il vient

rf/.-a.3,.V,.A.B.M,) 9 ? . V, ...

, df{^, .3,,YmA. B, M.)^^ .

en posant

Cette équation et l'équation (5) doivent être vérifiées quelles que soient les valeurs des quantités qui y figurent, sauf peut-être pour certaines valeurs exceptionnelles. Ainsi, si A et B sont confondus, on ne peut pas donner à 2 et y des valeurs difierentes. Mais il ne s'agit que de valeurs exceptionnelles, de sorte qu'il est tout de même nécessaire

que les équations (5) et (6) soient vérifiées identiquement.

5o PAUL LEVY.