Dérivons l'équation (6) par rapport à §. Il vient
a/(a, fi, y, A, B, M) <V(y, 8, y.,;M,B,M,)
dfjy., fi., y., A, B, M,) <)/(fi., fi, o, A, M,, M)
a/(a, fi., y,, A, B, M.) ^/(y,, §, y. M,, B, M) dy, (?ô
Dérivons encore cette équation par rapport à (3 et y^. En posant
(?fi(}-.
il Vient
(9) ?(^. ^, r. -^^ fi, M) cp(y, 0, y., M, B, M.)
= cp(a, fi,, y.,A,B,M.)cp(fi., fi, S, A, M., M).
En donnant à toutes les quantités qui ne figurent pas dans le premier facteur des valeurs particulières quelconques, cette équation prend la forme
En substituant cette valeur dans l'équation (9), on voit que les rapports
^4l2^Ji|} et ^''^î'^'^'ll'l sont indépendants, l'un de y et B, l'autre de
-. (y, M, B) -. (fi.,A,M,) r ' i '
P, et M, . Il vient donc
c'est-à-dire
^•'(fi, A, M)^'(y, M,B)
(10) cp(a, fi,y, A, B, M)
eu posant
o-'(a, A, B)=o,(a, A, B)v/?.(A)cp,(B).
ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES, 5l
2i. Il peut arriver que la fonction cp soit identiquement nulle. Ce cas doit être traité à part. En tenant compte de la formule (5) on voit alors que/^est de la forme
(II) /(a, .3, y, A, B, M) = A(a, .S, y, A, B, M) + A^a, y, B, A, M).
(12) ' '''^;/ • tl(a, ?, A, B, M),
En posant alors
l'équation (7) s'écrit
= ^(a, ?,, A, B, M.)'H?„ 5, M,, A, M) + .}(a, y,, B, A, M.) 'iCr.. S, M., B, M).
Le premier terme de cette équation ne doit pas dépendre de ^ qui ne figure dans aucun autre terme. En en prenant la dérivée logarithmique par rapport à p, on voit que chacun des facteurs qui le composent est le produit d'une fonction indépendante de |j par une fonction de j3, A, M seulement. Il en résulte que la fonction '^ est de la forme
d,(a, ?, A, B, M) = |^|^;^;bJ^2(A, b, M).
Tous les termes de (7'^ contiennent l'un des facteurs à\(o, M, M,) et t{/|(o, M,, M), les coefficients de ces deux facteurs ne pouvant pas être nuls séparément à moins que 6 ne soit identiquement nul. Donc leur rapport est indépendant de 0. Il en résulte que y, «-, A, B) est le produit d'une fonction symétrique en A et B par une fonction de A et B seulement, qu'on peut rendre égale à l'unité en modifiant convenablement la fonction ôj. Xous supposerons donc que 'l'^Ca, A, B) soit symétrique en A et B ; ce sera la dérivée par rapport à a d'une fonction également symétrique y,(a, A, B). D'après les formules (11) et (12),/ est alors de la forme
Or on peut faire, sur l'équation intégro-différentielle étudiée, un changement de fonction inconnue, en remplaçant ^^ ($g, B, A) par ^I>*. La nouvelle équation obtenue est évidemment complètement intégrable en même temps que l'ancienne. Cela revient à dire que <3^(a,, [3, y. A, B, M) vérifie l'équation (6) si
^[^, (g, B, A), ^, (fi, M, A), 'h, (y, B, M), A, B, M] f,(a, A, B)
la vérifie. La formule (i3) nous montre alors que le changement de fonction inconnue considéré peut ramener la fonction/" à la forme
(i3') /(a, 8, y, A, B, M)= fi-},(A, B, M) + r ^2(B, A, M) +/, (a, A, B, M),
la fonction ya étant la même que dans la formule (i3). En dérivant alors l'équation (6) par rapport à [3, il vient
^,(A,B,M)^A(Mli^L^
En remplaçant M par B et (3 par a, cette formule se réduit à
La fonction '^j est donc identiquement nulle, et la formule (i3) donne /(a, fi,y, A, B, M) = /,(a, A, B, M).
La fonction y ne dépendant pas de p et de y, les points A et B figurent seulement comme paramètres dans l'équation intégro-difïérentielle étudiée, au sens donné à ce mot paragraphe 8. Il est alors évident qu'on n'obtiendra pas d'autres équations complètement intégrables que celles du paragraphe 18; seulement ici les fonctions ^ et <p pourront dépendre des points A et B.
Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. 53
22. Revenons au cas où o n'est pas identiquement nul et est alors de la forme (lo). ^'(a., A, B) est la dérivée par rapport à a. d'une fonction ^(a, A, B), qui dépend effectivement de a. D'après la formule (5), la fonction g^(a., A, B ) est certainement symétrique en A et B, ou du moins, si elle ne Tétait pas, on pourrait remplacer g' (cl, A,B) par \^g{oL, A, B)/(a, B, A). On peut alors supposer que ^(a, A, B) est également symétrique en A et B.
La fonction/" est alors de la forme
Par un changement de fonction inconnue de la forme
(i4) Tè=-^<ï>^A, B),
cette fonction se ramène à la forme
Posons encore
L'équation (7), obtenue en dérivant l'équation (6) par rapport à 0, s'écrit
+ [?. + '}(=^» Tn «. A, M.][Y + .i(Y,, 5, M., B, M)].
En dérivant cette formule par rapport à |i et y, il vient
54 PAUL LKVY.
et remplaçant dans le résultat y par ,6 et B par A,
aJ>(S, 8, M, A, M,) ^-" ^P ^ = ^-
Donc ^(a, ,6, A, B, M) est indépendant de a. En dérivant maintenant la formule ( Y) par rapport à p et ^^ , il vient
()^(a, 1^, A, B, M) ().}(a, p..,A, B, MQ , dp == -d^, =1>.(A,B).
Par conséquent, on a " .
<|.(a, ^, A, B, M)= [i^,(A, B) + -},(A, B, M), et par suite
F.n portant cette expression de / dans l'équation (6), on constate d'abord qu'il n'y a qu'un terme en p[3J, dont le coefficient est
La fonction ']>^ est donc identiquement nulle. En annulant alors le coefficient de y^, , il vient
<j.2(A, M, MO = ^2(B, M,, M) = ^, (M, MO,
la fonction ^^^ (M, MJ, étant symétrique. Il vient donc
On peut supposer la fonction ^^ nulle identiquement. Si, en effet, elle ne l'était pas, un nouveau changement de fonction inconnue, consistant à remplacer ^^^-^^(AjB) par $,^, la ferait disparaître. On a
ÉQUATIONS INTÉGRO-DITFÉrENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 55
alors
(.5) /(a, .3, y, A, B, M) .= .Sy-f- /.(a, A, B, M).
En portant cette expression de / dans l'équation '6), elle s'écrit après réduction
,g,. a/.(a, A. B. MH^.v. +/,(a. A, B. M, ,]
+ Y/.(?, a, m, M.)-4- .3/,(v, m, b, M.) = ^ZL(-^l,^\3v+/.(a, A, B, M)] 4- y,/, (.3,, A, M., M)H- ?,/,(y„ M., B, M).
En dérivant cette équation par rapport à a., , p, , y, , il vient
et par suite
L'équation (6') est alors du second degré en a., P,y, ^,, y,. En annulant le terme en j3, on voit que la fonction^, est nulle. En annulant ensuite le terme en ^^ y,, il vient
et par suite
Or l'équation (5) montre que /j (A, M, , M) est une fonction symétrique de A et de M, ; elle est donc nulle. L'équation (i 5) donne alors
et cette forme vérifie identiquement l'équation (6). L'équation intéo^ro-différentielle correspondante
(i6) on=fnH
ds
est donc complètement intégrable. On reconnaît l'équation de M. Hadamard. Nous obtenons ainsi le théorème suivant :
Les seules équations de la forme
S^ï^B = (fin. n. n. A, B, M) Uds,
la fonction f vérifiant V équation
/(a, ^, y, A, B, M) =/(a, Y, [îi, B, jV, M),
qui soient complètement intégrahles dans le champ des fonctions symétriques sont^ d'une part, des équations dans lesquelles $* et $g ne figurent pas, d'autre part, des équations quun changement de fonction
inconnue de la forme
^i^ = «-(*BNA, B)
réduit à l'équation de M. Hadamard.
25. Dans ce qui précède, nous n'avons considéré que des fonctions symétriques des points A et B. Les équations intégro-différentielles obtenues sont-elles complètement intégrables dans le champ des fonctions non symétriques ?
Les équations du paragraphe 21, dans lesquelles les points A et B figurent seulement comme paramètres, le sont évidemment. Considérons maintenant les équations qui se ramènent à la forme (i6). Il n'est plus indifférent ici d'écrire $^, ou $^' et ^\ ou $*'.
Considérons d'abord l'équation (i6) telle qu'elle a été écrite. L'expression
d)A (J)M AM, , AA rt)Mi <I)M
étant une fonction symétrique de M et M, , cette équation est complètejnent intégrable.
Considérons, d'autre part, l'équation (16') o4>è= f<Pii^londs.
La condition d'intégrabilité relative à cette équation est
c'est-à-dire
Elle n'est donc pas remplie en général.
Annulons d'abord le premier facteur. En faisant coïncider B avec A, on voit que $i = o. Alors, d'après l'équation (16'), $g est indépendant du contour. Comme $i, M étant un point du contour, doit être nul, quel que soit le contour considéré, il faut que ^^ = o.
x\nnulons maintenant le second facteur delà formule (17)
On en déduit
En effet, cette condition doit être réalisée pour un contour C passant par A et B. Or, la variation $;, quand le contour se déforme, est une fonction symétrique de A et B. La détermination de $g, relative au contour C, est donc une fonction symétrique de A et B.
L'équation (16') n'admet donc pas d'autre solution que les fonctions symétriques de A et B.
24. Dans le cas des fonctions non symétriques, on peut considérer, d'une manière générale, des équations de la forme
8 <P^ = f/i^è, 4»«, $i, O)*, $«, $îf. A, B, M) Bn ds.
L'étude de ces équations serait assez compliquée. Nous allons seu- L. 8
lement cberclier toutes les équations complètement intégrables de la forme
(4) 0 <ï>,^ = ff{^h n. ^îl, A, B, M ) 611 ds.
D'après ce qui précède, c'est surtout dans cette catégorie qu'on aura des chances de trouver des équations complètement intégrables. En posant
<D^^=[i,, a)îf'=Y,, n'=--o,
la condition d'intégrabilité de l'équation (4) s'écrit
^-^^^^1h^AJ^/(.,^,.,,.,a,b,mo
^•^(°^-^-'^;/-l-gl^V(ft,3,, 5,, A, M, MO
+ ^/^^^AlL^A^)/(^, 0, y„ M, B, M.) = ^/(^, ^nTnA,B,M.)^^^^ ^^ ^^^ ^^ ^ ^^
+ !!ZK^ilAlJ^l^)/(.,, 5„ -, M„ B, M).
"fi
et nous avons à chercher toutes les fonctions/vérifiant identiquement cette équation. Cette équation nous donne sur la fonction inconnue plus de renseignements que l'équation (6) qui s'en déduit en faisant ô, = 0. Par contre, nous n'avons plus le droit d'écrire l'équation (5).
Dérivons l'équation (i8) par rapport à o. Il vient
(V(°^, fi,Y, A, B, M) a/(y, a,Y,, M,B, M,)
^ dfjrj., ^.. y,, A, B, M.) ^/(^,, ^, s, A, M., M)
beaucoup plus simple que Téquation (7), et sur laquelle ou peut raisonner comme sur l'équation (9). Laissons provisoirement de côté le cas oùy(a., p, Y, A, B, M) est indépendant de ^ ou de y. En donnant alors à ^,, Yo ^? ^ï ^^^ valeurs particulières quelconques, on trouve
On trouve une forme analogue pour la dérivée de /"par rapport à la variable écrite au second rang. Ces fonctions g, ^,, g^, ne sont pas quelconques, comme on le voit en remplaçant dans l'équation {19) les dérivées dey par leurs expressions à l'aide de ces fonctions. On trouve aisément queyest de la forme
Si )v est nul, on est ramené au cas connu oii A et B sont de simples paramètres. Si a n'est pas nul, un changement de fonction inconnue analogue à celui qui a été fait au paragraphe 22 permet de ramener /' à la forme
/(a, ?, Y, A, B, M) = Mï + ^.(M, B)]+/,(a, A, B, M).
Substituant cette forme dans l'équation (18) et égalant les coefficients de jj,, Y dans les deux membres, on voit que g, = o.
La fonction/* est donc de la forme (i5). On peut alors raisonner comme au paragraphe 22, avec la modification provenant de ce qu'on ne peut plus utiliser l'équation (5). On trouve ainsi
/(a, .3. V, A, B, M)- 3Y+a[/oiA. M)-/o(B, M)],
forme qui vérifie identiquement l'équation (18). Nous obtenons donc le résultat suivant :
Les équations complètement intégrahles de la forme
6o PAUL LÉVY.
dans lesquelles la fonction f dépend effectivement des deux quantités $* et $g, se ramènent par un changement de fonction inconnue à une équation de la forme
(20) 80,1:= A<ï>.^,*îl + a>.'^/o(A,M)-$,Vo(B,M)]S/ic/5.
Cette forme comprend l'équation de M. Hadamard comme cas particulier.
25. Il reste à étudier le cas où la fonction /(oc, fi, y. A, B, M) est indépendante de l'une des quantités (3 et y, y par exemple. Le point A n'est alors qu'un paramètre dans l'équation intégro-différentielle, et nous n'avons pas besoin de le faire figurer dans les formules. L'équation (18) se simplifie alors et s'écrit
et il faut chercher toutes les fonctions vérifiant identiquement cette équation fonctionnelle. Quoiqu'elle soit plus simple que l'équation (18), elle échappe à la méthode de discussion employée jusqu'ici; il est en effet impossible de la réduire par des dérivations à n'avoir plus que deux termes. Je n'ai pu traiter complètement que le cas où la fonction /((X, (i, B, M) est indépendante de B et de M. L'équation étudiée prend alors la forme
Nous supposerons d'abord la fonction/'(a,, (3) analytique; nous supprimerons ensuite cette restriction.
Posons
ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. 6l
Nous désignerons les dérivées de X et Y par rapport à .r et y par des accents et leurs dérivées par rapport à a par des indices. En écrivant x et yk la place de j3 et P, dans l'équation ('2i), et en dérivant l'équation ainsi obtenue par rapport à a, on obtient les deux équations
) X[/(a:,y)-Y\/{y,x) = X\\-YlL, et, par suite,
(23) (X'Y;-Y'X',)/(^,y) = Y;(XY.-YX.)-Y'(XY,-YX,).
Observons, d'autre part, comme nous l'avons déjà fait à propos des équations fonctionnelles (6) et (i8}, que si /"(oc, ^) est une solution de
l'équation (21), il en est de même de ' ,, t . Les deux équations
intégro-différentielles correspondant à ces deux solutions se déduisent l'une de l'autre par un changement sur la fonction de ligne inconnue. On peut disposer de la fonction o de manière que, pour une valeur particulière de [3, que nous désignerons par to, on ait, quel que soit a,
(24) /(a, to) = j.
On peut, de plus, si la fonction/"(a, P) est analytique, faire en sorte que w ne soit pas une valeur singulière pour la variable a. Les équations intégro-différentielles correspondant à de telles formes de la fonctiony'seront dites équations réduites.
Posons
Si nous donnons ky la valeur to dans les équations (22), il vient
en désignant par k une fonction de a. Donnant à 7, la valeur w dans ces
équations, il vient
en posant /• (w) = /, et, par suite,
Donnons maintenant à a la valeur to dans l'équation (aS), et remplaçons ç, et ^2 par leurs expressions en fonction de ;, ;^ et c!\ il vient
Supposons d'abord que le premier facteur soit nul ; ,/(.x',,}") est une fonction dey seulement, et l'équation (21) donne aisément
L'équation intégro-difïérentielle chercliée est alors
8<ï>i, = / ae'^»onds.
Elle se ramène par un changement linéaire elîéctué sur la fonction inconnue à la forme unique
qui est la forme réduite des équations de la forme
Supposons maintenant que le second facteur de l'expression (27) soit nul. 11 vient dans ce cas
(3o) " l = ae'-' + ù.
Or les équations (26) donnent ;, et Çj en fonction linéaire de ; et de
Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. 63
ses dérivées. De même, en dérivant les équations (25) un nombre quelconque de fois par rapport à a, et en donnant à oc la valeur to, on obtient les expressions de ?,, . . . , ç, en fonction linéaire de J et de ses dérivées. Toutes ces fonctions sont donc la somme d'un terme en é"" et d'un terme constant. En représentant alorsy*(a, j;) par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de a, — to, il vient
En substituant cette forme de la fonction ydans l'équation (21), et en dérivant l'équation obtenue par rapport à ^ et ji,, il vient (')
ca (^) -h a'(?) = cai^^^ ) -h «'( ?• ) = [^» et par suite
Résolvant alors l'équation (2 1 ) par rapport à ^(P), il vient
et par suite
c/(a, a?) = X e<^(^-«) -l- |jl e~^-^4- A, e"^' + 'J-t •
Substituant enfin cette forme de la fonction y dans l'équation (21), celle-ci se réduit à
A- ULA, = ai A U., ) = O.
Ces équations sont vérifiées de deux manières. Ou bien A = y. = 0, et l'on se trouve dans le cas connu oii ./(a., Jc) est indépendant de j; ; ou
bien on a
et par suite
•^ ^ ^ eue"''
(*) Nous supposons que c ne soit pas nul. Si c = o, on se trouve dans le cas connu où le point B n'est qu'un paramètre dans l'équation étudiée.
ce qui nous donne une équation du type (29) où
Nous ne trouvons donc pas d'autre équation complètement intégrahle du type considéré que Les équations (29) et celles pour lesquelles f{cL,x) est indépendant de x.
Les équations (29) ne paraissent pas essentiellement distinctes de l'équation de M. Hadamard. En effet, si la fonction ^>g dépend seulement du point B, cette équation s'écrit
ce qui est une des formes à laquelle peuvent se réduire les équations (29). Il est vrai que cette équation conduit, si l'on suppose que A )^ figure comme paramètre, à la forme
Je.
l(^i = / $;\ $i^ In ds
différente de l'équation de M. Hadamard. Mais on peut ne pas la considérer comme une équation nouvelle, puisque A n'y est qu'un paramètre et qu'elle n'est pas susceptible de définir des fonctions de ligne nouvelles.
Des remarques analogues s'appliquent à la comparaison de l'équation (29) et de l'équation du paragraphe 18, en supposant dans cette dernière que B figure comme paramètre.
Il est facile de former toutes les fonctions vérifiant des équations de la forme (29). Prenons ces équations sous la forme réduite (28). # est alors la somme d'une fonction — log4>^ indépendante du point B et d'une fonction log •]>,; indépendante du contour, et l'on a
Je.
5<I>, = — / iLnû/i ds.
Équations intégro-différentielles et fonctions de lignes. 65
tj/p est alors une fonction quelconque du point B et $, une fonction (lu premier degré au sens de M. \ olterra définie à l'aide de la fonction — '!/„.
26. Supprimons maintenant la restriction que la fonction f soit analvtiqjie. Le raisonnement qui nous a permis d'amener l'équation intégro-diiîérentielle à sa forme réduite est toujours valable . Il suffit donc de montrer qu'il n'existe pas de fonction non analytique vérifiant les équations (21) et (ii4).
En dérivant la seconde équation ^22) par rapport \\ a, et en éliminant y (.i',>) et/(r, .f) entre l'équation ainsi obtenue et les équations (22), il vient
(3i) XX'O'.V, — Y2Y:)-^X.X'Y,Yi-X,X'(YY;-Y,Y;)
+ xx;(y,y;-y,y')-x,x;(YoY'+yy;)
-t- XoX; Y, Y; -4- XX;(Yo Y- Y. Y',)
^ (X. x; - x,x' ) yy; h- (x,x; - x,x;) yy'= o.
En donnant dans cette équation à y une valeur particulière, on obtient une relation linéaire et homogène entre les neuf fonctions de x qui y figurent. Si l'on donne à >cinq valeurs distinctes, on peut obtenir ainsi cinq relations distinctes. Cela peut paraître inexact s'il existe entre les fonctions de v qui figurent dans l'équation (3i) cinq relations linéaires et homogènes distinctes ; mais dans ce cas, en remplaçant y par X dans ces relations, on obtient cinq relations entre les fonctions de X considérées. Il existe donc en particulier deux relations linéaires et homogènes entre XX', X, X', X^X', XX'^, X, X'^ et X^X'^.
Eliminons Xj entre ces relations. L'équation obtenue ne contient plus que X, X,, X' et X\ Elle ne peut être une identité que s'il existe une relation linéaire et homogène entre X, X, et X,, cas que nous écartons d'abord. Comme elle est homogène en X' et X'^, on peut la considérer comme une équation différentielle définissant X^ en fonction de X pour chaque valeur de a. Donc X, est une fonction analytique de X. L. 9
6f> PAUL LÉVY.
La première équation (a^) est alors une équation difï'érentielle entre X et ,r. c, est une fonction analytique de x ; en efï'et le cas où le premier facteur de l'écjuation {'2y) est nul ayant été complètement élucidé, on peut supposer 'E, de la forme (3o). Donc X, et par suite X, et X^, sont des fonctions analytiques de x pour chaque valeur de a.. De même Y, et Y 2 sont des fonctions analytiques de )•. Alors l'écjuation (^.3) montre que f{x^ y) est une fonction analyticjue de x et y, comme nous voulions l'établir, sauf peut-être si le coefficient de f{x^y) est nul.
Il reste enfin à traiter le cas où il existe entre X, X, et Xj une relation linéaire et homogène à coefficients indépendants de .i', et le cas où l'on a
Dans ces deux cas, la fonction /" est de la forme
/(a, x) = a{cf.) b{x) -f-«i(a)^, {x)^ forme qui peut se ramener à
y(a, x) = a{a.) b{x) -\- bi{x)^
en tenant compte de l'équation (^i). Il suffit alors de substituer dans l'équation (21) cette forme de la fonction / pour constater, par un calcul sans grande difficulté, qu'on ne trouve pas d'autres solutions que celles obtenues précédemment.
Il semble plus difficile de supprimer la restriction que la fonction / soit indépendante de B et de M. Si /^ dépend de B et de M, on peut toujours considérer des formes réduites telles que l'on ait
/(a, (o, B, Mo)-.
pour des valeurs particulières (o et M^ et ((uels que soient aetB. Si l'on veut définir la fonction f par une série de Taylor dans le voisinage de la valeur co de [i et du point M^, il n'est plus suffisant de connaître les dérivées de / par rap|)ort à fi pour [ii = co ; il faut encore connaître les
dérivées de/* par rapport aux coordonnées du point M, et ces dérivées semblent plus difticile à ol)tenir.
Il est toutefois bien probable qu'il n'y a pas d'autres équations complètement intégrables du type étudié que celles que nous avons déjà obtenues. Bien entendu dans l'équation (39) il faut écrire ici cpf $^, M) et cp'(<^B, B) au lieu de 9(*&„j et <p'(<^b)-
27. On peut rattacher aux considérations qui précèdent une propriété de l'équation (16) énoncée par M. Hadamard.
Faisons une transformation ponctjielle transformant la «^ourbe C en une courbe C. ^^ deviendra une certaine fonction $g'. Si ^l vérifie l'équation (16), <I^g, vérifie l'équation
*è' = / 4)ïi ^ï /( M') 8n' ds'
en désignant par /(M') le déterminant fonctionnel de la transformation considérée. En posant
**ê: = <i»êV/(A')/(B').
cette équation se ramène à l'équation (16). Donc, « un changement de fonction inconnue près, r écjuation de M. Hadamard est invariante par toute transformation ponctuelle.
Cete propriété peut se rattacher à la notion d'intégrabilité. En effet le caractère d'intégrabilité d'une équation n'est évidemment pas changé par une transformation ponctuelle. D'autre part, les différents types d'équations intégrables qui ont été obtenus ne peuvent pas s'échanger par une telle transformation. L'équation de M. Hadamard, par exemple, est caractérisée par ce fait que le coefficient de dn ds dépend de <I>^ et de 4>g , mais pas de ^^ ; cette propriété subsiste évidemment dans une transformation ponctuelle.
Si l'on fait une transformation ponctuelle sur l'équation (20^, le changement de fonction inconnue qu'il faut faire pour ramener l'équa-
tion à la forme réduite {'jlo) sera le même qui vient d'être indiqué pour l'équation (16). La fonction /ô (A, M) se trouvera remplacée par
28. Si l'on considère des équations intégro-dillérentielles dans lesquelles figurent, non seulement $^, et ^\, mais aussi leurs dérivées, on obtient une catégorie d'équations beaucoup plus générale.
Considérons seulement les équations de la forme
(32) 81»^= rD„<ï>^,D„(I>«8/^^.-,
où Dj, désigne une dérivée d'ordre quelconque par rapport aux coordonnées du point M. Ces équations comprennent comme cas particulier l'équation (i3) de l'introduction. En généralisant la remarque faite par M. Hadamard sur cette équation, on voit que, si ^>J. est une solution de l'équation (Sa), D^D,./I>J) est une solution de l'équation (16).
On a
5(D„ $i:i Dm <!>«) = ^ (D„ $iîi Dm <I>Î,') 5«
H- ADM^;J,DMDM.4>îî,DM,<ï>^ + DM,<î>,\DM,DM*I>îl'DM<I>îf]8n,^.. Je
l^e coefficient de dn^ ds ^ dans cette équation étant une fonction symétrique des points M et M,, l'équation (32) est complètement intégral) le.
