CHAPITRE III
29. Considérons une équation intégro-difféientielle de la forme (i) 0*= /^/c(cï», M, 6, A-, ..., k^P^)onds,
dans laquelle la fonction /", considérée comme fonction de la ligne C (les autres quantités dont elle dépend ayant des valeurs fixes), admet une dérivée au sens de M. Volterra. 6 représente l'angle de la tangente à la courbe C en M avec Taxe des .v, et Â, . . . , k^^' la courbure de la courbe C en M et les dérivées de cette courbure par rapport à l'arc s'. La fonction/^est supposée avoir un sens même si le point M n'est pas sur la courbe.
La variation de la fonction /^. est de la forme
8/c= / *i,i(*, Si) ont dsi + Afi{s)ùn-+-... + \p^..{s)ùn<P+-> avec
comme cela résulte de la formule (i4) du paragraphe 12. D'après les résultats du paragraphe 12, pour que l'équation (i) soit complètement intégrable, il faut d'abord que $, , [s, s\) soit une fonction symétrique de .y et .y,. Mais cette condition, suffisante pour les équations étudiées dans le Chapitre précédent, ne l'est plus ici, et nous avons à former la deuxième condition d'intégrabilité du paragraphe 12.
Nous voyons d'abord qae p doit être pair. Si, par exemple, la fonction / dépend ^^h mais pas de A- ni de ses dérivées, l'équation (i) ne peut pas être complètement intégrable.
PAUL LEVy.
Considérons maintenant la première des équations (12) du paragraphe 12.
Elle s'écrit ici
A — P^"^ "^ A p+-^^ d df
2 ds
2 ds dk^P^
Or, le dernier membre contient le terme
2 dk^P^
et A^^, est une fonction de M, 6, Â-, ... , ¥p^ seulement et ne dépend pas (|g^(/'+«) T/équation (2) ne peut donc être vérifiée identiquement que ^\f est ujiefonctio?i linéaire de ¥^K
Les conditions qui précèdent sont des conditions nécessaires ponr que l'équation (i) soit complètement intégrahle. Nous allons former les conditions nécessaires et suffisantes dans le cas des équations de la forme '
B(b= f/{^,M,b,k)hnds.
La première condition d'intégrabilité se forme comme au paragraphe 1» et l'on trouve que
D'après ce qui vient d'être dit, h doit être une fonction linéaire de^.
L'équation (2) s'écrit alors
ou
dli2 dhi
~dT~~dr
en désignant par -r- la dérivée de //, quand M se déplace sur la tangente
à la courbe, G restant fixe.
L'équation intégro-diftérentielle cherchée est alors
^ =f[kh, (M, G) -t- h,{M, H)] on ds.
Si nous considérons la fonction
(4) w= rb,{M,^)ds+ r i^'i,{M)d<7,
l'intégrale double étant prise dans le champ S intérieur à la courbe C, il vient
pourvu que '^^ (M, 9) et '}, (M) vérifient les équations (*)
(?'}, d-^'l, , , dn âtdH' V2-«2-
Or il est possible de déterminer 'y, par la première équation, et la fonction 6^ définie par la seconde est indépendante de 9 en vertu de la relation (3). Nous voyons donc que les fonctions de lignes définies par les équations étudiées sont des fonctions d'expression de la forme (4).
Toutefois, il faut observer que la fonction y, doit être uniforme sur le contour, autrement dit, elle doit être vine fonction périodique de 9. Or, si A, est une fonction périodique de 9, 'v, peut n'être pas périodique, mais contenir un terme de la forme a 9 sin (9 — 9,,). Pour que ce terme soit périodique, il faut que 9 soit discontinu en un point du con-
(*) Ces équations sont écrite* en supposant la direction positive de la nornaale dirigée vers l'intérieur du contour.
tour ; en prenant ce point tel que sin (Ô — 9^ ) = o, on évitera toute difficulté. La fonction <]>, sera continue, et il n'y a aucune difficulté provenant de ce que sa dérivée est discontinue.
Etude de l'équation intégro-différentielle de la fonction de Green.
