Cette équation, qui a déjà été écrite paragraphe 8, est
r di (5) m\,=- -
-r- —7— on ds.
dn dn
la direction positive prise sur la normale étant celle de la normale intérieure. Elle est analogue aux équations étudiées paragraphe 28, mais
s'en distingue parce que la signification du symbole -j- dépend du contour.
Considérons une famille de courbes telles qu'il en passe une et une seule en chaque point d'une région du plan, et appelons /^^ et /i^ les directions des normales aux courbes passant respectivement par les points Aet B. Si $J( est une solution de l'équation (5), M. Hadamard a
observé que -. — -r^ vérifie son équation intégro-différentielle pour la
it il A Clityt
famille de courbes considérée.
La première condition d'intégralité relative à l'équation (5) se forme comme pour les équations du paragraphe 28 et est identiquement vérifiée.
La seconde condition se réduit à exprimer que le coefficient de 8/?/
dans la variation de -, r-^ est nul. Or les variations de -j— et -r—
dn dn dn dn
quand la tangente à la courbe en M varie sans que la forme de la fonction échange sont respectivement^ ^'o/^' et ^ o/^\ Il vient donc
ds dn ds dn
ÉQUATIONS TNTÉGRO-DIFFÉrENTIELI.ES ET FONCTIONS DE LIGNES. 7 3
Cette condition n'étant pas une identité, l'équation (5) iiest pas compietcmen t in tégrable .
Pour obtenir une solution de cette équation, il ne suffit pas de choisir pour le contour initial une fonction vérifiant l'équation 6}. Il faut de plus que cette condition reste vérifiée quand la courbe se déforme. Or, la variation de son premier membre est la somme d'une intégrale prise le long de la courbe, d'un terme en on et d'un terme en o/?/: comme elle doit être nulle quelle que soit la fonction 0/2, nous pouvons annuler séparément ces différents termes. Pour simplifier le langage, nous dirons, comme au paragraphe 14, que nous dérivons par rapport à o/t (ou on'), lorsque nous annulerons le coefficient de on. (ou on').
En dérivant l'équation (6) par rapport à on, et remarquant que la
dérivée de -7- est -r- il vient as an
dn du ds ds
Supposons d'abord que l'un des facteurs du premier terme, le premier par exemple, soit nul. L'équation (5) montre alors que <I>g est
indépendant du contour. Pour que la condition ^-j^ = o reste vérifiée
quand le contour se déforme, il faut et il suffit que <Pg soit indépendant de B. Nous obtenons donc une première catégorie de fonctions vérifiant l'équation (5) qui sont les fonctions cran seul des points A et B, indépendantes de l'autre et du contour.
01 -j- et -j— ne sont pas nuls, il resuite des équations (b) et (7) que
on a
dn ds
en désignant par i l'une quelconque des racines de l'équation
Rii prenant les dérivées successives des équations (8) par rappoit à o//, on voit ({Il 'elles doivent rester vérifiées quand M n'estpas sur la courbe. En appelant x, y les coordonnées de A et x^ , r, celles de B, <1>,^ est alors une fonction analytique de x -h iy et de x^ — - /)•, . Dans ce cas, la vnriation de <I>ip donnée parla formule ( 5), est aussi une fonction analytique de X -\- iy et de x^ — ly^ , de sorte que les formules f 8), et, par suite, la condition d'inté^rabilité (6), restent vérifiées quand le contour C se déforme. Nous obtenous donc une seconde catégorie de solutions de l'équation (5), qui sont dQ'^ fonctions analytiques de x -\- iy et de x^ — z'r,, dont la valeur peut être choisie arbitrairement pour le contour initial.
Comme fonctions symétriques de A et B, les deux sortes de fonctions obtenues ne comprennent que des constantes.
51. Le ijiisonneiueut précédent su[)p()se la fonction <l>,^j analvtiqueet sans singularité dans le voisinage du contour. Si l'on supprime cette restriction, il va évidemment d'autres solutions de l'équation (5), par exemple, la fonction de Green^'î^. Nous allons chercher tontes les solutions' de la forme ^,^ H- A^, h^ désignant une fonction analytique dans le voisinage du contour.
Il faut d'abord traiter une question préliminaire. Etant donnée une famille de coiud^es C dépendant d'un paramètre A et une fonction
