OB
de ces courl)es vérifiant l'équation (5) lorsque les points A et B sont tous les deux intérieurs au contour, si h\^ est analytique lorsque K et ^ sont tous les deux voisins du contour pour A = o, en est-il de même pour les autres courbes de la famille considérée P
gl et <I>,^ vérifiant l'équation (5) pour les courbes conçiidérées, on a
^^^ dl ~ I dn dn dl J dn dn ô\ /,
dJi^i f dg^x dh\ dn ^ f dh^^ dgf^ dn ^ f d/i^i dh]l un
dn dn dK
La troisième intégrale est évidemment une fonction analytique des points A et B pour ). = o. Considérons une des antres, la première par exemple. Klle représente une fonction harmonique du point A,
prenant sur le contour la valeur -^ ^; si la famille de courbes considérée est analytique (et, dans le cas contraire, la fonction de Green n'a aucun sens à l'extérieur), elle sera prolongeahle à l'extérieur du contour. Ce sera donc une fonction analytique du point A, et évidemment du point B, dans le voisinage du contour. Il en est alors de même
de-^ pour a = o.
Cela suffit pour faire penser que h^ est analytique pour toutes les courbes de la famille considérée. Nous allons donner de ce fait une démonstration plus satisfaisante, en formant la fonction étudiée par une méthode iV approximations siùccessiwes . Cette méthode généralise celle qui a été indiquée par M. Hadamard, dans son Mémoire Sur l'équation d'équilibre des plaques élastiques encastrées, pour le cas de son équation et des solutions restant finies.
Nous prendrons, comme point de départ des approximations, une fonction de la forme
<Do(è, A) = ^(-;i, A)-h//„(B\ A),
li^ (g, a) étant analytique lorsque les points A et B sont tous les deux dans le voisinage du contour et prenant pour a = o une valeur donnée A (g, o). La formule d'approximations successives sera
quand les points A et B sont tous les deux réels et intérieurs aux contours considérés; pour les autres points <5,^., sera le prolongement analytique de la fonction définie à l'intérieur par cette formule.
La difficulté qui résulte du remplacement de l'équation de M. Hadamard par l'équation 5) serait aisée h résoudre dans le cas d'une fonc-
y6 PAUL LÉVY.
tioii (l>(,p o) analytique. Dans ce cas, en efî'et, si l'on connaît une limite supérieure du module de $, pour les points réels ou imaginaires d'une certaine r飻ion entourant le contour, on en déduit une limite supérieure du module de — ~r^~~ qu^ind M est sur le contour, et le raisonnement de M. Hadamard s'achève sans difficulté (* ). Mais le cas qui nous occupe exige un raisonnement plus long. Posons
Il vient
(lo) /i,-+,(,\, A) — A(i^. o)
dn dn
0/? ds.
d/ua, X) dgilA) dhiit,, A) dhjQll)
dn dn dn dn
De la remarque faite plus haut sur l'expression (9) on déduit, si A, est analytique pour les petites valeurs de A et pour les points voisins du contour X = o, qu'il en est de même de /^■^^. Il faut préciser ce résultat.
Commençons par quelques remarques préliminaires. Un point imaginaire A peut être défini comme l'intersection de deux droites isotropes non parallèles issues de deux points réels A, et A^. Si A, et Aj décrivent une région R, A décrit une région S\. Nous ne considérerons que des régions imaginaires définies de cette manière.
Si une fonction o est harmonique dans la région R, elle l'est aussi dans la région Si. Cela résulte par exemple de la formule de (ireen
appliquée dans la région R à cette fonction et à log -•
Si l'on connaît une limite supérieure OVL du module de cette fonction cp sur le contour de R, ou peut en déduire une limite supérieure
(') Il suffit même de supposer la foiictioti <P limitée supérieurement, ainsi que ses dérivées d'ordre au plus égal à un par rapport au\ coordonnées de chacun des points A et B.
EQUATIONS INTEGRO-DIFFERENTIELLES ET FONCTIONS DE LIGNES. "j'j
du module de o et de ses dérivées dans une région ^^ correspondant à une région R' intérieure à R. Nous aurons besoin d'une limite supérieure du module des dérivées premières en fonction de la plus courte distance o des contours de R et de R'. Cette limite résulte de la formule
qui résout le problème de Diriclilet pour le contour de la région R. Dans l'expression des dérivées premières de o^ figurent les dérivées secondes de «"^^ dont il nous faut d'abord une limite supérieure. Cette limite est de la forme
^(mX^-^^Tv^)
k étant un nombre qui ne dépend que du contour de R. Pour vérifier ce résultat, il suffit de remarquer que, le contour de R étant supposé analytique, on peut eu obtenir la représentation conforme sur le cercle à l'aide d'une fonction dont les dérivées des deux premiers ordres sont limitées supérieurement. On en déduit une expression de la fonction de Green sur laquelle la limite indiquée se vérifie aisément.
On a alors pour les modules des dérivées premières de o^ une limite supérieure de la forme
, r ds , r ds
**^ / MÂf ^ ' ^'V MÂT
Cherchons par exemple une limite supérieure de la première intégrale. A étant intérieur à la région r)V, A, est intérieur à la région R'; soit s ^ la valeur de v définissant le point du contour le plus voisin de A, . Il existe certainement un nombre a indépendant de A, et de M tel
qu'on ait
MA; > o- — A- (5 — 5, ;-,
et par suite
MA; ^ o- + ).-(5 — 5,)-*
y s PAUL LÉVY.
La limite supérieure cherchée pour les dérivées premières de cp^ est donc de la forme
ki^\l
r 'is r ds 1
c'est-à-dire de la forme
k n'ayant plus la même valeur que précédemment mais désignant encore un nombre f[ui ne dépend que du contour de R.
Revenons maintenant à l'étude de la formule (lo). A^ désignant une région imaginaire définie en partant d'une région réelle R, par le procédé indiqué plus haut, supposons que // • soit la somme :
I** d'une fonction analytique des points A etB, inférieure en module à une limite JTL-, quand \ varie entre zéro et une limite A et quand A et B décrivent la réiiion cR,;
2° d'une fonction harmonique du point A et analytique du point B, inférieure à t^lL-, quand A varie entre zéro et A, et que A et B décrivent respectivement les régions R,- et S{-;
3° d'une fonction analogue à la précédente, les rôles des points A et B étant échangés.
Nous allons chercher une limite supérieure des diflerents termes deA,^, dans une région R.^ , intérieure à R- et dans la région imaginaire correspondante ^1,+ ,. Nous supposerons que les différentes régions R- aient une partie commune R, et que les contours C soient intérieurs à R (sans toucher sa frontière) quand \ varie de zéro à A. Les régions R- vérifient d'autres conditions qui seront indiquées plus loin.
Considérons d'abord le troisième terme de l'intégrale (lo). Il est analytique en A et B , et l'on trouve aisément une limite supérieure de son module de la forme k^K^^ ^ k désignant un nombre indépendant de
l'indice i. Nous désii»nerons dans la suite par k des quantités qui pourront être différentes entre elles, mais seront toujours indépendantes de l'indice i.
Considérons maintenant un des deux premiers termes, par exemple le 'premier. Si A est réel et intérieur au contour C, le coefficient de r/). dans ce terme,
^"^ ~/ d^r~ dn d\"'
a son module an plus é^^al au minimum du module de — '."' ^' -rr- sur le I ^ an OK
contour . Nous obtenons donc une limite de la forme kJK,- .
Supposons maintenant A réel et extérieur an contour C. Il faut considérer le prolongement analytique de la fonction représentée à l'intérieur par l'expression (i i) .
Considérons d'abord l'expression (ii) elle-même pour un point A extérieur. Il est facile d'en avoir une limite supérieure. En effet, la fonction qui définit la représentation conforme de C sur un cercle peut être prolongée analytiquement à l'extérieur de C. Nous supposerons la région R, assez petite pour que cette fonction n'y ait aucune singularité et que sa dérivée ne s'y annule pas, et cela pour toutes les valeurs de a comprises entre o et A.
La fonction de Green étant définie dans le cas du cercle, même pour les points extérieurs au contour, le sera pour les courbes considérées dans toute la région R,, , et l'on aura
dgr^. ).)
dn
D'autre part, M^ étant le point du contour le plus voisin de A et M, un point compris entre M<, et M, on a par la formule de Taylor
d h,(^. A) dn
hi(^\ 1) âno ^. d rdhi{^\ A) an ^
dno àl "^ dst [ dn^ 31 \
dn à/.
En portant cette valeur dans l'expression (i i) , et en tenant compte de
8o PAUL LÉVY.
l'iiiésfalité (i ii) et (le ce que - — ,' ^' -^ et sa dérivée ont une limite
" ^ ^ ' ail Oh
supérieure de la forme ^^Olo., on trouve que l'expression (i i) a aussi une limite supérieure de la forme kCPT^..
D'après les propriétés l)ien connues du potentiel de double couche, cette expression diffère de celle que nous voulons étudier par une fonction harmonique, dont la dérivée normale s'annule sur le contour, et
qui prend elle-même la valeur ti — '^"' ^' y-- Pourformer cette fonction,
utilisons une représentation conforme qui transforme un point M de C en un point M^ et l'arc de C voisin de M en un segment d'une droite (7; une pareille représentation peut, par exemple, à une symétrie près, se déduire de celle qui transforme C en un cercle pai- une inversion par rapport au point du cercle diamétralement opposé à celui qui correspond à M. ^^^ et p désignant des coordonnées rectangulaires dans le plan considéié, nous avons à former une fonction harmonique dont la dérivée par rapport à e s'annule pour (' = o et qui prenne ellemême des valeurs connues /'(/^) . La fonctiony(z/) étant analytique, cette fonction est
Il est facile de définir la région dans laquelle cette fonction est harmonique. Appelons y une courbe normale à la courbe C qui dans la représentation considérée donne un cercle y^ de centre M^ Appelons R,(X) la région balayée par une famille de courbes y telle qu'à chaque point M de C corresponde une courbe de cette famille ; on peut supposer le contour extérieur de R/(^0 indépendant de \. Supposons que la région K,, dans laquelle nous avons fait certaines hypothèses relatives à la fonction, soit composée des points appartenant à l'une au moins des régions R^ (\) et en outre d'une région quelconque intérieure aux courbes C considérées.
La fonction /'(?^) est alors analytique pour tous les points de Q' intérieurs à la région ({ui correspond à ci\ dans la représentation conforme
ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS DE MGNES. 8l
considérée ; il ne résulte aucune difficulté de la présence du facteur
-7^ dans l'expression de/(M) ; ce facteur étant indépendant de l'indice i
sera analytique si la région R, est assez petite. La fonction /*(w) est donc a fortiori analytique pour les points de la droite C intérieurs à la région imaginaire définie à l'aide du cercle y^, c'est-à-dire pour les points de C dont la distance à M' est inférieure en module au rayon dey'. L'expression (i 3) est donc analytique dans le cercle y' et l'expression tranformée à l'intérieur de la courbe y.
La fonction étudiée, c'est-à-dire le prolongement de la fonction harmonique définie à l'intérieur de C par la formule (i i) est donc harmonique dans toute la région R,, comme étant la somme de deux fonctions harmoniques. Mais il n'est pas possible d'obtenir une limite supérieure de son module dans cette région. C'est ce qui oblige à introduire la région plus petite R/^., .
Désignons par o- la plus courte des distances des contours de R^ et R,^.,. Lorsque M est dans la région R,^.,, les modules des dérivées pre-
mières de h. ont une limite supérieure de la forme — r-^'; pour les termes
de hi qui sont harmoniques et inférieurs en module à DXL^ quand A est dans la région réelle R,, cela résulte du résultat préhminaire établi cidessus; onle verrait par une méthode analogue pour les termes qui sont analytiques et inférieurs en module à OK^. dans la région imaginaire A^. 11 en résulte que la fonction /*(m), et par suite l'expression (i3) et
l'expression (i i) ont une limite supérieure de la forme — ^ dans toute la région c^l,^.,.
Nous avons donc pour le module de la fonction /?,^^, une limite supérieure de la forme
kDXLi(DXLi+ 4- )
et qui est valable dans les conditions analogues à celles qui ont été
indiquées plus haut pour la fonction A,, c'est-à-dire dans R,-^, pour les L. II
82 PAUJ. LÉVY.
termes qui sont harmoniques et dans A^^, (et même clans Si-), pour ceux qui sont simplement analytiques.
Si maintenant nous connaissons une limite supérieure du module de la différence h^ — /'/-i? <l"i soit de la forme [l^V'* et qui soit valable dans les mêmes conditions que la limite 3TC,- pour le module de A,, nous pouvons en déduire pour le module de h^^, — h^ une limite supérieure de la forme [jl^^, V. En répétant les raisonnements précédents, et en remarquant que l'intégration par rapport à X introduit le facteur i au dénominateur, on voit qu'on peut prendre pour u.-^,, la valeur
et par suite
(i4) [^/+i = u, -^ ( OlL, H- ^ ) ( Ollo + j- )•"( OIL/+ ^
Cette limite n'est pas assez étroite pour qu'on puisse en déduire la convergence des approximations. Mais nous allons montrer qu'on peut dans cette formule remplacer les limites D]1^, ^ÎIj, ..., ^'ïï^^, relatives aux fonctions A,, //j, . . . , //. et aux régions R, et -il,, Rg et S\^, . . . , R, et cil. par des limites ^''ll'^ , D]L[^, . . . , 5TC], relatives aux mêmes fonctions, mais pour toutes ces fonctions aux régions R,^^, et cil,-^,.
Pour cela supposons qu'on ait écrit l'expression de A,^, — h^ en fonction de h, — h^. Cette expression sera une somme d'intégrales multiples dont chacune sera obtenue de la manière suivante, en ne parlant pas des intégrations par rapport à X qui n'introduisent aucune
difficulté : on part d'une des expressions ^ ^ ' " , — ^^-^ ou ^ '", — ;
^ ^ an an '
on multiplie par l'un des facteurs -f-^s, -^ ds ou -y-^ ds et l'on intègre
le long du contour, puis on multiplie la dérivée de l'expression obtenue
1» 1 r ^ ds^ / dht } d/i-, , ,, . ^
par 1 un des lacteurs -^ds, -j—ds, ou —r^as, et 1 on mte^re a nouveau, ^ dn ^ dn ^ dn ^ " '
et ainsi de suite. Il est évident que chacun des termes ainsi obtenus a pour limite supérieure un des termes du développement de Ji'/^.,V quand on remplace \L■^^ par sa valeur (i4)-
Considérons d'abord les intégrales multiples dans le calcul desquels interviennent d'abord les multiplicateurs de la forme -^ fis, et ensuite
les multiplicateurs -T-r/.v. Observons que dans l'expression ( 10} la limite
kOïV. que nous avons trouvée pour le module du dernier terme est valable dans les mêmes conditions que la limite DK- pour le module de h^. Autrement dit, la nécessité de considérer des régions de plus eu plus
étroites provient de la présence des termes où figure -py et n'existe pas
pour les autre-6 termes. Donc, pour limiter dans les régions R,^, et
cR,^, les intégrales que nous considérons, où les multiplicateurs -7-
s'introduisent en dernier lieu, il suffit de connaître des limites supérieures des fonctions h dans ces régions R^^,., et cA.^^,. On peut donc remplacer dans ces intégrales ^R , , -^ïï , , . . . , è^lt, par DVi\ , .')TL', , . . . , OIL^.
Pour les autres intégrales, nous obtiendrons un résultat analogue en intervertissant l'ordre des intégrations. Au point de vue du calcul de leur limite supérieure, cela revient à intervertir l'ordre dans lequel se présenteront les différents facteurs ^^ÎL et ^j à cela près qu'on pourra remplacer les quantités CfVL par les quantités correspondantes i^K.\ si l'on a amené les intégrations où figure la fonction de Green à s'effectuer les premières.
Le seul point délicat est de montrer qu'on peut intervertir l'ordre des intégrations, malgré la singularité de la fonction de Green. Il suffit de montrer qu'on peut intervertir deux intégrations consécutives
lorsque la première introduit un multiplicateur -7- et la seconde un
multiplicateur -^ • Autrement dit, si en partant d'une certaine fonction H (g, a), nous avons à former successivement les fonctions H, et H 3 par les formules
OU
H,(à,X)=r<«.r':^jiA)^.l)rf,„
il s'agit de montrer qu'on peut commencer par l'intégration par rapport à s et effectuer ensuite l'intégration par rapport à s,. Gela est bien évident si B est intérieur au contour G, ce qui nous suffit, car toutes les formules écrites n'ont de sens que dans ce cas, et à l'extérieur les fonctions considérées ne sont définies que comme prolongement analytique de fonctions déjà définies à l'intérieur.
Il résulte de ce qui précède que nous pouvons, dans la formule (i4)î remplacer les quantités OTL^, t^lt^j, . .., ^^^ par les quantités ^)lL'p ^^1, ..^^ DïL'i , oua/or^tort par une limite supérieure DTl de ces quantités. Remplaçons de même toutes les quantités ^, , Og, . . . , o, par la plus petites de ces
quantités ô. Enfin on peut évidemment écrire -^r- au lieu de DXL -+■ ^> en augrnentant au besoin les quantités 5TC et ^- Il vient ainsi
p.,+,[J., -^ÎJf--
Nous pouvons maintenant obtenir une limite supérieure du module de Iii^f — //,, relative à une région R indépendante de i et à la région correspondante Si. En appelant r/la plus courte distance des contoin^s de R, et de R, et en faisant coïncider R,^, avec R, nous pouvons choisir les régions Rj, R, , . . . , R, de manière que
La limite supérieure cherchée sera alors jx^.^, V, en posant
Équations intégro-différe\tielles et fonctions de lignes. 85
Or on peut supposer la limite OTl indépendante de l'indice i ('). h^ étant considéré comme somme de la série
ho-\-{h, — ho)^(fi.i— /i^) — ...+ (hi— hi.2), on voit qu'il suffit qu'on ait
et l'on peut supposer cette inégalité vérifiée si l'on a pris JTCA assez petit et CfTL assez grand.
La série S;x|^, a' est alors convergente pour les valeurs de a iuféférieures à A. Les approximations successives convergent donc absolument et uniformément pour ces valeurs de a et dans toute région intérieure à cil.
Toutes les fonctions h^ étant analytiques, leur limite h est une fonction analytique, prenant pour a = o la valeur donnée /? (J, o) et telle que gl-k- hl vérifie l'équation (5). Cette fonction est la seule qui vérifie ces conditions, comme cela résulte des principes bien connus de la méthode des approximations successives.
Cette méthode ne permet pas de former la fonction de (ireen elle-même. En effet, elle exige qu'on prennecomme point de départ des approximations une fonction ne différant de gl que par une fonction analytique ; or une pareille fonction est exactement aussi difficile à former que la fonction de Green elle-même.
L'équation (5) fournit cependant un moyen de former la fonction de Green. Comme l'on sait a priori que c'est une fonction analytique de A, il suffit decalculer les coefficients successifs de la série de Taylor qui la définit, ce qu'on fait sans difficulté en dérivant l'équation (5).
Pour les autres fonctions vérifiant l'équation (5), dont on ne sait pas
(*) Le raisonnement se irouverail en défaut ici si Ton n'avait pas remplacé les quanliiés OrOj, 3TL2, . . ., ÔY^i par les quantités ^Fl',, OXC^, . . . , OR',.
a priori si elles existent, ni si elles sont analytiques, ce mode de raisonnement ne peut pas s'appliquer, et le raisonnement fait pour démontrer la convergence des approximations est nécessaire.
52. Revenons à la condition d'intégrabilité de l'équation (5), dans le cas des fonctions de la forme g^ H- //,' . Il faut former dans ces nou-
velles conditions la variation de -7-^-7-^- Considérons par exemple
an an ^ ^
celle du premier facteur. Les termes provenant du déplacement du point M et de la variation de la direction dn se calculent comme dans le cas où $g était analytique. Considérons maintenant le terme provenant du changement de forme de la fonction $. II faut l'écrire pour un point P intérieur au contour et chercher la limite de l'expression obtenue quand P vient en M.
Nous avons donc à chercher la limite de la dérivée normale de la fonction
J^ dn, dn, J^, dn, dn ,
Cette fonction se comporte, quand P est voisin du contour, comme un potentiel de double couche. La dérivée normale est donc continue, et nous n'avons aucun terme correctif à ajouter. La condition d'intégrabilité (6) est donc encore valable (').
( ' ) On peut arriver autrement au même résultat. En effet, le procédé qui consiste à faire tendre P vers M est une application du théorème de M. Hadamard énoncé paragraphes, et nous sommes dans le cas particulier qui a été étudié paragraphe 7. On peut alors appliquer la formule (9) de ce paragraphe, qui n'introduitici que deux termes, d'après ce qu'on sait sur l'ordre de grandeur des dérivées de la fonction de Green.
Le terme en en' intervient seul dans la condition d'intégrabililé. Or, ce terme est nul. En effet, s'il ne l'était pas, on voit aisément que cette condition ne serait pas vérifiée pour la fonction de Green, et elle l'est évidemment. Il n'y a donc aucune modification à introduire dans la condition d'intégrabilité.
Des raisonnements analogues à celui-là peuvent s'appliquer plusieurs fois dans la suite. Ils sont un peu plus longs que ceux du texte, mais seraient d'une extension plus facile au cas de fonctions dont la discontinuité serait moins bien connue que celle de la fonction de Green.
Il nous faut aussi écrire la variation de -j^- Le potentiel de double
couche étant discontinu, nous sommes conduits à écrire cette expression comme si la fonction $b était anal\1:ique, et à ajouter le terme
;- I —7-^ on \ = ;— en z — — on ■+- k
ds \ dn } dn dt dn
■ -dr:-''
en désio^nant, comme nous l'avons déjà fait, par k la courbure de la courbe C en M et par -r ce que devient -^ quand on remplace la courbe par sa tangente. Il vient ainsi
(,5) ^^-7- =- / :r^' :/ 'L.r.n.ds.-k-j^on.
^ ' ds J dni dn, ds as
En dérivant alors la condition d'intégrabilité (6) par rapport à 8/?', on trouve
d^d^^^ ds ds '
D'ailleurs un de ces facteurs ne peut pas être nul sans que l'autre le soit. Si par exemple le premier était nul et pas le second, la formule (6)
montre que ^-^ serait nul. Alors, d'après l'équation intéo^ro-différen-
tielle (5), $g serait indépendant du contour, ce qui est impossible, puisque sa partie infinie en dépend effectivement. On a donc
La formule (i 5) montre que, si ces conditions sont vérifiées pour un contour, elles restent vérifiées quand ce contour se déforme, et par suite la condition d'intégrabilité (6) reste vérifiée. Nous obtenons donc le résultat suivant :
Étant donnée une Jonction $b, qui soit la somme de la fonction de Green relative à un contour C et d'une fonction analytique dans le
voisinage de ce contour, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction de lignes vérifiant l'équation intégro-différentielle {^) et prenant pour le contour G la valeur $g, est que la fonc^ tion $p vérifie les égalités ( i 5') .
Élude de l'équation intégro-différentielle de la fonction de Neumann.
