INTRODUCTION
L'étude des fonctions elliptiques conduit à un grand nombre d'équations algébriques dont les racines, prises séparément, sont des fonctions bien déteriiiinées. Celles que l'on rencontre dans la théorie de la transformation méritent surtout de fixer l'attention. On sait qu'à chaque transformation distincte d'ordre n sont attaciiées deux constantes, le module X et le multiplicateur M : elles dépendent du module k de la fonction donnée, et leurs diverses valeurs sont respectivement les racines de deux équations, l'équation modulaire et celle du multiplicateur, dont le degré est égal au nombre des transformations.
L'intérêt que présente leur étude est justifié, en ce qui concerne l'équation modulaire, par le lien étroit qui la rattache à d'importantes notions arithmétiques sur les sommes de nombres de classes quadratiques dont les déterminants suivent une certaine loi, ainsi que l'ont
montré les beaux théorèmes découverts par MM. Kroneclier et Hermite sur ce sujet. Et quant à l'équation du multiplicateur, elle doit servir dans la théorie de la multiplication complexe, sur laquelle M. Kronecker a déjà obtenu d'importants résultats.
Depuis que Jacobi a signalé ces équations à l'attention des géomètres, dans les Nova Fundamenta, eWes ont été l'objet de plusieurs travaux. Sohnke s'en est occupé le premier : il ne considère que le cas où le degré de la transformation est un nombre premier w, et, après avoir prouvé l'existence de l'équation modulaire, il donne le moyen de la former (*). Dans ces derniers temps, cette étude a été reprise par M. Konigsberger, d'abord dans un Ouvrage intitulé: Die Transformation, die Multiplication und die Modulargleic/iungen der elliptischen Functionen, et, en second lieu, dans un Mémoire publié clans le Journal de M. Borchardt, tome 62, p. 176. Malgré ces travaux importants, il nous a semblé que le sujet prélait encore à de nouveaux développements. M. Konigsberger s'est limité au cas où n est un nombre impair sans diviseur carré : dans ce travail, laissant de côté cette exception, nous prenons pour n un nombre impair quelconque.
Voici la marche que nous avons suivie ; MM. Briot et Bouquet, dans l'important Ouvrage qu'ils viennent de publier sur les fonctions elliptiques, ont montré (**) que chaque transformation de degré « est caractérisée par une combinaison de trois nombres, n' , n", t, dont les deux premiers ont n pour produit. Ce résultat nous a servi de point de départ. Toutefois, pour que la transformation relative à une combinaison donnée, n\ n'\ i, soit propre au degré «, ces trois entiers doivent être premiers entre eux. La première question que nous devions résoudre était donc celle-ci : Quel est le nombre des combinaisons «', «", t pour lesquelles ces trois entiers n'ont pas de diviseur
(*) CrcUe, t. XVI, p. 97.
(**) 7 Itcorie des fonctions elliptiques , i"). Ç>i'].
(3) commun? Ou, en d'autres termes : Quel est le nombre des transformations distinctes de degré «? Nous avons désigné ce nombre par T{n) ouv; décomposant n en facteurs premiers et posant 7i= a^b^c^,..., on a
Ce point établi, il était facile, en se servant des formules données par MM. Briot et Bouquet, pour la division des périodes (**), de représenter, par les transcendantes elliptiques, les valeurs du module et du multiplicateur de la fonction transformée. •
Les expressions ainsi obtenues mettent immédiatement en évidence les trois nombres n'^n"^t qui caractérisent la transformation; mais elles n'ont pas la forme si élégante que leur donne Jacobi, et qui permet à Sohnke d'établir l'existence de l'équation modulaire, lorsque ii est premier. Nous avons donc dû chercher à transformer les expressions qui s'offraient à nous en celles des Nova Fundamejita et nous avons reconnu qu'à chaque combinaison w', n", t correspondent effectivement divers systèmes de deux nombres m^m'Wés aux premiers par deux relations très-simples : le nombre de ces systèmes est le même que celui des entiers inférieurs à tz et premiers avec n, et chacun d'eux permet de mettre les expressions trouvées sous la forme que leur donne Jacobi. Ce résultat obtenu, nous n'avions plus qu'à reprendre la démonstration de Sohnke pour établir l'existence, dans le cas de n impair quelconque, soit de l'équation modulaire, soit de celle du multiplicateur.
Qu'on nous permette, avant d'entrer en matière, une dernière observation. Les formules de Jacobi donnent pour représenter la racine quatrième du module X et la racine carrée du multiplicateur M des fonctions bien déterminées, et en effet, comme Sohnke l'a reconnu, il
(*) Depuis, j'ai reconnu que le théorème énoncé ici avait été déujontré par RI. Konigsberger dans l'Ouvrage cité, p. 70. (**) Théorie des fonctions elliptiques, p. S\o.
convient de prendre pour racine de l'équation modulaire les diverses valeurs de s/l. Pourquoi, en ce qui concerne l'équation du multiplicateur, ne prend-on pas y^M pour inconnue? La raison de celte différence tient à ce que la fonction bien déterminée qui définit s/ï garde la même valeur pour tous les systèmes de nombres tn, m' qui correspondent à une combinaison n' n'\ t, tandis que celle qui donne v'^ est susceptible de deux valeurs égales et de signes contraires, quand on passe d'un système à un autre. Mais, si le degré n de la transformation est un carré parfait, cette circonstance ne se présente plus, et alors y/M gardant toujours le même signe, quel que soit le système /w, m' adopté, il y a lieu de prendre les diverses valeurs de y^M pour racines de l'équation du multiplicateur.
1. On sait que les fonctions elliptiques peuvent être regardées comme les quotients de quatre fonctions $ prises deux à deux, dont nous allons rappeler la définition. Nous représenterons par K et /R' les quantités qui figureront dans les périodes, i désignant \l— i. En posant
nous aurons
i=+» irt
~{sz-hs*iK')
~{sz-+ s-iK')
Sj(z)= y e'
OU, ce qui revient au même,
0,{z) = 1 + 2^/'cos^,
Ô(55) = f.-+-2^(-l)^/"-COsî^,
û , ^ V \ •■* / (2.f — l] TTZ
(6) Les quantités R et K' ne sont assujetties qu'à la Seule condition de donner un quotient — » dont la partie réelle soit positive. Cela posé, en
faisant
les deux constantes h et k' sont liées par la relation
k--\-k'-=i, et les trois fonctions elliptiques fondamentales sont les quotients
La somme des carrés des deux premières étant l'unité, nous sommes conduits à poser avec Jacobi
1 6.(2) sIT' 9,(2)
SHiams = -t: -7^> cosam^ — -^ — tY,
et quant à la troisième, nous la représentons par Aamz; elle est liée aux deux autres par la relation
A^sin^amz 4- A^ams = i.
Faisons maintenant
.T = ginamz,
nous aurons, en général,
—- = fr cosamz Aamz,
liZ "
g étant une constante à laquelle MM. Briot et Bouquet ont donné le nom de multiplicateur de la fonction elliptique (*) ; mais il est permis, ainsi que l'a remarqué (**) M. Hermite, de particulariser les quantités K et R', et cela sans nuire à la généralité des fonctions 0, de telle sorte que le multiplicateur^ soit égal à l'unité. Nous supposons que
(*) Théorie des fonctions elliptiques, i" édition, p. 248.
(**) Note sur la théorie des fonctions elliptiques (Traité de L;uToi.\, G" édition,
(7)la chose ait été faite, en sorte que nous pouvons écrire
-— = cosam2 Aamz.
dz
2. Nous devons encore, avant d'aborder le sujet propre de ce travail, rappeler en quoi consiste le problème de la transformation des fonctions elliptiques. Il s'agit de trouver une fonction rationnelle j de X, satisfaisant à l'équation différentielle
dans laquelle le module k est connu, et les deux constantes M et X inconnues. La fonction / devant être le quotient de deux polynômes, si nous appelons n le degré de celui de ces deux polynômes qui est du degré le plus élevé, ce nombre n est dit le degré de la transformation. MM. Briot et Bouquet discutent ce problème (*) dans le beau Traité des fonctions elliptiques dont ils viennent de publier la seconde édition, et en nous bornant au cas de n impair, qui est le seul que nous nous proposions d'étudier, voici les résultats auxquels ils parviennent. Posons
X r= sinams,
j" devient une fonction de z, et pour l'obtenir soient n' et n" âeux nombres dont le produit est égal à «, ^ un nombre entier quelconque, et enfin A et iA' deux quantités à l'aide desquelles s'exprimeront les j)ériodes dej" regardée comme fonction de s, ces deux quantités étant définies par les équations
iA' =
Fuis, à l'aide de ces deux quantités, composons les nouvelles fonctions 0 de la même manière que les premières l'ont été au moyen de K
'*) Théorie des fonctions ellipti(jucs^ p. 6o«S.
(8) et /K'; pour éviter toute ambiguïté, nous les désignerons par
Cela posé, nous aurons
La constante M, qui joue un rôle si important dans la théorie de la transformation, n'est autre chose que l'inverse du multiplicateur de la fonction elliptique relative aux nouvelles fonctions Ô. Nous avons en effet
et par suite (*) *
Nous avons supposé que le multiplicateur de la fonction elliptique -=. rr-T est 1 unité; nous avons donc
ce qui permet d'écrire
i. y^ ^'.lo^^,^') 9(0)
Celte formule nous sera utile plus lard.
La valeur du -multiplicateur peut encore se mettre sous une autre forme très-importante: nous avons (**)
et comme, en vertu de la supposition faite sur R el R', nous avons
(*) Théorie des fonctions elliptiques, \t. 1^^. ( •* ) Théorie des fonctions elliptiques, p. Sig.
(9) aussi
il vient
