Nous désignerons le rapport— par — /«, en sorte que
Jacobi a fait voir que les racines quatrièmes de k et h' sont des fonctions uniformes et bien déterminées de « ; en les représentant par o (w) et '^{(à), il vient
ZTTW i=:3c
Faisons de même et par suite
Il en résulte que, pour des valeurs de t dont la différence est un multiple de n", celles de Ù différeront d'un multiple de i6 et (p{Ù) ne changera pas. 11 est visible du reste que la fonction transformée^ reste la même, et par conséquent, à une décomposition du nombre n en deux facteurs n' et n" nous ne devons faire correspondre que n" valeurs de t,
A ce point de vue, le nombre des transformations distinctes du degré n est égal à la somme de tous les diviseurs de n. Mais, ainsi que l'ont observé MM. Briot et Bouquet, à l'endroit déjà cité, si les trois nombres n\ n", t ont un plus grand commun diviseur h, auquel cas 72 admet des diviseurs carrés, le module de la fonction transformée correspon- J. 3
( lo) dant à la combinaison «', n'\ t, se trouve parmi ceux relatifs à la transformation du degré— • Soient, en effet
n' = 71^ h, n" = n\ //, t = iji^
il vient
or cette valeur correspond à la combinaison n^, n\, /"<, relative à j^» et s'obtient en posant
* IV . . , n,
A|=-r5 ZA. = -„ >
ou bien
A, = ^A, iA\==: A/A'.
Quant à la fonction transformée j", nous avons
•^ f(il) Ô(z,A,A') ^'(iî) 0(Az,A„A',)*
4. D'après ce qui précède, nous ne regarderons comme transformations propres au degré n que celles qui correspondent à des combinaisons de trois nombres Ji', n'\ t, sans diviseur commun. Qu'on veuille bien nous permettre de désigner par T{n) le nombre des combinaisons distinctes de cette sorte. Deux combinaisons sont distinctes, si les nombres n\ n" ne sont pas les mêmes, ou si, ces nombres étant les mêmes, la différence entre les valeurs de t n'est pas un multiple de n". Cette fonction numérique T(7i) donne le nombre des transformations propres au degré n. Elle est égale à la somme des diviseurs de /«, si n est sans diviseurs carrés. Nous allons en déterminer la valeur dans tous les cas. Nous y parvenons sans peine en nous fondant sur la propriété suivante de cette fonction.
Soient p., v deux nombres premiers entre eux dont le produit est égal
à n, nous avons
Pour le faire voir, nous observons d'abord que, étant donnée une combinaison ji', 7z", t relative au nombre «, nous pouvons lui faire correspondre des combinaisons
[i!, ij/\ (7; v', v", T,
se rapportant respectivement aux nombres y., v. H suffit de prendre pour |ul', p/' les produits des facteurs premiers de 7i', 7i" qui appartiennent à [x, et de même pour v', v", les produits des facteurs premiers de «', n" qui se trouvent dans v, en sorte que
n' = p/v', n" = [iJ'v", p. = [l'ii", V = v'v";
puis de déterminer c et t par les conditions
OE^t (mod|jL"), x^t (modv").
On reconnaît immédiatement que p,', p.", a n'ont aucun diviseur commun, car tout diviseur de ces trois nombres le serait aussi de n\ n"y t : il en est de même pour v', v",t.
Réciproquement, à deux combinaisons
relatives à p., v, correspond une combinaison n', »", t et une seule pour le nombre n. Il n'y a qu'à poser
puis déterminer t par les deux conditions
i ^s ff ( mod, p/'), t Ei^- T ( mod . v"),
ce qui est possible, puisque p." et v" sont premiers entre eux, et de plus ne l'est que d'une seule manière, car les valeurs de t satisfaisant à ces deux congruences sont les termes d'une progression arithmétique de raison p/'v" — w". Il est évident d'ailleurs que «',«", t n'ont pas de diviseur commun. Soit, en effet, p un nombre premier qui les divise; le produit p/v' étant divisible par p, l'un des facteurs p.' ou v'
( lO
l'est aussi, u.' par exemple : mais alors le produit ix"v" étant aussi divisible par p, et v" ne l'étant pas, puisque [i! et v" sont premiers entre eux, il faut que ^x" le soit. Et maintenant, [x" et t étant divisibles par ^, la congruence
t^G (mod. fx")
exige que g le soit aussi; donc, contrairement à l'hypothèse, /x', |Jt-",(7 auraient un diviseur commun p. Ainsi 7i', 7i'\ t n'ont pas de diviseur commun.
Il suit de là qu'en associant de toutes les manières possibles une combinaison p/, |j/',(7 relative à jx à une combinaison v',v",t relative à V, nous pourrons former toutes celles qui se rapportent à n. Le nombre des résultats ainsi obtenus est T (|ul)T(v), et ils sont tous distincts; car, si la même combinaison n\n!\t résultait des deux couples
et
in in
nous aurions
n =: iuL V — [i-j Vj, «' = |x V =i^iVj;
et, comme |x',v\ d'une part, v', |jl'^ d'autre part sont premiers entre eux, il faut
on a de même
Il 9 II «
IX =fAj, V =rv, ,
et alors les congruences
<SFE(7(mod. p/'), ^s^ff, (mod.fjt."j ), iE5£ T (mod. v"), it^T, (mod. V* ) exigent
GBE Gi {mod. [x"), TE= T, (mod. v").
Les deux couples considérés seraient donc identiques, contrairement à ce qui a été supposé. Les T (/jl)T (v) résultats obtenus sont donc distincts, et par suite on a, ainsi qu'il a été annoncé,
( -3) 5. Il est bien facile maintenant de trouver T (w). Décomposons n en facteurs premiers et soit
il vient
Or, nous avons
En effet, posons /x = a* et formons les combinaisons
qui lui correspondent. Il n'y a qu'à faire p,' = a", [i" = i et par suite (7 = o; en général
a' étant l'un des nombres
et prendre pour c tous les nombres inférieurs à a*' et premiers avec lui; on obtient ainsi a*'"' (a — i) combinaisons. Faisant enfin
a a toutes les valeurs
Les combinaisons formées sont donc au nombre de
ou, en supprimant les termes qui se détruisent,
T(rt«) = a='-'(rt 4-i).
De même
T{b^)^b^-'{b + i), T(cY)=:cTr-'(c- l), ...,
et pfir suite
T(») = a''-* 6^-' c^-« . . . (fl + i) (^ 4- i) (c + i). . . .
Tel est le nombre des transformations propres au degré n ; ce nombre est précisément la somme des diviseurs de «, si n n'a pas de diviseur carré.
(>. Revenons maintenant aux fonctions
elles peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions analogues relatives à K, R'. Considérons d'abord la fonction
et appliquons à la division de la seconde période par n" la formule donnée par MM. Briot et Bouquet (*); il vient, en désignant par A une constante,
(2;,A,A')=A fj Qiz-^'xp'iA', J, R'-i6i/^),
et, comme
e(z + 2/>'/A', ^, ¥.'-iQti^}i^Q[z-\-^p'iM, J, R') il est permis d'écrire
■iz,A,A') = A JX 0{z-h2p'iA\ ^, R,)
Il n'y a plus qu'à appliquer la formule relative à la division par n' de la première période pour obtenir
(i) 5(^, A, A') = H JX n 0[z-^2pA-^2p'iA'),
H désignant une constante.
(*) Théorie des fonctions elliptiques, p. 544*
( '5) 7. Nous changeons dans cette formule z en z + zR'; on sait que
i/TW ITtZ
donc
i'tTW ITT , . , • .,x
= ie e 0,{z-{- 2pA-\- 2p'iA').
En substituant ces valeurs dans l'équation (i), le second membre devient
/«e " ^ e "'''h JJ JJ 6,{z+2p2S.-h2p'iA').
Quant au premier membre, remarquons que
iK' = iA' -t- {7f- i)/A'- i6^A et, par suite, nous avons
0{z-{-iK\A, A') = d[z-\-iA'-h{n"- i)iA'- i6tA, A, A'] ou bien
e{z-hiK\A, A')
et enfin
— I — - — I ncH -{z + iA') ;— ,
mais on a
il vient donc
^(sH-/K',A,A') = (-i) ' ie " e '''<>,(z, A, A'), et comme
( -6 on trouve
n" — I «TTW ITTZ
Ç(5-+-/R', A,A'):r.(-i) le " e "^6,{z, A, A'). On conclut de là
= 1-0' H JJ JJ ô,{z+ ^pA+ ip'iA'),
Faisant attention que
H (mod. 2.),
nous pouvons écrire
(2) 5, (z,A,A') = (- i) ^ H JJ JJ 0,(z + 2pA+2p'iA').
8. Les formules (i) et [i) en fournissent deux autres en y changeant z en z -H K. Nous avons
K = A + («'-!) A, donc
^.(r. + R,A,A')=(-i)~^5,(z-h A,A,A') = (- 0 ^ ^^(z, A, A'), et par suite
(3) ^3(z,A,A';=H JJ IX 0,{z-\-2pA + 2p'iA'),
(4) Q,{z,A,A')=H JJ JX ^2(z+ 2/)A + 2^'/A').
