h 772' 0) = i6ip -h w, et pour la seconde

Faisant le changement de w en 5 nous devons meltre à la place de

ces deux expressions

— i-hi6i/7w, — p + i6t' (ù]

et, puisque i6t' et i6t sont premiers avec /?, il est permis de prendre

16^'— 256<<'/7w, i6tp — 256u'w, J. 14

au lieu de — i -{- iGtpo), — p-+- i6^'co, ef, en déterminant t et i'par la

condition

256 if -S- — I (mod p-),

nous voyons que Xtp et .rf/ s'échangent l'une dans l'autre.

4-6. Il est facile de reconnaître comment les racines du premier groupe

s'échangent les unes dans les autres, quand on remplace w par

Aux deux valeurs XfGt Xii correspondent respectivement

m H- 7w'œ = i6^ -h w et m h- /n'co = i6^'-H «.

On doit mettre à la place de ces deux quantités

il n'y a donc qu'à déterminer t et t' ^ de telle sorte que

2^Ç)U'z:^-^— \ (mod. /?"),

pour que x^ et x^ s'échangent l'un dans l'autre.

Distinguons maintenant deux cas. Si ^ se 3 (mod, 4)? on ne peut

avoir / = <', et par conséquent, quand on remplace w par » ce

sont nécessairement deux racines distinctes qui s'échangent l'une dans

l'autre. De là on conclut que, pour w = /, c'est-à-dire /[^ = A'^ = -,

toutes les racines deviennent égales deux à deux. Nous vérifierons ce fait pour la transformation du neuvième ordre. Soit, en second lieu, /)EEi£i (mod. 4); comme ~ i est résidu quadratique de/;^, il y a deux valeurs de t pour lesquelles if ~ <'; ce sont celles qui satisfont à la congruence

(i6/)---- I (mod. /î^).

Désignons-les par t^ et t^ : eu faisant w = /, les deux derniers groupes se composent des mêmes racines; quant à celles du premier groupe, elles sont deux à deux égales, à l'exception de x^^ et Xt^^ dont il est facile de déterminer la valeur.

Posons, comme cela est permis.

( 99 ) a el /3 étant entiers, et par suile

Faisons, pour abréger,

et déterminons c et d de telle sorte que

ad ~ bc = i; nous avons

{ac -h bdf -h {ad — bc )- = p^{c- h- d^)^

et par conséquent

[ac + bdyEE^—i [mod. p^).

On voit sans peine que c et d peuvent être choisis de manière qu'il soit permis d'écrire

i6tt = ac -\- bdj 16/2 = — {^c + bd).

Remplaçant i6/, et 16^2 P^r ces valeurs dans les expressions de Xt^ et jTf , il vient

/ i -{- ac -h bd\ „ / i — ac — bd

Or

^ ' -, Xt —

''' ôo,o(o, /■) '■' »o,o(0, I

-\-ac-\-hd c -h di i — {ac~\-bd) c — df

p^ a-hbi^ p' — a+é/'

on en conclut

di

^ a -{-bi ,

Xt. — z } r\ ï «^ /„ — ■

/ c—di\ \ — a + 01 I

Nous nous servons maintenant de la formule de M. Hermite, rappelée au § 29. Dans le cas actuel,

a = V ----- p.0 r= Vo = o, 0 — I ,

et, en faisant

( lOO )

nous trouvons

J— ih(a -h bi] J~ ibi— a -\- hi]

les radicaux devant être pris avec un signe tel, que leurs parties réelles soient positives. Cette condition exige que nous posions

s^ — i{a -\- hi) — e 4 (a + 2/3/), s] — i[— a -\- bi)— e 4 (2/3 -h a/). D'un autre côté, en faisant

h^ étant impair, on a (*), si h est pair, et, si h est impair,

On obtient donc, si h est pair,

(*) Journal de M. Liouville, p. 29; i858.

ce qui peut s'écrire

en posant

£.2 = e On déduit de là

^0+isEO, «è„H-iE^o (mod. 4)»

^o-f-iEEEO, fl^o + iEEsa (mod. 4)?

^0 -h 1^=2, fl^o + iEEso (mod. 4)î

^0 + 1^2, «^o-r-iEES2 (mod. 4)1

et l'on vérifie ainsi que .r^p jc^, sont des quantités imaginaires conjuguées.

Si h est impair, on a

(2|3 -ha/),

ou bien

£,, êa ayant les mêmes valeurs que tout à l'heure, et l'on vérifie encore que Xt^f Xf^ sont des quantités imaginaires conjuguées.

47. L'équation du multiplicateur, pour la transformation de degré w, n étant premier et ^ i (mod. 4)> donne lieu à des remarques analo-

gues. En faisant jr = — , les valeurs de x sont

l'indice 16^ étant pris suivant le module «. En changeant w en 1

x^ et Xo s'échangent entre elles; il en est de même de Xf^t et ar,6^', les nombres t et t' étant liés par la relation

a56<^'EE^ — I (mod. n).

11 suit de là que, pour w = /, les racines deviennent égales deux à deux, à l'exception de x^6f, et x^6f^, t, et t^ étant les racines de la congrnence

[iGtY'EE^ — i (mod. «).

Le calcul de x,^^^ et x^^t^ pour w = / est facile. Posons

a étant impair et b pair ; déterminons les entiers c et cl de telle sorte que

nd — bc — I ,

nous avons

'{ac -h bdy^i^ — 1 (mod. 7î),

et, par suite, il est permis de faire

i6/, =: ac -h bd, 16/. = — iac -\- bd), d'où il suit, comme nous l'avons vu plus haut,

^, / c -{- di\ ^, / r — Hi

ou bien

9o%(o,0 ' -^or, - 9,»„(o,/j

— i6(<2 + è/) — ib [ — a-^bi]

ffj

( io3 ) Faisons

^0 étant impair, nous aurons, dans tons les cas,

En substituant, il vient, après quelques réductions faciles,

^.6., = (--t)' [n-i-hî), x,e,^ = (-i) ' [a~bi). Supposons, par exemple, n = 5, on a

el par suite

Xo = I H- 2i\ .r. — I — 2/;

l'équation relative au cas actuel est (§ 34)

{jc — \Y {a: — 5) 4- 256k- k'jc = o.

En faisant k- = k'- = -» nous trouvons

(jT — 1/ (x — 5) + 64^: = [{jo — i)- + 4] {«■^"" — 4*^ — i)'-

Deux des racines sont égales à i dz 2 /", et les quatre autres sont égales deux à deux.

48. Nous terminerons ce travail en appliquant à l'équation du multiplicateur relative à la transformation du neuvième ordre les résultats qui précèdent. Cette équation est la suivante :

Ses racines correspondent aux différentes décompositions de 9 en

( ïo4 )

deux facteurs. Faisons

Nous avons t = Oy et, d'après ce qui a été dit au § 11, nous pouvons poser

donc

* — * sinam-i^ —

^ 3 Qo.o(o^9") TT

"^ 60.0(0, w) Al

4^K j = isincoam - —

Nous avons ^=0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; il est permis de poser

i6fK-+- /K'

donc

5o,o(o, — 1 ) ^-* sinam4-y ^

'^ 60,0(0, w) Ai . , i6rK -f- /K'

^ ' .v = isincoam4*

Nous avons t — i, a; de plus,

et par suite

/,\ 6u,o-o, wH — ~) *-* sinam4*

, i6tK-h3iK' j==ismcoam4* -

Les relations entre les racines se présentent dans le cas actuel sous une forme très-simple. Conformément aux notations employées précédemment, nous devons poser

Ao^0.o(o,Co) = I + 29''+ 2^'-'-'+ 27«'» -+-...,

■{9-hhy

de plus,

Aa ôo,o (O, CO) = 2^9 + 279""' ■ H- 299

h étant l'un des nombres i, 2, 3, 4; en particulier,

et l'on a

Aq + A3 1 .

nous avons

Considérons d'abord les six racines ûCi pour lesquelles t n'est pas divisible par 3; en posant

= x\.,a 4- Aga* H- A4a\ = A, «- H- Aaa* H- A4a% = A, a^ -f- Aa»^ H- A^a, = A, a^ + Aja^ 4- A4a% = A,a' + A2a 4- A4 a*, = A,a* 4- Aa»^ 4- A^a^

et nous en concluons im

nédiatement ces relations très-simples

jr^ — i = a,^[jCt — i),

cx.^(x, — l),

Xç

Le second groupe de racines se compose de oc^^ x^^ x^ avons

JTa — I = (A, + Aa 4- A4) a',

nous

et par suite

^3 — I = a'(jr, ~ i), x^ — \ = cf.\x^ - 1).

( -06 ) Erjfin le dernier groupe contient les trois racines j"^, .x^'\ jc'-^ : on trouve

et, en tenant compte de ce que

il vient

ce qni donne

Ao + A3 = I,

jc^ 1 =^ 2A0 A3,

.r'*' ~ ! = (2A0 — >3)a'', jc^^^ 1 — ( 2 A 0 — A3 ) «%

Telles sont les relations qui existent entre les racines. En remarquant que a' est une racine cubique de l'unité, on voit que (a* — i)' n'a que quatre valeurs, et par conséquent doit être racine d'une équation du quatrième degré. Effectivement, l'équation considérée peut s'écrire

^ [{œ - ly - 8](x - if H- 2'k'k'' [{x ~ l)^ + l] =r o, et en posant

il vient

2'(z - 2) + AU-'2(4.z + i) = o.

Les valeurs de z sont

Y^{jc^ — iy\ ^(Xo— i)% 7-(x, — i)*, 7-(jr2— ij';

( 107 ) désignons-les par

Jes invariants sont

1 = i2kH'\

J= ~ ik'h'^ii -f-4P>t'V.

On en conclut, pour la valeur du discriminant,

r-i'jP= - io8k*k"{k''— k'-)';

il est nul pour /.^ = k'^ = -•, on trouve, dans ce cas,

4z'(z — i) + /|2 + I = (ai= — iz — i)-,

et, par suite, les racines deviennent égales deux à deux, comme nous l'avions reconnu a priori.

Outre cette valeur du module k^=z-i qui correspond à « = /, il

est naturel de considérer celle que l'on obtient en prenant u racine de l'équation

on a alors

ou bien k'^k'- = î : cette valeur de k^ permet la multiplication complexe. L'équation devient

l'une des racines est z = — i, et les trois autres dépendent de l'équation

Ajoutons enfin qu'on peut prendre pour réduite l'équation

/^6' -lô -f- J=r:0,