J. II

( 74 ) On change A: en -5 et en même temps x en '-r\ il vient

D'après la propriété établie au § 29, les racines de cette nouvelle

équation sont les diverses valeurs de — > et par suite elles sont toutes

nulles, quand on suppose ^=0. Il résulte de là qu'en ramenant le coefficient du premier terme de l'équation précédente à être l'unité, ce qui se fait en multipliant par k^, tous les termes, à l'exception du premier, doivent disparaître pour k -- o. Soit donc

(Ao -h A,P^'2 + k^k'k" -\- ...^ kHk''n'-"')xs un terme de F(A^^'^, x); l'équation (i) contient un terme

__ I^Ao -h A, -^,- + . . . + A, S^*^ J ""' 5 il faut que, multiplié par k^^ il disparaisse pour k~ o. Cela exige que

ou bien

donc, dans f'(PX:'^, x)^ le terme de degré le plus élevé est du degré V— 6; son coefficient est une constante, et il en est de même pour les trois termes qui suivent; puis de quatre en quatre les degrés des coefficients par rapport à k"^ k'^ augmentent d'une unité. On peut donc poser

¥[P k"", x) - kx"-^ -h Bjc^-' 4- Cx"-^ -f- Dx^-«

-I- (A'-f- k\kn'^)x'-'' + (B' + b;F^'2)x^-'' -h....

Nous avons à faire ici une remarque tout à fait analogue à celle qui s'est présentée dans la formation de l'équation modulaire (§26) : nous nous servirons des notations déjà employées. A une décomposition

de n en deux facteurs n' et n" correspondent des valeurs de — en

nombre p : dans le voisinage de ^ = o, elles sont développables en

(75) séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de ^, et en se bornant au premier terme on a

«" — I n" — n' Si-iit II

Cela posé, considérons l'équation (i), qui admet pour racines les

diverses valeurs de — > et ramenons son premier terme à avoir pour

coefficient l'unité, en se rappelant les notations du § 26; nous pouvons énoncer les résultats suivants :

1° Le produit des premiers termes des n racines de degré - par rapport à k donne le terme de degré le moins élevé en k^ et qui ne peut se réduire avec aucun autre dans le coefficient de x^~" . Ce terme est - 4"-' k,

2" En multipliant 4"~' ^ par les premiei*s termes des /?, racines de

degré ^j on obtient le terme de degré le moins élevé en k^ et qui ne

peut se réduire avec aucun autre dans le coefficient de x'~^~^^. Ce terme est, au signe près,

3** Ce nouveau produit, multiplié par les premiers termes des /^a racines de degré -}•, donne le terme de degré le moins élevé dans le coefficient de x^-^~p~P'^, On trouve ainsi, abstraction faite du signe,

4 "' "' nP^nP^k "^^

Appliquons cette remarque à la transformation du cinquième ordre. L'équation qui a pour racines les diverses valeurs de — est la suivante :

{x — lY" (j: — 5) + kk^k'^x = o;.

en changeant k en v et a? en -r pour avoir l'équation dont les racines

sont les valeurs de — > il vient M

{x — k]^ {pc — Sk) -V- k {k- — i) lix ~ o.

On a donc A — 4\ et l'équation aux inverses du multiplicateur peut s'écrire

[x — lyix— 5) + ^ibÇik^k"^ X ~ o.

35. On peut aller un peu plus loin. Reprenons l'équalion (i) pour laquelle ^ = —5 et considérons pour fixer les idées les/?2 racines de degré -# : réduites à leurs premiers termes, elles sont données par la formule

Divisons les racines par ^"2, en posant

X = Xo k^ :

pour ^= o la nouvelle équation a n +/?< racines infinies, p^ -+-p^ -f- . . . + 1 racines nulles, et /^a racines comprises dans la formule

L'équation (1) ayant été préparée de manière que le coefficient de

son premier terme soit l'unité, supprimons, après la substitution de

'Il XoA«j à la place de x, le f;icteur

iv — n—p,) — k "'

et faisons A = o dans le résultat, les n H- pt premiers coefficients, et les p3 -^ Pa -^'---i- i derniers doivent être nuls; et, en laissant de côté les racines nulles, il reste une équation du degré /Jo en x^, dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x^ est donné, et dont les racines sont connues a priori: ce sont celles de l'équation V^ix) = o

Il II I

du § 27, multipliées par le facteur constant (— i) ^ n^h "" • La comparaison des deux polynômes fait connaître les valeurs de quelques-uns des coefficients intermédiaires de l'équation cherchée.

36. Nous avons «à faire des remarques analogues lorsque «eeee3 (raod. 4); l'équation aux inverses du multiplicateur se met alors sous

la forme

k"'J\x) + k''f{—x) H- k^h'^x''F{kH'\ x^)

H- (A-2 - k''')kn'''xF^ {Pk'\ ^2) = o. Remarquons d'abord q\ief{x) ne confient pas de terme de degré v ~ i .

On sait, en effet, que pour ^ = o les valeurs de tj sont (-- i) ^ n\ chacune étant prise autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre //" ( I — -) ( I — t) •••» ci^ b,... désignant les facteurs premiers com-

muns à n' et n". Leur somme est donc égale à l'expression

dans laquelle le signe 2 se rapporte à toutes les décompositions possibles de n en deux facteurs. Or on a

car, d étant un diviseur de n moindre que sa racine carrée, et posant

n = dû, les décompositions s'accouplent deux à deux de la façon

suivante :

Dans les deux cas le facteur ( i — -| (i — t)"- est le même, tandis

que (— i) ^ et(— i) ^ sont de signes contraires, puisque le produit d^ est de la forme lip + 3. Il suit de là que la partie de la somme considérée qui se rapporte à ces deux décompositions est nulle; la somme elle-même est donc dans le même cas. Il suffit maintenant de se rap-

{ 78 ) peler que l'équation fi^oc) = o donne les valeurs de — pour ^ = o, et

l'on conclut de ce qui précède c\\itj(x) ne contient pas de terme de degré v — j .

Gela posé, changeons dans l'équation aux inverses du multiplicateur ^ en -r et j: en -> il vient

Cette nouvelle équation a pour racines les valeurs de — ? qui sont

toutes nulles, quand on suppose A: = o. Il faut donc qu'en multipliant par /l^ le polynôme précédent, et faisant ^ = o dans le résultat, tous les termes disparaissent à l'exception du premier. Or cela exige que dans F{k^k'^, x^) le terme de degré le plus élevé soit du degré v — 8; son coefficient est indépendant de k^k'\ et il en est de même pour le terme suivant. Puis de deux en deux les degrés des coefficients par rapport à k^k'^ augmentent d'une unité. Le polynôme F,(F^'% x^) est dans le même cas. On peut donc poser

F{k^k'\ x^) = kx^-'-i-Bx^-'^+ik'-h \\k^k'^)x''-''

-^{B'-hB\k^k'^)x''-*''-h..., ¥,{k'k'\ x^) == Cx^-*+ Dx^-^"-l- (C'+ C\k^k")x'-'' -^(D'+D\k^k'''}x''-'*-i-....

En particulier, pour « — 3, ces deux polynômes manquent complètement, et l'équation demandée est

k"{x 4- i)^ (x - 3) -}- F (x - i)Hx --h 3) = o;

pour w = 7 les deux polynômes se réduisent à leurs premiers termes, et l'équation se présente sous la forme

k'^(x-hiy{x - 7) -4- ^2 (^ ,)T(^ +7)4- kk'k"x'

-\-C{k'-k"')kH'''x=:o.

On peut encore ici, comme dans le cas précédent, déterminer immédia-

( 79) lement un ou plusieurs des coefficients, suivant que « est premier ou ne l'est pas, en faisant usage des premiers termes des développements

en séries des valeurs de — • Nous ne reviendrons pas sur cette considé-

ration qui a déjà été développée. Par exemple, pour tz = 7, on trouve ainsi C = — 2'^; il n'y a donc plus que le seul coefficient A qui soit inconnu.

37. Il nous reste à indiquer brièvement comment, dans chaque cas particulier, il est possible de calculer les coefficients que les considérations précédentes ne donnent pas. Sohnke a indiqué deux méthodes qui peuvent être employées dans le cas actuel. Rappelons que les valeurs de M sont données par la formule

posons ^ =: e'^"; il faut développer en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de q les valeurs de M. Or on a

On en conclut

Voici maintenant en quoi consiste la première méthode. Soit

M^+ C,M^-' + C2M^-2-f- . . . = o l'équation du multiplicateur; on prend une des racines, et il y aura

avantage à choisir la suivante :

n Ôo,o(o, «w) '

on la substitue dans l'équation précédente, et en même temps on remplace A;^ et k'^ par leurs développements en séries. Puis, ordonnant le résultat suivant les puissances croissantes de q^ on égide à zéro les coefficients des puissances successives : on obtient ainsi des équations linéaires entre les coefficients cherchés. Il faudra pousser le développement en série assez loin pour avoir un nombre suffisant d'équations.

38. La seconde méthode prend pour point de départ les relations qui existent entre les coefficients d'une équation et les sommes des puissances semblables des racines. En représentant par S^ la somme des puissances/?'^'"" du multiplicateur, on aura

S2 -f- Cf S, -y- 2C2 ^= o,

Sg -f- Ci S2 + C2S, 4- 3 C3 = 0.

On remplace dans ces équations S,, S2, Ss,.-*» I^^i k'^ parleurs développements en séries, et, après avoir ordonné le résultat de la substitution suivant les puissances croissantes de q, on égale à zéro les coefficients des différents termes. On obtient ainsi des équations du premier degré par rapport aux coefficients que l'on cherche. De cette manière les coefficients qui entrent dans C^ G2, C3,... sont déterminés séparément.

Nous allons appliquer cette méthode à la transformation du septième ordre. L'équation qu'il s'agit de former peut s'écrire (§ 36)

En faisant x = t-,t i\ vient

7M«-h (A'2-F) (48 - 2<*A2A'-jM' -+-(140- A^'^A'^) M^-+- . . . =0;

il n'est pas nécessaire de prendre les termes du degré supérieur au pre-

(8, ) mier par rapporl à q; on a donc

k^ — i6q -i- . . , k'^=^ i — i6q -h..., et par suite

Co = 20 a 4- . . . .

D'un autre côté, en faisant usage des résultats donnés (§ 37), on trouve

S» == (^ -7 + 7- 7»49- ••) (14-47 + •••)==- y + y679. So = ( — -+- 7 — 7 . r 3 1 20çr . . . j ( I + 8 ry -}- . . . )

•=yr-(7-i3i2o- — iij,y + ....

On substitue dans l'équation

Sa -h C, S, 4- 2C2 = o ;

les termes indépendants de q se détruisent, et, en égalant à zéro le coefficient de ^, il vient

d'où l'on conclut

L'équation demandée est donc

A'%r-hi)'(^-7)4-/l=^(^-i)'(a: + 7)~A'"'A'»[2i 2''x»H-7"(A»-A'-).r]=o.

J. . la

39. Une observation importante doit ici trouver sa place. En représentant les fonctions Q comme nous le faisons maintenant, nous avons (§ 15) l'équation

s = 'Lzl / m + m' w

2 Oi.o '2S 9 W

et, d'autre part (§ 18),

"-* '' m -h m' ai

2 0,,,['2,s JW

//2 -f- fJl M

Dans cette dernière formule, p,' est l'un quelconque des entiers inférieurs à n et premiers avec n^ irio est un nombre fixe premier avec //' et satisfaisant à la condition

njf) = p,«' -h i6t,

dans laquelle fJi est un entier. Cela posé, définissons sJM par l'équation

m -h /Il «

rrr __ \ n J y-j- sin co am 4 *ct

. m -h m M i Go,, ( 2J 5 &)

(83) nous aurons

On voit donc qu'à une même combinaison n\ n", t correspondent en général deux valeurs de \Jm égales et de signesxontraires suivant que

le symbole ( — ] représente +1 on — i. Cette circonstance montre

qu'il n'y a pas lieu de chercher, dans le cas général, une équation dont les racines soient les valeurs de y/M ; mais, lorsque le degré n de la transformation est un carré, on a, pour toutes les valeurs de |j.',

et, par conséquent, à une combinaison «', n'\ t correspond une valeur de y/M toujours la même, quel que soit celui des ^[n) systèmes correspondants de nombres 772, 772' que l'on choisisse. On peut donc répéter les explications données au § 21 et prouver l'existence d'une équation de degré v, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de P, admettant comme racines les diverses valeurs de \/M.

40. Nous allons indiquer brièvement le moyen de former cette équation. Remarquons d'abord que, n étant un carré, nous avons

Si n' est un carré, il en est de même de tî^', et il vient

Supposons maintenant que n' ne soit pas un carré; n' et n" ont alors des facteurs premiers communs. Désignons-les par a, b, c, . . . , et posons

v' et v" étant premiers entre eux, et par conséquent des carrés. On sait qu'on doit prendre pour t tous les entiers inférieurs à n" et non divisibles par a, bf c,. . . ; leur nombre est

Distinguons maintenant, parmi les facteurs a^ b, c,. . . , ceux dont les exposants sont impairs, et, pour fixer les idées, supposons qu'ils se réduisent à deux, a et b-, nous avons

i«"-4- l6A /y.7i"H-i6r\ n j \ ah }

et, comme rf est divisible par at\.b tX. que i6 est un carré, il vient

Nous avons donc

y/M \ab) ^ e,,o(o, w)

Il est actuellement facile de voir que, parmi les/? symboles f-r)» il

y. en a la moitié égaux à -+- i et l'autre moitié égaux à*— i. En effet, désignons par t un quelconque des entiers inférieurs à abc. . . et premiers avec ce produit; t peut recevoir [a — i) (6 — i)(c — i)... valeurs, et les nombres t se partagent en [a — i){b — i) {c — i)... progressions arithmétiques, dont la raison est abc..., contenant chacune a""*'"* èP-P'-< c^~t^'-*...x v" termes, et ayant respectivement pour premiers termes les diverses valeurs de r. Or tous les termes d'une

même progression font prendre au symbole i—r] la même valeur; il suffit donc de s'assurer que les entiers t, pour lesquels ( -^ J = h- r , sont

en même nombre que ceux qui donnent (-t) = — r; mais on sait

que chacun des entiers t est défini par un des (a — i){b — i){c — i)... systèmes de congruences

T^tf, (mod. a), x^^b^ (mod. ^), x^c, (mod. c), ...,

( 85 ) fl, étant l'un des nombres i, 2,..., a— i; b^ l'un des nombres i, 2,..., b — i; c, l'un des nombres i, 2,..., c — i,.--? 6*» d'après cela, en se rappelant que, parmi les nombres «,, il y a autant de résidus quadratiques de a que de non-résidus, qu'il en est de même des nombres b, à l'égard de Z?, on voit immédiatement que les entiers t satisfont à la condition énoncée, et que par conséquent il en est de même pour les nombres t.

On conclut de ces observations les valeurs de-=: quand on suppose

A = o : par exemple, si tz = 9, il y a neuf valeurs égales à l'unité, une égale à 3, et deux autres qui sont ± / v^3.

41. Posons jc = -p= et soit F(.r, P) = o l'équation demandée, dont

les racines sont les valeurs de -=•, elle jouit des deux propriétés suivantes :

I. Si l'on change k en-r^ V équation F( jr, — ] = o, à laquelle on parvient, a pour racines les diverses valeurs de — — .

II. Si l'on change k en k\ l'équation F(x, k'^) = 0 conserve les mêmes racines.

On peut les démontrer de la même manière que les théorèmes correspondants relatifs à l'équation du multiplicateur.

Comm.e M ne peut être ni nul, ni infini pour aucune valeur finie de k, en supposant le coefficient de la plus haute puissance de x égal à l'unité dans l'équation F(x, k^) = o, le dernier terme est indépendant de k, et tous les autres coefficients sont des polynômes en tiers en P. Ils demeurent invariables quand on change k^ en k'^, et par conséquent ils ne dépendent que du produit k^k'^. De plus, pour k = o, les valeurs de jc sont connues, et par suite il est facile de former le polynôme /(j:), auquel se réduit F(:r,P) quand on suppose k nul. D'après cela, l'équation cherchée peut se mettre sous la forme

f{x)-{-k'k'^xV{k'k'%x) = o,

F [k}k'^ ^ x) étant un polynôme en k'^k"^ et x^ dont les coefficients sont encore inconnus. Par exemple, pour n = 9, on a

Afin de déterminer d'une manière plus précise la forme de F (k^ k'^jx), changeons k en -et x en "if = '—', les racines de la nouvelle équation

sont les diverses valeurs de -p::^» et, par suite, elles sont toutes nulles

pour ^ = o. D'après cela, multiplions par 11}^ le polynôme précédent; en faisant u = o, tous les termes doivent disparaître, à l'exception du premier. Soit donc

(Ao + A^k^k'^ -hk^k'k" -t-...H- A^k^'^'k'"'^') x^ un terme de F(PA'^, x); l'équation (i) contient le terme

Il faut que, multiplié par u^^ , il disparaisse pour m — o; cela exige que

ou bien

Donc, dans F (A^^'^, .r), le terme de degré le plus élevé est du degré V — 10*, son coefficient est une constante, et il en est de même pour les sept termes suivants, puis de huit en huit les degrés des coefficients par rapport à k'^k"^ augmentent d'une unité. Par exemple, pour w = 9, l'équation prend la forme

{x^^ ^?>)(x ~ 3) (a?- \Y +kH'''x{A,x''^A^x-^A^) = o,

Ao, A,, A2 étant des constantes.

(8?) 42. On peut toujours déterminer a priori quelques-uns des coefficients. A une décomposition de n en deux facteurs n' et n" corres-

pondent des valeurs de — en nombre /?; dans le voisinage de u = o,

elles sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de w, et eu se bornant au premier terme, on a

1 n" — n' txiTtt in'

= zi ^ 2 « ^ti'e " u

s étant égal à -f- i , s\ n' est un carré, et, dans le cas contraire, égal à ( -r ) 5 où a, b désignent les facteurs premiers de iil affectés d'exposants impairs (§40). Cela posé, considérons l'équation qui admet pour

racines les diverses valeurs de -=.5 et ramenons son premier terme à

avoir pour coefficient l'unité; en faisant usage des notations du § 26, nous pouvons énoncer les résultats suivants :

1° Le produit des premiers termes des n racines de degré - par rapport à vi^ donne le terme de degré le moins élevé en u et qui ne peut se réduire avec aucun autre dans le coefficient de x^"^ ; ce terme est — 2"~' iv^ . Ainsi, lorsque n = 9, on trouve Ao = 2^.

2° En multipliant 2"-* u^ par les premiers termes des />, racines de

degré -^5 on obtient le terme de degré le moins élevé en «% et qui ne

p^ut se réduire avec aucun autre dans le coefficient de x^~"~''k Ce terme est, au signe près.

Si 71 = 9, on doit poser 7i\ = 7i\ = 3, pt = 2, et l'on trouve Aj = 2" 3. Pour aller plus loin, la première chose à faire est de former une équation cp[a:) — o, de degré /?, dont les racines soient les p expressions

correspondant à une même décomposition 71 = n^Ti". Si ti' est un carré,

( 88) on a e= r, et la formation de f{œ) se fait sans difficulté. Dans le cas contraire, on doit, pour obtenir (p{jc), recourir à la théorie des équations binômes. Il n'est peut-être pas inutile de remarquer qu'il résulte de notre théorie que, l'équation cp{x) = o étant formée, si l'on mul-

tiplie ses racines par le facteur / ^ 2 "" ^n\ les coefficients de la nouvelle équation sont rationnels.

Soit, par exemple, « = 9; on a

et par suite

jc ~ e ^ ) \jc -i- e "^ j = x' -{- /\/3.r — i ,

On multiplie les racines par /\/3; il vient

Montrons encore, sur un cas plus compliqué, comment il est possible d'obtenir ^(jc). Prenons « = 3^ 5^^ et n' = n" = i5. On sait que

e "" représente les racines primitives de l'équation jc*'^ — i = o, et, d'après Dirichlet, les deux équations

2JC* — a:^ — liX^ — JC -h 2 — i>Jï5{a.^ — ^) = o, 2jr' — jc^ — ^x^ — X -h 2 -h i\li5{œ^ — x) = o

ont respectivement pour racines les expressions e '^ pour lesquelles On change x eu ~ x dans le second polynôme, et l'on a

f{x) = [2X^ — ^X^ -\- 2 — /Vl5(x' — -^)]^— (^^ ■+■ Xy,

en formant le produit des deux expressions. 11 n'y a plus qu'à multiplier les racines par le facteur — i\/i5.

*) Forlesungen ûber Zahlenthcorie,p. 365.

Cela posé, désignons, en général, par ^{jc) = o l'équation dont les racines sont les/? quantités

rt"— T n"—n' l^i-Kt

et reprenons l'équation qui donne les valeurs de -=■ divisons ses ra-

cines par u "", et faisons u = o dans le résultat. Parmi les racines de la nouvelle équation, les unes sont infinies, les autres nulles : supprimons-les, il reste un polynôme de degré/?, dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de x est déjà connu, et qui, égalé à zéro, donne les mêmes racines que l'équation ^{x) = o.

La comparaison des deux expressions fait connaître immédiatement quelques-uns des coefficients de l'équation cherchée.

Appliquons cette méthode à la transformation du neuvième ordre; nous obtenons l'équation

Aq ^" 4- A , j: -f- A 2 = o.

Or

et, comme A^ = 2*, il vient

et l'équation demandée est la suivante :

Quapt aux coefficients que les explications précédentes ne donnent pas, on pourra les obtenir par l'une des deux méthodes exposées précédemment.

43. Parmi les équations qui se déduisent de celle du multiplicateur, il y en a une qui nous semble mériter une mention spéciale : nous

voulons parler de l'équation qui donne—? ou mieux, si le degré n J. i3

de ]a transformation est un carré, -^' Remarquons d'abord que les

valeurs de p et de sjM donnent

-^ = u" T\ sinam4*w = « TT „'// s* D'un autre côté nous avons (§ 17)

II' \ 2/'-i ' i-i . \(Sc

en posant a = e « ; de plus,

I — qy

"^3(o) = ^^sn^

et par suite

Mais nous avons aussi (§15)

L i II' \v

et, en multipliant ces deux dernières équations Tune par l'autre, il

(9- ) vient

«VaI \«/ \«/ \«' / ' 2-!- '"'

Il suit de là que, en changeant w en - dans la valeur de — =) on

obtient l'une des valeurs de — ^- Ces deux expressions qui se

transforment l'une dans l'autre appartiennent à la même décomposition de n en deux facteurs ri et «", mais non pas au même

nombre t\ si — = correspond au nombre t, l'expression — =? dans

laquelle elle se transforme, est relative kit. On a vu que, en mettant

j à la place de k dans l'équation qui donne — > on a une équation

dont les racines sont les valeurs de t^? et, de plus, on sait que le

changement de w en - revient à remplacer k par — ^- Il suit de là

que, en écrivant — =- au lieu de k dans l'équation F(jc, P) = o qui

donne — » on en forme une nouvelle dont les racines sont les v valeurs M

Il est clair que, si le degré n de la transformation est un carré, on se servira de l'équation F(x, ^^) = o, dans laquelle x désigne -L, et, en

y remplaçant k par ^— -=r- ou plutôt k'^k'^ par ^ (l ~ '^) ' °" ^"^^

celle qui admet pour racines les diverses valeurs de — -=.' En apoli-

quant ce résultat à la transformation du neuvième ordre, on trouve l'équation

(a;=^ + 3) (a; - 3) (x - i)» - i6 (l ~ /tVx (^2 ~ 3a; -t- 3) = o.

44. Jacobi a énoncé, dans ses Notices sur les fonctions elliptiques (*), une propriété remarquable des racines de l'équation du multiplicateur, lorsque le degré n de la transformation est un nombre premier.

Des relations analogues se rencontrent quand n est un nombre impair quelconque. Nous allons le montrer, en nous limitant au cas dans lequel n est le carré d'un nombre premier p. Nous avons vu

que les valeurs de -=: sont alors les racines d'une équation de degré

p^ -h p, dont les coefficients sont des polynômes entiers par rapport à k^k'"^. Elles correspondent aux diverses décompositions de n en deux facteurs; nous les représentons de la manière suivante :

/y» 'W •»« or» "y 1 'y>(0 'K"(") 'y>(/'"~')

■^00» "^0) «^O '^a» •••> '*'p—\^ '*' > cA. , •••, «*-

On obtient la première en faisant

on a

Les />* qui suivent se trouvent en posant

on a

Enfin, les p — i dernières sont relatives aux hypothèses n' = n" =^ p, t = i, 1^..., p — j;

(*) Journal de Crelley t. III, p. 3o8.

(93) elles sont données par la formule

P— ' Oo,o |0, w H

Cela posé, q étant égal à e'^", on sait que

faisons

Ao5o,o(o, w) = Qo,o{o, p'^oi) = I + 2qP'-]-2q*P'-h.. , il vient

En désignant e p' par a, nous avons

et comme, / étant un nombre entier, on a nous poserons

H- 27^ +27^ -+■ 2qf^ -f-...,

^ pouvant recevoir les valeurs i, 2, 3,..., ^ • D'après cela, le coefficient de a*', dans la valeur de ûCt, est A^. Tl y a lieu de distinguer les valeurs de h divisibles par p; ce sont les suivantes :

p, ip, 3/?, ..., ^-^p, il vient

Ayp5o.o(o, w)= iqj'^ 2q^P-J^'-h iq^P-^^^' ^ 2q^^P-J^' -h ....

et l'on reconnaît sans peine que

Afl + Ap -\- A On "H • • • ~f~ An — I = I .

( 94 ) On conclut de là, en supposant d'abord t non divisible par p,

la sommation se rapportant à tous les entiers h non supérieurs

a et premiers avec p. Il est important de remarquer que le

nombre des coefficients A^ qui figurent dans cette expression est

précisément la moitié du nombre des racines x^ pour lesquelles t n'est pas divisible par/?. Ces racines elles-mêmes sont données par les équations

leur nombre est p[p — i), et elles se trouvent exprimées linéairement par d'autres quantités dont le nombre n'est que Zl^iZlli. La racine de l'unité a qui entre dans cette formule est égale, comme nous l'a-

vons dit, à e ^' .

Dans les expressions des autres racines ne figurent plus que les racines p'^'"" de l'unité. L'entier t étant divisible par /?, on le remplace par/?/, et il vient

ITT

Les nombres h qui se rencontrent dans la sommeN A^a''' se par-

JLUh

tagent en groupes, celui de rang g étant formé des entiers

ë^ P-§^ P-^S^ ^p-8^ • -, ^^P + ë^ ^-^P-ë^ ^~P Remarquons, en outre, que

(95) et en posant

nous obtenons

Il suit de là

^0 — I = Bj + Bo + . . . + B^, , ,

et en général

j?,^ — I = B, a + B2 «"* + .. -f- B/,, a^ ^ ^ . Ainsi les p racines

peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de quantités, qui dépendent elles-mêmes des — coefficients déjà introduits.

Il nous reste à considérer les /; — [ racines qui correspondent à la décomposition n' =^ n" = p. Nous avons

et par conséquent

00,0 (o> w + — j = I H- 2c/a -h 2{qay -h 2(^a)'*H- ...,

ou bien, en tenant. compte des notations dont nous nous sommes servi précédemment,

o, w H ]~ Oq.Jo, a) Ao4- A„a + A2„«*-h Aa^a^H-...

0,0 1 ^) ^ -I — — VQ.o \."> ^; I ■'»o^^ '^p

on en déduit

A ces p — i racines il faut joindre la première

•^cc ^-^ p • 01

et, en se rappelant que

A 0 + Ap H— A 2p ~1~ ■ ' • ~\~ Jy-p — i ^^= ' i

on voit que les p racines

sont des fonctions linéaires d'autres quantités dont le nombre est seulement ^- Ainsi, en résumé, dans les expressions des p"^ + p racines,

ne figurent en dehors des racines de l'unité que — quantités , dont

elles sont des fonctions linéaires.

45. Il n'est peut-être pas inutile d'observer que, au point de vue où nous nous plaçons ici, les^'^ + z? valeurs de oc se partagent en trois groupes. Le premier en contient p^ — p : ce sont les racines jCt pour lesquelles t n'est pas divisible par /;. Les deux autres en renferment chacun p, savoir

d'une part, et d'autre part

Ajoutons que ces deux derniers groupes s'échangent entre eux, quand

on remplace w par Nous le reconnaîtrons sans peine en partant

de l'expression suivante de.r (§ 39) :

•^ AA / m-hm'oi \ , / m -+- m' oi

(97) On se rappelle que les entiers 772, m' sont liés à n\ 72", t par les relations

m' = pin',

m = iLn" -h i6^p/,

ix' étant premier avec n'\ et ^i devant être choisi de telle sorte que m et II' n'aient aucun facteur commun. De plus, on a vu (§ 13) que l'expression jn -h m' oi qui entre dans la valeur de x peut être remplacée parcelles qui s'en déduisent, en la multipliant par les entiers inférieurs à «et premiers avec/i, le résultat étant pris suivant le module n. Rappelons encore la propriété établie (§30) : quand on change w en ,

la nouvelle valeur de x se déduit de l'ancienne, en y remplaçant

772 4- 772' w par — 77z'-t- /ntk), et multipliant le résultat par e 4 .Dans

— ITC

le cas actuel, n étant un carré, on a e 4 = i .

Cela posé, il est facile de s'assurer que les deux groupes dont nous parlons s'échangent entre eux. Remarquons d'abord queXoo devient jTo et vice versa ; car, pour ces deux racines, les valeurs de m-\-m'oi sont respectivement i et w ; et, d'après ce que nous venons de dire pour

effectuer le changement de œ en , nous devons mettre, à la place

de I et co, 0) et — i, qui font prendre à jc les valeurs or^ et JCao . Considérons maintenant les deux racines x^^, x'^^'^i pour la première