L. ZORETTI

À : s R ; Considérons ceux de ces points pour lesquels on a r2 Prenons-en

un au hasard. Traçons le cercle qui lui correspond; prenons-en un autre sur ce cercle ou à son extérieur, traçons le cercle qui lui correspond et ainsi de suite. Nous tracerons ainsi un nombre fini de

; ae a AR cercles car les distances de leurs centres sont toutes supérieures à = Pour tous les points de C qui ne sont pas intérieurs à un au moins

re LI sen d’entre eux le nombre 7 est imférieur à Le Considérons ceux pour les-

quels il est ? ; + Opérons de même pour ces points. En considérant ainsi on successivement ceux des points restants pour lesquels le nombre 7°

l'ae2 Al R “ Q .

est supérieur à = =; ::: nous obtenons à chaque fois un nombre fini de cercles et par suite une infinité dénombrable de cercles. Tout point

intérieur à Cn'appartenant pas à E est intérieur à un au moins d’entre : : : NE Re eux, car si le nombre 7° qui lui correspond est supérieur à Te il ne

peut être extérieur aux cercles qui se trouvent avoir été tracés après la rime opération. D'ailleurs, un point de E ne peut être intérieur à aucun de ces cercles. Donc l’ensemble des points restant se confond avec E.

Inversement, si l’on exclut d’un cercle C les points intérieurs à un des cercles d’une infinité dénombrable de cercles, l’ensemble restant contient son dérivé, car si un point est exclu 1l en est de même d’un certain entourage de ce point.

2. Cette démonstration appelle plusieurs remarques. D'abord nous pouvons répéter l'observation faite par M. Borel dans le cas des ensembles reculignes sur l'étendue de la restriction que l’on apporte à la notion d'ensemble en se bornant aux ensembles fermés. En second lieu, il y a un rapprochement intéressant à faire du théorème précédent et de celui qui a été démontré par MM. Volterra et Poincaré (!) sur les fonctions analytiques. Dans le cas des fonctions uniformes ce

(*) Poincaré, Rendiconti di Palermo, t. II. — Vorrerra, Atti dei Lincei. Rendiconti, t. IV.

théorème nous apprend qu'on peut tracer une infinité dénombrable de cercles contenant à leur intérieur les points réguliers de la fonction et à leur extérieur ou sur leur contour les points do Mais il ne faut pas conclure à l'identité des deux résultats pr ae car un ensemble fermé quelconque ne peut pas toujours constituer l’ensemble singulier d’une fonction uniforme. Il suffit, pour s’en persuader, de considérer l’ensemble des points situés sur trois cercles concentriques. On peut penser qu’en considérant plusieurs fonctions analytiques on arrivera à démontrer notre théorème; cela est probable, mais il faudrait alors en considérer une infinité dénombrable et, d’autre part, supposer connu le théorème analogue relatif aux ensembles rectilignes. Il est évidemment plus simple de procéder directement,

3. Je m'attacherai surtout à la distinction entre les ensembles parfaits continus et discontinus. Un ensemble fermé étant égal à un ensemble parfait augmenté d’un ensemble dénombrable (*), il est bien naturel de se limiter aux ensembles parfaits. D'ailleurs, si l’on raisonnait sur les ensembles fermés, on n’exclurait pas le cas des ensembles dénombrables et il pourrait en résulter une gêne dans les démonstrations.

M. Cantor appelle continu un ensemble parfait bien enchaîné (zusammenhängend), c'est-à-dire tel qu'étant donnés deux points de l’ensemble et un nombre €, on peut trouver une succession de points de l’ensemble, contenant ces deux points, tels que la distance de chaeun au précédent et au suivant soit inférieure à €, et cela quel que soit €. Si, pour deux points au moins de l’ensemble, cette propriété n’a pas lieu, l’ensemble est mal enchaîné. Un ensemble parfait mal enchainé est dit discontinu. Nous dirons qu’un ensemble parfait est partout discontinu quand la propriété précédente n’a lieu pour aucun couple de deux points.

Un continu est dit superficiel quand il contient des points non frontières, c’est-à-dire des points dont un certain entourage appartient à l'ensemble; il est {néaire quand tous ses points sont frontières. Ce n’est pas ici le lieu d'étudier les rapports entre les notions vulgaires

(*) Benpixson, Acta mathematica, LL,

ô L. ZORETTI.

de ligne et d'aire et les notions d’ensembles continus linéaires ou superficiels. Les travaux de M. Cantor ont montré que, si le continu et le discontinu peuvent, par la notion de puissance, se ramener « à une commune mesure », leur distinction permet d’élucider la notion ordinaire de continu et que ce n’est là « ni une idée indécomposable, ni une intuition & priori ». Je m'autoriserai de ces travaux pour appeler ligne cantorienne où même ligne un ensemble continu linéaire.

Je démontrerai d’abord un théorème qui joue dans la suite un rôle important et qui a été démontré par M. Painlevé dans son Cours de l'Ecole Normale en 1902. Ce théorème étant inédit, je crois devoir le démontrer ici en le complétant sur certains points.

Considérons un ensemble de points E, dépendant d’un paramètre « que nous supposerons réel et qui tendra vers &,. Je dirai qu'un point a appartient à l’ensemble limite de E, si, quelque petits que soient les deux nombres 7 et e, sous la condition |« — &,| €, le cercle de centre a et de rayon 7 renferme des points appartenant à certains des E,. L'ensemble des points a s’il en existe est l’ensemble limite E. Je dis que sc les ensembles E, sont continus et si chacun d’eux conlient tous ceux qui correspondent aux valeurs uliérieures de à, l’ensemble limite E est continu ou se réduit à un point.

Supposons que E comprenne au moins deux points &a et b. L’ensemble E étant fermé, il suffira de montrer qu'il est bien enchaîné. Or, s’il était mal enchaîné, on pourrait trouver un nombre € tel qu'en traçant tous les cercles de rayon € ayant pour centres les différents points de E, on ne puisse trouver un ensemble continu de points joignant a et b et restant à l’intérieur de ces cercles. On ne pourra donc pas non plus trouver un continu dont tous les points soient intérieurs à l’un au moins de ces cercles, et joignant deux points &,, b, distants l’un de a l’autre de b de moins de e. Or, pourvu que « soit suffisamment voisin de &,, l’ensemble E, contiendra deux tels points (E, content même a et b). Et il y aurait donc des points de E extérieurs à tous ces cercles ou sur leur contour, ce qui est absurde. Le théorème est donc démontré.

La forme même sous laquelle j'ai présenté la démonstration montre qu'il est inutile de supposer que tous les ensembles E, contiennent les

points a et b. Pour qu’elle subsiste néanmoins il est nécessaire qu'il existe au moins un point & qui soit limite pour tous les E,; j'entends par là que pour toutes les valeurs de & suffisamment voisines de &, les E, ont des points aussi voisins qu’on veut de 4. Alors E, s’il ne se réduit pas à &, contient au moins un autre point b et il n’est pas nécessaire pour le raisonnement que b soit limite de tous les E, ; il suffit qu'il existe des valeurs de « tendant vers æ, telles que les E, correspondants aient des points tendant vers b.

Mais, s’il n'existe aucun point @ limite de tous les E,, le théorème peut être en défaut. Par exemple, si E, est un cercle de rayon # ayant pour centre le point zéro si à est commensurable, le point un si « est incommensurable, l’ensemble E se compose des deux points o, 1 quand x tend vers zéro.

J'aurai besoin, dans la suite, du théorème complété comme je viens de le faire. Quant au théorème énoncé en premier lieu, il permet d’abréger une démonstration due à M. Phragmèn (‘) du théorème suivant : St P est la frontière d’un continuum À, et s’il existe des points extérieurs à À, une partie de P est continue. I est facile au moyen du théorème précédent de compléter cet énoncé et de mettre à l’abri de toute critique certains points de rigueur de la démonstration de M. Phragmèn. Voici le résultat auquel on parvient : Soit un continuum À ou plutôt appelons A le dérivé d’un continuum donné. L'ensemble des points frontières de A est constitué par une infinité dénombrable de lignes, et si L est une de ces lignes, on peut trouver deux points a, b dont un seul appartenant à À qu'il est impossible de joindre sans rencontrer L. Autrement dit, L est une ligne fermée. En particulier, si À est borné, l’ensemble des points extérieurs à A forme plusieurs continua dont l’un, B, comprend le point à l'infini ; la frontière de ce continuum B, qui est une portion de la frontière de A et que nous appellerons frontière extérieure de À, est une ligne cantorienne fermée.

4. Étudions maintenant les ensembles partout discontinus. Un point d’un tel ensemble peut être entouré d'un contour fermé et ne passant

(OBAGEATAVIT VA 2

par aucun point de l'ensemble intérieur à un cercle aussi petit qu'on veut ayant le point donné pour centre. Je démontrerai le théorème plus général suivant: Soit & un point appartenant à une portion continue P d'un ensemble fermé E. Les points qui sont à une distance de P inférieure ou égale à w forment un continuum C dont la frontière est une ligne L. Considérons les points de E extérieurs à C et leurs points limites (ce qui peut ajouter certains points de L). Soit F l'ensemble obtenu. À chaque couple formé par un point de P et un point de F répond un nombre & tel qu’on ne puisse former une chaîne de points de E contenant les points considérés et à chainons plus petits que €. Si l’on considère un point de P et tous les points de F la limite inférieure des nombres € obtenus n’est pas zéro, car si elle était zéro on trouverait, suivant un raisonnement bien connu, un point tel que, pour tous les points de F suffisamment voisins de lui, ce nombre serait aussi petit qu'on voudrait. Or ce point, limite de points de K, apparent à F puisque F est fermé; donc il lui correspond une certaine valeur de €, soit n et pour tous les points qui sont à une distance de lui moindre que n le nombre € est au moins égal à n et, par suite, n’a pas zéro pour limite inférieure. Pour chaque point de P nous obtenons donc une limite inférieure différente de zéro. On voit de même que, si l’on considère tous les points de P, la limite inférieure de toutes les limites correspondantes est un nombre différent de zéro que j'appellerai e. Traçons alors de tous les points de E comme centres des cercles

ES de : :

de rayon ;- Ces cercles forment plusieurs continua dont l’un renferme

tous les points de.P à son intérieur. Ce continuum est d’ailleurs tout entier à l’intérieur de L. Sa frontière extérieure est donc une ligne fermée entourant P (sans contenir aucun point de E). J’ai donc établi qu'on peut trouver une ligne fermée comprenant à son intérieur tous les points de P, ne passant par aucun point de E et dont tout point est à une distance de P inférieure à une quantité donnée quelconque 1.

Dans cet énoncé, le mot ligne est entendu dans son sens le plus général. Mais tout point de cette ligne est à une distance e de l’en- AE E et pour tous les points de Te ligne la limite inférieure des nombres p est différente de zéro d’après le même raisonnement. On

peut donc considérer au lieu d’une ligne une zone fermée jouissant des mêmes propriétés que la ligne ci-dessus. Tout ensemble continu entourant P et situé dans la zone jouit encore des mêmes propriétés. On peut donc toujours supposer que l’on prend dans l'énoncé précédent une ligne analytique ayant en chaque point une tangente et même une courbure continues. Cela a une certaine importance si l’on veut faire des intégrations sur la ligne (‘), ou simplement si l’on veut se déplacer sur elle dans un certain sens, expression qui n’a pas toujours de signification pour une ligne cantorienne quelconque.

5. Je terminerai cette étude préliminaire par la démonstration de deux théorèmes qui ne me serviront d’ailleurs pas. J’ai cherché pendant longtemps sans y parvenir à utiliser le premier dans la démonstration du théorème qui fait l’objet du Chapitre suivant, et je tiens à le signaler parce que je le crois de nature à simplifier notablement cette démonstration. Voici ce théorème :

Taéorème. — La somme d’une infinité dénombrable d’ensembles discontinus ne peut contenir une portion continue.

Soient E,, E,, ..., E,, ... les ensembles donnés, S leur somme. Supposons qu’elle contienne un continu 5. Il ÿ a dans 5 un point au moins extérieur à E, et par suite ce point peut être entouré d’un cercle contenant des points de o, mais aucun des points de E,. L'ensemble des points de 5 qu'il contient est d’ailleurs continu. Dans ce cercle on peut en trouver de même un second sans point de E, et contenant une portion continue de os. En continuant ainsi nous obtenons une suite dénombrable de cercles qui ont visiblement au moins un point limite a. Ce point appartient à 5, car tous les cercles contiennent des points de s et s est parfait. D'autre part il ne peut appartenir à aucun ensemble E,, car il est intérieur à tous les cercles, en particulier au ni” cercle qui ne contient pas de point de E,. Il ÿ a donc jcontradiction.

D'ailleurs S n’est pas forcément fermé; son dérivé peut être continu.

(!) Observons, ce qui restreint beaucoup la portée de cette remarque, que la démonstration ne nous apprend rien sur la longueur de cette ligne. Elle peut ne pas tendre vers zéro avec 1.

[2 L. ZORETTI.

Considérons par exemple une fonction uniforme ayant une coupure ne renfermant aucun arc de cercle. Tous les points réguliers de la fonction pourront être enfermés dans une infinité dénombrable de cercles dont aucun ne contiendra de ligne singulière. Sur chaque cercle se trouve un ensemble de points singuliers. La somme de tous ces ensembles ne comprendra aucune ligne et pourtant son dérivé en conuendra une.

On démontre de même qu'une infinité dénombrable de continus linéaires ne saurait contenir un continu superficiel.

G. Je terminerai ce Chapitre en démontrant une propriété plus curieuse qu'importante des ensembles discontinus. C’est la propriété suivante :

Taéorëme. — Etant donné un ensemble partout discontinu, on peut trouver une ligne contenant tous les pornts de l’ensemble.

Soit E l’ensemble donné supposé borné. Traçons de tous les points de E comme centres des cercles de rayon e. Les points intérieurs à ces cercles formeront un nombre fini de continua C,, C,, ..., C,.' Considérons la frontière extérieure de chacun d’eux et parmi ces p lignes fermées excluons celles qui sont entièrement intérieures à une des autres. Joignons les lignes restantes À par des lignes arbitraires M dont chacune est limitée à deux À, et qui ne coupent aucune des autres A ni aucune des M. Soit & un point extérieur à E. Si e est assez petit, a sera extérieur aux C;. S1 nous supposons qu'aucune des M ne passe par a, ce point définit un continuum, savoir l’ensemble des points qu’on peut joindre à a sans rencontrer ni les M ni les À. Le continuum obtenu en joignant à celui-là les points zntérieurs (*) aux lignes À admet une frontière qui est une ligne fermée comprenant tous les M et des por- Uons de tous les A.

Donnons à € une valeur plus petite, nous aurons un autre continuum. Quand e tend vers zéro, ce continuum tendra vers un ensemble continu limite, car tous les points de E sont intérieurs à ce continuum. La fron-

(*) Au sens de M. Jordan.

uére de ce continu limite est une ligne A. Je dis qu’elle contient tous les points de E.

En effet, si & est un point de E ou bien, pour une valeur assez petite de &, il sera à une distance aussi petite que l’on voudra d’une ligne A et alors il appartiendra à A ; ou bien, quel que soit e, il y aura toujours un continuum C; enveloppant le point « et dont tous les points ne tendront pas vers 4. Comme la limite de C; est continue et comprend exclusivement des points de E, c’est là une conséquence absurde. Le théorème est donc démontré.