CHAPITRE IL

1. Étant donnée une fonction analytique uniforme, l’ensemble de ses points singuliers E, qui est un ensemble fermé, peut affecter lune des trois formes suivantes :

1° [l'est dénombrable; il contient alors des points isolés;

2° [1 contient un ensemble parfait, mais aucun ensemble continu;

3° Il contient des ensembles continus, lignes au aires.

Si l’on veut étudier la façon dont se comporte la fonction au voisinage d’un point singulier donné, on sera conduit à faire jouer le rôle important à celles des singularités qui sont voisines du point donné. Si l’on entoure ce point d’un cercle, ou bien le rayon de ce cercle pourra être pris assez petit pour que les points singuliers qui lui sont intérieurs forment un ensemble dénombrable, ou bien quelque petit que soit ce rayon cet ensemble ne sera Jamais dénombrable; dans ce dernier cas, ou bien le rayon pourra être pris assez petit pour que cet ensemble soit partout discontinu, ou bien il contiendra un ensemble continu quelque petit que soit le rayon du cercle. Un point singulier z, donné sera, suivant que l’on est dans tel ou tel de ces trois cas, dit appartenir à un ensemble dénombrable, discontinu ou continu (') de points singuliers.

(1) Dans ce dernier cas il n’existe pas nécessairement de ligne singulière pas-

14 L.. ZORETIT:

Dans le premier cas, le théorème de M. Picard, qu'on généralise aisément en suivant la voie indiquée par M. Borel, donne des renseignements d’une grande précision sur l'allure de la fonction. Dans le dernier, des exemples très simples permettent de montrer que les circonstances les plus variées peuvent se présenter : la fonction, ainsi que toutes ses dérivées, ou seulement un certain nombre d’entre elles, peuvent être continues ou simplement déterminées quand 3 tend d’une façon quelconque vers un point appartenant à une ligne singulière; la fonction peut au contraire être plus ou moins complètement indéterminée dans les mêmes conditions (‘). De plus, si l’on se donne à l'avance la forme des coupures, on peut former des exemples de tous ces cas, quelle que soit cette forme. Si l’on veut, l'allure de la fonction ne dépend pas de la forme des coupures (?).

2. Le cas intermédiaire, celui d'un point 3, appartenant à un ensemble discontinu, était resté jusqu’à présent très mal connu. Si ce point est limite de points isolés, on peut affirmer que le théorème de M. Picard s'applique : au voisinage du point la fonction prend une infinité de fois toute valeur donnée sauf exception pour deux valeurs au plus. Mais si, à l’intérieur d’un cercle c de centre z,, l’ensemble singulier est parfait, ee théorème n’est pas toujours vrai. M. Painlevé subdivise ce cas en trois. En entourant chacun des points singuliers d’un contour ne passant par aucun d’eux et en appelant à la limite de la somme des longueurs de ces contours quand leurs diamètres tendent vers zéro, celte limite pourra être (pour un choix convenable de ces

sant par 39; d’après la définition, ce point peut être simplement limite de lignes o(ns) ne

singulières. C’est ce qui arrive pour la fonction > pour 3 —0o en posant

Fe S TU. e ont d are tel #4 w(z) Ne per q et p étant des entiers tels que F <Qie

(1) Des exemples nombreux ont été donnés de tous ces cas. On trouvera des détails à ce sujet dans une thèse soutenue à l’Université John Hopkins par M. J. Eïesland (Baltimore, 1898).

(?) Autrement dit, le domaine d’indétermination peut être quelconque. Pour la définition de cette expression, voër PAINLEVÉ, Comptes rendus, t. CXXXI, p. 489.

Fr

contours) nulle, finie ou infinie. Dans le premier cas 3, sera dit appartenir à un ensemble ponctuel; dans le second à un ensemble semilinéaire; dans le troisième à un ensemble semi-superficiel, et M. Pamnlevé a démontré dans le premier cas que la fonction s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée au voisinage du point singulier considéré, et dans le second qu’elle ne peut pas être continue dans une aire, si petite qu'elle soit, contenant le point donné. Mais le troisième Cas a jusqu'à présent échappé à toutes les tentatives.

Dans ce cas en effet les méthodes basées sur l'intégrale de Cauchy qui avaient réussi dans les deux premiers ne permettent plus de conclure. On est alors obligé d’étudier, avec les seules ressources de la théorie des ensembles eten se basant uniquement sur le prolongement analytique, la relation établie entre les deux points 3 et w par la foncüon æ — f(z)et en particulier on est conduit à considérer la fonction inverse z == J(æ) qui est une fonction analytique à une infinité de branches. Or, on sait quelles précautions minutieuses exige tout raisonnement sur ces fonctions. Un raisonnement sans rigueur montre immédiatement que dans le cas général la fonction se comporte comme dans le cas d’un ensemble ponctuel (‘). Mais, si l’on cherche à rendre rigoureuses ces considérations, on tombe sur des difficultés qui jusqu’à présent n’ont pu être surmontées.

On verra dans la suite de quelle nature sont ces difficultés; elles se retrouvent en partie dans la démonstration du théorème suivant qui fait le principal objet de ce travail :

Tuéorème A. — Étant donnée une fonction uniforme qui dans une aire À admet un point singulier faisant partie d’un ensemble discontinu de singularités, la fonction est certainement discontinue en quelque point de cette aire.

Autrement dit, tout point z, faisant partie d’un ensemble discontinu de points singuliers est un point transcendant essentiel ou un point limite de points essentiels (?).

(!) Ce raisonnement se trouve indiqué en note dans les Lecons de Stockholm,

(2) M. Painlevé appelle point transcendant ordinaire un point pour lequel

16 L. ZORETTI.

3. Démonstration du théorème À. — Théorèmes préliminaires. — J'aborde donc la démonstration de ce théorème. Soit une fonction f(z) qui admet un point singulier z, faisant partie d’un ensemble discontinu de singularités. Je suppose que cette fonction soit continue dans une aire D contenant le point z, à son intérieur et je veux démontrer que cela est absurde.

La fonction f(z) peut admettre en dehors de D des singularités de nature quelconque, points ou lignes, mais je vais démontrer qu'on peut loujours lui substituer une fonction qui soit continue dans tout le plan et qui admetle pour toutes singularttés un ensemble discontinu.

Je puis d’abord toujours supposer que la valeur de la fonction f(z) au point z, est finie. Il suffirait dans le cas contraire de remplacer la

‘ FPE : 5 ob fonction f(3) par -—+ Cela posé, je remplace l'aire D par une are A

f (3) qui lui soit entièrement intérieure et remplissant les trois conditions suivantes :

1° Son contour c ne passe par aucun point singulier ;

2° À contient à son intérieur un ensemble discontinu de points singuliers et parmi eux le point 3, et ne contient aucun autre point singulier ;

3° La fonction f(z) (qui est finie au point z,) sera /inie dans A et par suite bornée puisqu'elle est continue.

Il est évidemment possible de faire choix d’une telle aire A. Déformons alors le contour c d’une façon continue sans jamais rencontrer de point singulier. Soit y une position de ce contour. Dans l’aire comprise entre cet y la fonction f(x) est holomorphe et, par suite, elle

le domaine d’indétermination est réduit à un point et point essentiel un point pour lequel cette condition n’est pas remplie. La définition convient aux fonctions mulliformes. Pour les fonctions uniformes les seuls points transcendants qui puissent être ordinaires appartiennent à des coupures ou à des ensembles parfaits discontinus, quoique ce dernier cas ne puisse vraisemblablement pas se présenter. Les points essentiels se divisent eux-mêmes en points essentiels proprement dits et points semi-essentiels, ce dernier cas étant celui où la fonction tend vers une limite si le chemin que suit la variable ne tourne pas indéfiniment autour du point singulier : ainsi x —0 pour la fonction y = xlogx.

est donnée par la formule

f(x) ! [Jt)dz J(G) de :

ra ee rate).

La fonction g(æ) est holomorphe et par suite continue à l'intérieur de y. La fonction F(x) est holomorphe dans tout le plan sauf à l’intérieur de c où elle admet les mêmes points singuliers que f(x). Elle est continue à l’intérieur de c puisqu'elle est la différence entre deux fonctions continues à l’intérieur de c. Elle est donc continue dans tout le plan (nulle à l'infini). Elle remplit donc bien les conditions que nous nous étions imposées.

Considérons donc la fonction æ = F(z3). En un point z, extérieur à l’ensemble E des points singuliers et qui n’annule pas la dérivée F'(z), la fonction F prend une valeur w, et l’on peut trouver une aire entourant ce point w, et suffisamment petite pour que, æ étant un point de cette aire, w — w, soit développable en série procédant suivant les puissances de 3 — z,. Autrement dit, la branche de la fonction inverse z = @(w) qui au point w, prend la valeur z, est holomorphe en ce point. Prolongeons analytiquement cette branche de toutes les façons possibles dans le plan w; nous définirons ainsi toute la fonction z — 9(w) qui est en général une fonction à une infinité de branches. Je remarquerai d’abord que le domaine d'existence de cette fonction est borné. En effet, la fonction w = F(z3) est bornée; donc, quel que soit le point z, le point w correspondant est intérieur à un certain cercle de rayon R ayant pour centre l’origine. Il sera donc impossible qu’en effectuant le prolongement analytique de la fonction z nous puissions sortir de ce cercle.

. &. Je démontrerai au sujet de la fonction z(w) le théorème suivant qui joue dans la suite un rôle capital :

Tuéorème B. —- La fonction z(w) ne peul présenter aucun point d’indétermination.

Autrement dit, ses seuls points singuliers sont, outre les points algébriques, des points ranscendants ordinaires (").

(*) Les points critiques algébriques s’obtiendront en éliminant 4 entre les deux équations F(2)— w —o et F'(3) —0o.

Prolongeons une branche z de la fonction @ le long d’un chemin continu quelconque À, jusqu’en un point a, singulier pour la branche que nous suivons. Entourons ce point a d’un cercle € de rayon très petit et prolongeons la branche 3 dans ce cercle de toutes les façons possibles à partir de l’are w, a de À intérieur à c. Sur l'arc w, a et dans le cercle c, la fonction z prend un ensemble E de valeurs. Je dis que le dérivé E’ de E est continu. La chose peut être considérée comme évidente. Pour la démontrer en toute rigueur, nous remarquerons que E’ contient son dérivé ("). Il est de même très facile de voir que E contient E, car tout point de E obtenu pour une valeur w, de la variable, est limite des points de E obtenus pour les valeurs voisines, donc tout point de E appartient à E’. Je dis que E’ est bien enchaïiné. I suffit de montrer que E l’est. Donnons-nous deux points z,, z, de E

obtenus entre autres pour les valeurs w,, w, de w. Sur l’arc w,4,, extrémités comprises, la fonction z est continue; elle est donc unifor-

mément continue. On pourra donc marquer sur l'arc w,#, une succession de points w; tels que loscillation de la fonction 3 quand on passe de chacun au suivant soit inférieure à €. Par suite, l’ensemble E’ est bien enchainé et, comme il est parfait, il est continu.

Supposons maintenant que l’origine de l’are À se rapproche indéfiniment de a et que le rayon de c tende vers o. Le continu E’ obtenu diminue sans cesse. Dans ces conditions, l’ensemble limite de E’ est continu. Si donc il ne se réduit pas à un point, il est nécessaire qu'il contienne un ensemble continu de points non singuliers de la fonction w(z). Or, en chacun de ces points, la valeur de la fonction w ne pourrait être que a. La fonction F(z), constante sur une ligne continue, serait donc constante dans tout le plan d’après un théorème de M. Painlevé (*?); l’ensemble limite doit donc se réduire à un point : le domaine d’indétermination est un point.

Cette démonstration appelle plusieurs remarques.

Remarque 1. — Le chemin À que nous avons suivi peut être supposé de longueur infinie sans aucune difficulté pour la démonstration.

(1) Tout ensemble dérivé est fermé.

(?) Pamrevé, Thèse, Annales de la Faculté de Toulouse, 1888. La démonstration de M. Painlevé s'applique à une ligne cantorienne.

La seule condition qu’on lui impose est de tendre vers l'unique point a, c’est-à-dire d'être, à partir d’un certain point, entièrement intérieur à un cercle de rayon aussi petit qu’on voudra entourant a. Cette remarque est indispensable, sans quoi le point a pourrait être point semt-essentiel de la fonction 3(œ) (").

Remarque 11. — Nous n'avons nullement eu besoin de supposer que la fonction F(z) était continue en ses points singuliers. Le théorème précédent subsiste donc quelle que soit la manière dont se comporte F au voisinage de ses points singuliers.

®. Je vais maintenant démontrer un théorème plus complet que le théorème B et qui, comme lui, sera indépendant de toute hypothèse sur la façon dont se comporte F(3) en ses points singuliers.

Quand æ tend vers un point &, singulier ou non, z tend vers une valeur limite b. Quand on fait varier le chemin ou la branche de fonction que l’on suit, cette limite b varie. D’une manière générale, considérons un cercle de rayon aussi petit qu'on voudra entourant le point a du plan des w, et considérons tous les points du plan z qui font prendre à F(z) des valeurs situées dans ce cercle. L’ensemble de ces points 3 et de leurs points limites est fermé. Quand le rayon du cercle tend vers zéro, cet ensemble diminue sans cesse et tend vers un ensemble limite. Cet ensemble limite est fermé. Je dis qu'il n’est pas continu. En effet, dans ce cas il comprendrait un ensemble continu de points réguliers de F(z) donnant à F(z) la valeur 4, ce qui est impossible. Cet ensemble est donc la somme d’un ensemble discontinu et d’un ensemble dénombrable. On voit que, si l’on se donne un nombre € et si l’on trace tous les cercles de rayon € ayant pour centres les points de cet ensemble limite, on pourra trouver un nombre o tel que l’ensemble des points z qui font prendre à F(z) des valeurs æ telles que

lw—al<e

soit entièrement intérieur à ces cercles.

(1) Voir la note, p. 15.

20 L. ZORETTI.

En définitive nous pourrons, à tout point & du plan w, attacher un nombre 9 tel que, si æ tend vers a d’une façon quelconque, z tend vers une limite b et, dès que w est à une distance de a inférieure à p, z est à une distance de b inférieure à « et cela quel que soit b, c’est-à-dire en somme quelle que soit la branche suivie.

Ceci posé, le théorème que j’ai en vue est le suivant :

Taéorème C. — Pour l’ensemble de tous les points a du domaine d'existence de 9(w) la limite inférieure de tous les nombres p répondant à un même nombre e est différente de zéro.

En effet, suivant un mode de raisonnement bien classique, on verrait que, si l’on supposait cette limite inférieure nulle, on trouverait un point a qui ferait encore partie, soit comme point intérieur, soit comme point frontière, du domaine d'existence de #(w), et tel que dans tout cercle ayant ce point pour centre la limite inférieure des valeurs de p

L e | 4 4 € serait nulle. Or, en ce point a le rayon o répondant à la valeur SE une valeur bien déterminée que j'appelle 0, et il est bien certain que

pour tous les points intérieurs au cercle de centre a et de rayon “ le

nombre p répondant à la valeur € a au moins pour valeur î. La limite

inférieure de ces nombres serait donc au moins Ê!.

Si l’on veut, ce théorème établit que la fonction o(w) tend wnifor-mément vers une limite en chacun de ses points singuliers.

6. Exposé de la méthode. — Voici maintenant en quelques mots la méthode toute naturelle que l’on peut suivre pour démontrer le théorème A. Nous avons déjà vu que le domaine d’existence de la fonction o(w) est borné. Ce domaine est un continuum; il admet donc une frontière formée de lignes continues. Soit L une de ces lignes. [l est bien certain que toute branche 3 de © qui peut être poursuivie régulièrement jusqu’en un point a de cette ligne ne peut ètre prolongée au delà, et tend par suite vers une valeur D qui est l’affixe d’un point de l’ensemble singulier de F(3). Il semble naturel d'admettre que la fonction 3 a une coupure aboutissant en a. Par

suite, il semble aisé de prolonger analytiquement la fonetion 3 le long d’une ligne À, variable et tendant vers un arc de la frontière L. A cet ensemble de points À répondra dans le plan z un ensemble continu et l’on en déduira simplement que l’ensemble limite est continu, et comme 1l ne peut contenir aucun ensemble continu de points réguliers, sans quoi F(z) serait constante, il doit nécessairement se réduire à un point singulier b de F(z). En ce point D la fonction F ne saurait par suite être continue.

Effecuvement c’est bien ainsi que nous allons nous y prendre, mais il importe dès l’abord de signaler, ce que la démonstration fera ressortir davantage, l'insuffisance de ce raisonnement. D’abord, étant donné un point a de L;, rien ne prouve qu'il existe un chemin régulier pour une branche (*) permettant de la prolonger jusqu’au point a et tendant vers ce seul point a. Par exemple, si l’on considère une fonc-

: ‘ . f I üuon uniforme ayant pour coupures les droites Lx = +=) ocre)

(z entier positif), le segment o-r de l’axe des x est une ligne singulière et 1l n'existe aucun chemin régulier tendant vers un point de ce segment distinct des extrémités.

Üne difficulté beaucoup plus grave tient à ce fait qu'un point singulier pour une branche ne l’est pas nécessairement pour les autres. C’est là, au fond, que réside la difficulté essentielle. Si, en suivant une branche, on tombe sur un point singulier et qu'on veuille Péviter pour pouvoir poursuivre analvtiquement la fonction, les singularités changent : à la place d’un point isolé, on trouvera par exemple une coupure ou, au contraire, un point régulier et l’on conçoit sans peine la difficulté qu’il y a à raisonner dans ces conditions.

7. Définition des points d’arrét. — Puisque nous ne savons pas si nous pourrons par un chemin régulier parvenir jusqu’en un point de la frontière L, nous substituerons à ce point un autre point singulier qui aura aussi la propriété d'appartenir à une coupure de la fonction 3

(?) Je dirai couramment qu’un chemin est régulier pour une branche si l’on peut prolonger cette branche tout le long du chemin sans être arrêté par un point singulier.

22 L. ZORETTI.

et que, cette. fois, on soit assuré d'atteindre par un prolongement régulier.

Partons d’un point w, avec une valeur 3, de la fonction z, et supposons que cette branche soit holomorphe au pointw,. Prolongeons cette branche à partir de ces conditions initiales, le long d’un chemin quelconque C, issu de w,, et s’éloignant à l'infini, une droite par exemple. Ce prolongement sera possible jusqu’en un pointæ,, mais pas au delà. Alors deux cas pourront se présenter : ou bien, quelque petit que l’on trace un cercle de centre w,, on pourra trouver un chemin intérieur à ce cercle, joignant deux points de C, l’un situé sur l’are w,w, et l’autre au delà, et sur lequel on pourra effectuer le prolongement analytique régulier de la branche z,; nous dirons alors que le point w, est un point singulier ordinaire. Ou bien au contraire, quelque petit que soit le rayon d’un cercle de centre w,, le choix d’un tel chemin sera impossible; nous dirons que w, est un point d’arrêt de la fonction et nous n’irons pas plus loin.

Dans le premier cas, au contraire, après avoir évité le point w,, par un chemin arbitraire très voisin de w, (‘}), et être ainsi parvenus sur C au delà de w,, nous continuerons à prolonger analytiquement la branche choisie de 3 sur C jusqu’au point singulier le plus voisin æ,. Nous nous arrêterons en w, si ce point est un point d'arrêt; nous continuerons notre route si c'est un point ordinaire.

Je dis qu’en continuant ainsi nous arriverons finalement à un point d'arrêt. Supposons en effet que nous trouvions toujours des points ordinaires. Comme nous ne pouvons certainement pas prolonger analytiquement z jusqu’à l'infini, les affixes de ces points ordinaires auront un point limite w situé sur L et Le raisonnement met en évidence une ligne analytique tendant vers æ et tout le long de laquelle on pourra prolonger z. Le point w se trouvera alors être pour cette ligne un point d'arrêt où un point ordinaire. Dans le premier cas nous nous arrêterons. Dans le second nous parviendrons par prolongement analytique régulier au delà de w sur C. Donc, ou bien nous aurons finalement un point d'arrêt et une ligne régulière y aboutissant, ou bien

(*) Ce chemin peut d’ailleurs toujours être supposé analytique et pourvu d’une tangente.

nous dépasserons fout point limite de points ordinaires. La première hypothèse doit donc nécessairement finir par se présenter.

8. Démonstration de l'existence d’une coupure. — Nous avons donc établi l'existence d’une ligne C le long de laquelle le prolongement de la branche choisie est possible depuis le point w, jusqu’en un point w, qui est un point d'arrêt pour cette branche. Si je démontre que l’existence d’un tel point w, entraine l'existence d’une coupure, il sera aisé d’achever la démonstration. Mais c’est justement dans cette première partie que se trouve le point le plus délicat et on le comprendra sans peine si l’on remarque que pour une fonction multiforme à une infinité de branches la définition même du mot coupure est assez délicate à préciser. On verra avec quelle minutie nous serons obligés de raisonner pour mettre en évidence une ligne qui réponde à l’idée que l’on se fait d’une coupure.

Traçons, de w, comme centre, un cercle de rayon assez petit pour que la branche 3 prolongée dans ce cercle de toutes les façons pos- Sibles, à partir de l'arc c de C intérieur à ce cercle, ne puisse certainement pas nous faire parvenir aux points de c situés au delà de w, ou du moins nous y fasse parvenir avec des valeurs non prolongeables au delà. (En d’autres termes, nous n’excluons pas le cas où € serait lui-même coupure.) Un tel cercle existe évidemment d’après la détinition du point d'arrêt : j'appellerai w, et & les points où il coupe la courbe C.

Donnons-nous alors d’une façon absolument définitive mais complètement arbitraire une famille continue de courbes y dépendant d’un paramètre «, passant toutes par les points w,, &, intérieures au cercle précédent, coïncidant avec c pour la valeur o du paramètre et avec une courbe fixe F pour la valeur «, du paramètre. Les coordonnées d’un point de chacune de ces courbes seront des fonctions continues d’un paramètre £ et du paramètre «; chacune des courbes répond à une valeur du paramètre &. Pour fixer les idées, quand c est une droite, on prendra pour courbes y les cercles d’un faisceau. Ce qui importe, c’est que ce choix une fois fait ne sera plus modifié dans la suite.

Donnons-nous alors un nombre e; d’après le théorème C, il lui cor-

2/ I -ZORETTEH

respond ün nombre 29 tel que la condition |® — | 2p entraîne, quel que soit w,, [3 — 3,|<e, 3, désignant tous les points pour lesquels F(z) — w, ("). Quand e, à la fin du raisonnement, tendra vers 0 il en sera de même de 9. Mais pour l'instant il nous suffit de pouvoir assigner la valeur de p.

Nous allons alors prolonger 3 le long des courbes y. Comme on ne pourra certainement pas parvenir au point a, chacune de ces courbes mettra un point singulier en évidence. Nous tächerons de choisir parmi ces points un ensemble continu de points qui seront, en quelque sorte, singuliers pour une même branche. D'une façon précise nous mettrons en évidence une ligne continue régulière pour une branche z et dont tout point soit à une distance inférieure à p d’un ensemble continu de points singuliers. De plus, pour que cette ligne ne tende pas vers un point unique quand p tendra vers o, nous ferons en sorte qu'elle joigne toujours un point de C à un point de F.

Traçons le cercle c, de centre w, et de rayon p. Étudions, au début du mouvement de la courbe y, la branche z de © prolongée sur y. Nous ferons deux parts dans cette étude : la part qui concerne les points æ extérieurs à c, et celle qui concerne les points w intérieurs

Disons d’une manière générale que nous nous réservons le droit de déformer chaque courbe y, mais cette déformation devra toujours être faite de telle manière que la nouvelle courbe y’ parte encore de w, et arrive en @, et qu'on puisse y prolonger z du point w, jusqu’en un point w, qui devra appartenir à l’ancienne courbe +.

La branche z est régulière de w, à p,, extrémités comprises. On peut donc entourer ce segment d’une aire dans laquelle z soit holomorphe. Donc, au début du mouvement des y, la portion de ces lignes extérieure à c,, portion que j’appellerai y., est une ligne régulière pour la branche z. Alors, ou bien nous ne rencontrerons aucune difficulté jusques et y compris la dernière courbe y que rencontre encore c,, ou, au contraire, l’holomorphie de z cessera avant d’arriver à cette position de y. Étudions cette dernière circonstance et précisons-la.

(*) Cette manière de nous exprimer convient à l'hypothèse faite que F(z) est partout continue, Elle serait incorrecte si l’on ne faisait pas cette hypothèse.

Il arrivera que, quand y tendra vers une position limite y,, la branche z qui était toujours prolongeable le long de y, jusqu'au cercle c, tout au moins, ne sera plus prolongeable le long de y, que sur l'arc w,0 et pas au delà; deux cas peuvent se présenter suivant que le point b est ou non point d'arrêt de z pour la ligne +,. Dans le premier cas, on ne pourra pas, par prolongement analytique, atteindre tous les points de y, situés au delà de b, sans sortir d’un cercle w de centre D et de rayon assez petit. Mais les courbes y qui tendent vers y, et lelong duquel, nous le savons, le prolongement est possible jusqu’au cercle c,, nous fournissent des arcs de courbe réguliers pour la branche z et tendant vers un certain arc de y,. Les points z correspondants forment un continu linéaire dont l’ensemble limite ne peut contenir aucun point régulier, car pour un tel point F(3) prendrait une valeur, affixe d’un point de y, situé dans le cercle w et par suite le point b ne serait pas un point d'arrêt de z sur la courbe y,. Donc cet ensemble limite se réduit au seul point B, valeur limite de z quand æ tend vers b sur y, (limite que nous savons exister) et par suite en ce point b, F(3) ne serait pas continue.

Si, au contraire, b n’est pas point d'arrêt, on pourra déformer y, aussi peu qu'on voudra d’ailleurs, de façon à éviter le point b et à revenir sur y, avec une valeur holomorphe de z ('): c’est bien dans ces conditions qu'on a le droit de faire des déformations de lignes y : le début et la fin de la ligne ne sont pas altérés.

Donc nous pouvons toujours parvenir à la ligne y extrème que rencontre c, ou du moins nous parviendrons à une ligne y’ commençant en æ, et finissant sur c, au même point que la ligne précitée; de plus le prolongement de z sera possible de w, Jusqu'au cercle c,.

A vrai dire, il y a encore un cas que nous devons examiner : J’ai supposé que le point singulier b n’était pas sur le cercle c,. Supposons qu'il y soit. S'il n’est pas point d'arrêt, en diminuant aussi peu qu’on voudra le rayon du cercle c, on pourra tourner encore le point b etles conclusions subsistent. Si b est point d'arrêt, on tracera de ce point comme centre un cercle de rayon suffisamment petit, assez petit en

(1) Et la déformation peut même être faite de telle manière qu’on parvienne sur y, avec la même valeur 3 que l’on obtient en faisant tendre les y vers y:.

26 L. ZORETTI.

particulier, ce qui est visiblement toujours possible, pour que le point où ce cercle coupe y’ soit un point d’une courbe primitive y. On fera alors dans le raisonnement jouer au continuum formé de ce cercle et du cercle c, le même rôle que dans le raisonnement primitif au cercle c, lui-même.

Occupons-nous maintenant du mouvement de la portion y; de y allant depuis le point de rencontre avec c, jusqu’au point a.

Quand y est assez voisin de C on peut être assuré que sur la courbe yil y aura dans c, un point d'arrêt. En effet, évitons les points ordinaires que nous pourrons rencontrer sur les courbes y, et cela d’une façon absolument arbitraire, sans sorür toutefois de €,. Si alors nous pouvons, quelque voisin que soit y de C, sortir du cercle c, sans rencontrer de point d'arrêt, nous mettrons en évidence un arc de courbe tendant vers C (‘) sur lequel une branche 3 admet un prolongement régulier et l'arc qui lui correspond dans le plan des z ne peut avoir aucun point régulier comme point limite, car sans cela w, ne serait pas point d’arrêt de z sur C. L'ensemble limite de ces arcs du plan des z est donc réduit à un point singulier pour lequel F ne serait pas continue.

Dans la suite nous ne répéterons pas ce raisonnement. Quand sur une ligne nous aurons un point d'arrêt pour une branche nous concelurons que sur les lignes voisines il y a aussi des points d'arrêt tendant vers le premier.

Mais, quand la ligne y s’éloignera suffisamment de C, elle pourra ne plus rencontrer de point d'arrêt dans c, toutau moins. En effet, un point limite de points d’arrêt peut ne pas être point d'arrêt lui-même. Par exemple, pour une fonction uniforme, une extrémité de coupure n’est pas, au sens où nous l’entendons, un point d’arrêt (?). Dans ce cas, si nous continuions à nous déplacer sur y, nous finirions certainement, en tournant les points ordinaires, par tomber sur un point d'arrêt, dussions-nous aller jusqu’au point a. Sur chaque ligne y, nous

(*) En supposant que les chemins au moyen desquels on contourne les points ordinaires tendent vers o quand y tend vers c.

(?) Au moins si le chemin que l’on veut suivre n'est pas confondu avec la coupure.

mettrions donc en évidence un point singulier. Mais si l’on procède ainsi il semble très malaisé de conclure. Voici donc comment nous nous y prendrons :

Soit y ce premier chemin qui nous permet de parvenir sans rencontrer de point d’arrêt jusqu'au cercle c, au point g,. Déplaçons-nous sur le contour du cercle c,, dans le sens de rotation des lignes y autour de a. Sinous rencontrons des points ordinaires, évitons-les ; nous arriverons ainsi certainement à un point d'arrêt pour la ligne €, car sans cela nous pourrions parvenir jusque sur C. Soit w, ce point d’arrèt. Traçons un cercle e, de centre w, et de rayon p. Ge cercle €, va jouer

le même rôle que c,. Pour cela, si le point 4, est extérieur à ce cercle €, nous déformerons la ligne g,w, dans le sens contraire au sens précédemment défini, sens que j'appellerai direct. Nous déformons donc g,%, dans le sens inverse jusqu’à l'appliquer sur le prolongement g, a de y. Cette déformation se fait d’une manière analogue à tout à l'heure : en dehors du cercle c, on ne lient pas compte des points ordinaires qu'on évite au moyen d’un crochet (‘). Dans c,, tant que le chemin variable est suffisamment voisin de g,%,, il rencontre un point d’arrèt dans le cercle €,. Quand il s’écartera suffisamment de g,w, il faudra aller jusqu’au bord du cercle €, en un point g,; on suivra alors le contour de ce cercle c,, en marchant dans le sens direct.

= Dans le cas de la figure, on est assuré de rencontrer sur ce cercle un point d'arrêt w,, car le cercle c, coupe C; mais plus généralement,

(1) On peut aussi procéder un peu différemment : laisser fixe la portion de qgiw2 extérieure à c, et déformer seulement la portion g'w, intérieure à Co.

28 L. ZORETTI.

si l’on ne rencontrait pas de point d’arrêt avant d’arriver au point de rencontre des cercles €, et €,, on abandonnerait le cercle c, pour se déplacer toujours dans le même sens sur le cercle c, et ainsi de suite : sur ce cercle nous rencontrerons à nouveau un point d'arrêt w,; on tracera le cercle c, de rayon p et de centre w, et l’on déformera dans le sens inverse l’arc g,w,, toujours d’après le même procédé. Au cours de ces opérations on parviendra nécessairement à un cercle c, renfermant le point &, car tous ces cercles sont de rayon p. À partir de ce moment, la déformation continue de l’arc g,,w, ne pourra plus nous faire sortir de ce cercle c, ou, du moins, on arrivera certainement avant à faire occuper à cet arc dans sa déformation la position +. De sorte que, finalement, nous nous trouverons avoir effectué le prolongement de la branche z le long d’une ligne y commençant en w,, coïncidant en général avec y sur une certaine longueur, et arrivant finalement en un point d’arrêt sur la ligne y. Mais, dans l'intervalle, y'et y sont en général distinctes, car y’ comprend des portions passant PAPAS poing 9 eue

Nous serons donc parvenus jusqu'à la ligne y. Il est alors relativement facile de montrer comment nous pourrons de même parvenir jusqu’à la ligne F que nous avons assignée à l’avance.

Il y a plusieurs hypothèses à faire : si, comme nous venons de le supposer, il y avait avant la ligne y extrême qui rencontre c, une ligne qui n'ait aucun point d'arrêt dans c,, nous avons vu quelle modification on apporte à la suite du chemin et cette modification nous permet d'arriver en fin de compte en un point d’arrêt, situé sur la ligne primiuve. Dans ce cas nous recommencerons en faisant jouer le rôle de Cet de w, respectivement à la ligne +’ que nous venons de construire et au point d'arrêt æ, que nous venons de mettre en évidence sur elle Ke J'appellerai c, le cercle de centre w, et de rayon s.

Si au contraire nous avons pu, sans cesser de rencontrer des points d’arrêt dans c,, parvenir à la ligne extrême y qui rencontre c,, ou bien cette ligne elle-même aura un point d’arrêt dans c, et par suite sur le contour même de c,, où bien on lui appliquera le raisonnement précé-

() sx n’est plus tout à fait le même que dans le raisonnement précédent; c’est le dernier point d’arrêt que je mettrai en évidence sur y même.

dent et on lui substituera une ligne y sur laquelle on raisonnera ensuite. Dans le premier cas, et jy ramènerai aussi celui dont j'ai dit un mot précédemment où la portion de ÿ extérieure à e, (!) rencontrait un point d'arrêt sur c, même, dans ces deux cas, dis-je, je considérerai le point d’arrêt æ, mis ainsi en évidence sur €, : je tracerai le cercle €, de centre w, et de rayon e et l’ensemble des deux cercles €, et c, sera considéré dans la suite du raisonnement comme formant un seul continuum dont le contour extérieur jouera le même rôle que la périphérie de c, dans le raisonnement ci-dessus exposé. Alors ou bien on parviendra à l’extrème ligne y rencontrant (c, + €) et l’on pourra continuer ainsi jusqu'à la ligne F, ou bien une ligne y cessera de rencontrer un point d'arrêt dans l’aire (ce, + ec, +...+c,); on la poursuivra jusqu'au contour de (c, +c,+...+c,) en un point g, et ainsi de suite. Dans les opérations suivantes on pourra avoir encore l'occasion de faire jouer à une succession de cercles le rôle que jouaient les cercles c,, €,,..., c, du raisonnement type. Mais, d’après la disposition de tous ces cercles, il est incontestable que le point capital du raisonnement, savoir que l’un des cercles (ou l’une des files de cercles) finit par contenir a, demeurera toujours exact.

Alors il n'est pas douteux qu'on parviendra finalement à une courbe [” ayant même origine w, et même extrémité a que let le long de laquelle la branche 3 sera prolongeable à partir du point w, jusqu’en un point situé sur la courbe V'elle-même et qui sera point d'arrêt.

Nous allons maintenant tâcher de construire une ligne À allant de C à T, rencontrant toutes les courbes y’ précédemment envisagées, et dont tout point soit à une distance inférieure à 2p, par exemple, d’un point singulier (et même d’un point d'arrêt). A vrai dire il n'est pas certain qu'une telle ligne existe. Essayons de la former en prolongeant z le long de portions des cercles c; à partir du point p, sur le cercle e,. Si l’on est dans le cas où les lignes y rencontrant c, ont des points d’arrêt dans c, on ira jusqu'à la rencontre avec le cercle c, et ainsi de suite : on se déplacera sur €, puis sur €,. Si la première file de cercles arrive à la courbe F', la ligne ainsi formée d’arcs de cercles

(*) Plus exactement antérieure à C1. 4

I0 L. ZORETTI.

jouit bien de la propriété voulue : chacun de ces points est à une distance inférieure à 29 d'un point d'arrêt de la branche qu'on poursuit. Mais supposons que dans le 72% cercle €, on ait une courbe y (ou plutôt y’) sans point d'arrêt dans e,. Alors on prendra pour À d'abord des ares de cercles €,, €, ..., €, Jusqu'à la première ligne y’ qui permette de sortir de €,, puis un are de cette ligne y’, puis des ares de cercles e,, € .. parcourus dans le sens inverse jusqu'au cercle €,

ayant pour centre le premier point d'arrêt que l'on rencontre ainsi; puis des ares de €, 6,....,0,, parcourus dans le sens direct jusqu'à ce

que, en déformant la ligne e’,, à de façon à remonter vers Y, on arrive

à t # Ca

à la première ligne y, qui ne rencontre plus de point d'arrêt dans c/. On suivra alors cette ligne y, jusqu’au second point de rencontre avec c,, puis on décrira dans le sens inverse les arcs €’, c!.,, jusqu’à rencontrer un point d'arrêt, Il pourra même arriver que l’on parvienne ainsi Jusqu'à ce, el ensuite qu'on soit obligé de décrire, toujours dans le même sens inverse, une portion du contour de la première file de cercles. Mais alors on sera assuré de rencontrer un point d'arrêt et lon ira pour former À jusqu’au cerele € ayant pour centre le point d'arrêt mis en évidence; on se déplacera sur €! et ainsi de suite.

Il résulte alors de ce qui précède que cette ligne À ne renfermera

aucun point singulier de la branche z qu'on y poursuit et que par suite on pourra y prolonger z jusqu'à la courbe F.

Mais cette ligne À jouit-elle de la propriété que dans un cercle de rayon 29 1l y ait un point singulier de la branche z quel que soit le centre de ce cercle sur À. À priori, cela semble exact, puisque tous les points de À sont sur des cercles «,. Prenons par exemple un point æ de À sur la première file de cercles, mais dans la deuxième partie du déplacement, quand on redescend la file c,, €,,, .... Supposons que ce point soit sur €,,. Si alors le point z se déplace d’une façon quelconque dans les deux cercles c,, c,,, 4 est bien évident que ce déplacement pourra être choisi de telle sorte que l’on rencontre un point d'arrêt. On n'aurait par exemple qu'à décrire À en sens inverse jusqu'à €,,, puis à suivre une des courbes y dans c,,. Mais, si l'on s’astreint à rester dans un cercle de centre w et de rayon 22, on ne pourra pas toujours se déplacer dans fout le cercle c,; et alors il n’est plus évident, il n'est méme plus exact en général que les points d'arrêt des courbes y qu'on avait précédemment rencontrés dans c,, restent singuliers si on les aborde d’un autre côté. Il peut se faire qu’en se déplaçant régulièrement à partir du premier are de c,, tous les pornts du cercle soient singuliers, et qu’en se déplaçant dans le même cercle à partir du second are, la branche 3 soit holomorphe dans tout le cercle. Ce sont là des singularités inhérentes à la notion de fonction analytique et que l'on ne peut pas écarter & priort.

Mais ce que nous pourrons affirmer, c’est que dans les portions montantes de À, j'entends par là quand on décrira les arcs de cercle, dans le sens direct, ou encore dans l’ordre des indices croissants, on sera toujours à une distance inférieure à 2p d’un point d'arrêt. {en sera de même pour les portions de À formées d’arcs des courbes y ainsi que les portions des premiers cercles c, qu'on décrit en sens inverse, c’està-dire celles qui suivent immédiatement, sur À, les ares de courbe +.

Désignons par À, la courbe À et par À, À l'ensemble des portions montantes et des portions descendantes de À, en joignant à À les arcs de À que nous venons de signaler et qui sont certainement à une distance inférieure à 29 d’un point d'arrêt.

A À, correspond dans le plan z une ligne p. formée elle aussi de portions p:, 4 correspondant respeclivement à À; et à À. Supposons

32 L. ZORETTI.

que 9, et par suite €, tendent vers zéro; À, tend vers une ligne continue / non réduite à un point. En effet, d'abord on est dans le cas où la limite est un continu, car le point &, est certainement point limite, et, d'autre part, il y a des points limites sur l; l’ensemble limite est formé de lignes joignant w, à l': de même u. tend vers une limite 2 car l'ensemble limite comprend le point 3 = 3,, vers lequel tend & quand p, tend vers w,. Si 7x était réduit à un point le théorème serait démontré. Mais la ligne 7» pouvant comprendre a priori des portions régulières, on ne peut pas en conclure immédiatement que » est réduit à un point. Désignons par let /’les ensembles limites de X; et À; respectivement. Si je montre que / comprend des portions continues, cela suffira évidemment pour qu'on puisse répéter le raisonnement .déjà fait.

Sur un arc quelconque de /, let [’ sont formés de portions qui alternent évidemment. Si donc nous supposons que, sur cette portion, l'est constitué uniquement par des points, il en résultera que /” comprend tout l’are de /, sauf un ensemble au plus discontinu de points. Mais les À; redescendent toujours la succession des courbes y. Il en est donc de même des ensembles limites. D'autre part, les À: ont des points sur chacune des courbes +. Donc leur ensemble limite doit avoir aussi des points sur chacune des courbes y. Il y a évidemment contradiction entre ces deux faits. Done, sur tout arc de {, il y a un ensemble continu de points limites de À.

Pour être tout à fait précis, il convient d'ajouter que pour chaque valeur de £ on peut choisir une des portions continues de X. de façon que la limite des portions choisies soit continue quand + tend vers zéro. Donnons en effet à € une infinité dénombrable de valeurs tendant

: : I . ns ts vers Zéro, € — = par exemple. Pour chaque e il y a un nombre fini de

portions conünues dans À. L'ensemble de toutes ces portions est done dénombrable. On peut les combiner entre elles d'une infinité dénombrable de manières. Si chacune de ces combinaisons donnait seulement un point limite, l'ensemble limite serait dénombrable (!). Donc une des combinaisons donne un continu limite. Et alors le raisonnement

(1) Tout point de l’ensemble limite est limite d’une des combinaisons.

s'achève sans aucune difficulté. À chacune des portions répond dans le plan z un continu, dont l’ensemble limite est formé uniquement de points singuliers. Cet ensemble est donc réduit à un point. Pour ce point, la fonction F doit être discontinue.

Le théorème A est donc démontré.

9. Les fonctions multiformes. — Ce théorème ne nous renseigne pas d’une façon définitive sur la façon dont la fonction se comporte au voisinage d’un point singulier donné. Il ne permet même pas d'affirmer que la fonction est discontinue en Zous ses points singuliers. Avant d'indiquer ce qui reste encore à démontrer, et la manière dont on pourra s’y prendre pour une telle démonstration, je crois utile de faire une courte digression sur les fonctions analytiques.

L'ensemble des points singuliers d’une fonction uniforme ou à un nombre fini de branches est fermé. Quand la fonction à une infinité de branches il n’en est plus de même. De plus le dérivé de l’ensemble singulier peut comprendre tout le plan. Ce qui est d'apparence plus paradoxale encore c’est que, 4 priori du moins, une fonction multiforme peut admettre pour points singuliers tous les points d’une aire et être définie dans cette aire. A vrai dire je ne connais aucun exemple de ce dernier genre de singularités et l’on peut espérer qu'il ne se présente jamais. Mais on ne doit pas l’écarter @ priort.

D'une manière tout analogue, on voit que l’existence d’un ensemble continu de points singuliers, pour une fonction qui a une infinité de branches, n’entraîne pas nécessairement l’existence d’une coupure, du moins suivant que l’on adopte telle ou telle définition du mot coupure.

De ce qui précède, il semble résulter que la définition de ce mot doit s'entendre de la façon suivante : Je dirai qu'une ligne L est coupure d’une fonction analytique s'il existe une ligne À tendant vers L le long de laquelle le prolongement analytique d'une branche au moins de la fonction sera toujours possible et si à toute position de À correspond un nombre e tendant vers zéro quand À tend vers L, tel que tout cercle de rayon € ayant son centre sur À renferme un point singulier de la branche que l’on considère supposée prolongée dans ce cercle sans en sortir à partir du centre.

34 L. ZOREMTI.

On voit alors sans peine que le théorème A renferme en particulier

la démonstration du thécerème suivant :

Tnéorèue. — Toute fonction analytique dont le domaine d’existence est borné admet nécessairement des coupures.

I n’est pas même nécessaire que le domaine d’existence soit borné. Il suffit que la fonction admette des points d’arrêt pour une ligne. Appelons point-coupure d’une fonction, un point a tel que, si une branche f'admet le point a pour point singulier, quelque petit que soit un cercle de centre a, le prolongement de la branche f dans ce cercle ne permette pas d'atteindre tous les points du cercle. Alors il ÿ a un continu superficiel de points qu'on ne peut pas atteindre dans chacun de ces cercles. Si l’on prend une ligne / passant par à, sur laquelle on puisse prolonger f jusqu’au point a, et qui se continue par une ligne située dans l’aire non atteinte, le point & sera point d’arrêt pour cette ligne.

Donc :

Taéorkme. — Toute fonction qui admet un point-coupure admet une coupure dans tout cercle ayant ce point pour centre.

La réciproque est-elle vraie? Je me borne à poser cette question en remarquant cependant que la présence d’une coupure pour une fonction, en adoptant pour ce mot la définition précédente, entraine l’existence d’un ensemble de points singuliers ayant pour dérivé la ligne coupure L, mais il n’est même pas certain, quoique cela soit vraisemblable, que les points de L soient singuliers. Une question du même genre est la suivante : La présence d’un ensemble continu de points singuliers entraine-t-elle l'existence d’une coupure? Cette question parait liée intimement au théorème de MM. Volterra et Poincaré déjà cité.

10. Je n’insiste pas sur les questions que soulève l’étude de ces singularités et je reviens aux fonctions uniformes qui ont un ensemble disconunu de points singuliers. Nous avons montré en somme, dans ce cas, que la fonction imverse a une coupure le long de laquelle,

dirai-je d’une façon incorrecte mais facile à saisir d° après ce qui précède, elle prend une valeur constante. Dans le cas des fonctions unines au moins dans un grand nombre de cas, on peut affirmer qu'une fonction qui prend la même valeur le long d’un are de coupure se réduit à une constante. La question est beaucoup plus délicate à étudier si la fonction à une infinité de branches. Dans la troisième partie j’en aborderai un cas particulier. Mais, en général, la fonction, au voisinage de la coupure, peut se permuter avec d’autres branches qui, elles, ne tendent pas vers la valeur constante donnée, et c’est là ce qui constitue la difficulté de l'étude de ce cas.

S1 l’on démontrait ce théorème d’une façon tout à fait générale, on en déduirait qu'il est impossible que la fonction inverse d’une fonction uniforme sans coupures soit elle-même pourvue de coupures. On montrerait alors sans peine que le domaine d'indétermination en tout point singulier appartenant à un ensemble discontinu comprend tout le plan, et même, en nous bornant alors au cas d’une fonction absolument dépourvue de coupures, que l’ensemble des valeurs exceptionnelles (*) ne comprend aucun continu, linéaire ou superficiel. Dans cette vaste question, nous ne connaissons pour l'instant que deux faits : d’une part, impossibilité de la continuité complète d’après le théorème A ; d'autre part, possibilité d’un nombre fint quelconque de valeurs exceptionnelles d’après les travaux de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes.

A1. Je reviens maintenant au théorème B démontré plus haut et qui nous a été si utile. La démonstration de ce théorème, telle que je l'ai présentée, suppose que la fonction w = F(z) est uniforme. Mais je veux remarquer qu'elle subsiste entièrement si le nombre des branches de w est fini (?). D'autre part, le théorème A subsiste lui

(*) J’appelle ainsi les valeurs que la fonction ne prend pas quand la variable décrit tout le plan.

(2) Au contraire, si le nombre des branches de (2) est infini, on ne peut pas affirmer qu’en un point de l’ensemble limite w prend la valeur a (voir p.15) mais simplement que ce point est limite de points 3, tels que l'équation 3(#) — 2; a une infinité de racines tendant vers à.

36 L. ZORETTI.

aussi comme on le voit aisément, si l’on suppose que æ à un nombre fini de branches. Donc la fonction inverse d’une fonction à un nombre fini de branches n’admet, en outre des points algébriques, que des points transcendants ordinaires. Est-il possible dès lors que la fonction inverse d’une fonction à un nombre fini de branches soit une fonction à un nombre fini de branches ? Les seules singularités non algébriques de chacune de deux fonctions seront des points transcendants ordinaires. D'après le théorème A, ils ne pourront appartenir à un ensemble discontinu. D'où le théorème suivant :

Tuéorèue B’. — Siune fonction et sa fonction inverse ont toules deux un nombre limité de branches, les seules singularttés non alzébriques des deux fonctions sont des coupures (*).

On en déduit encore que si une fonction f (3) a un nombre fini de branches et des singularités non continues, la fonction inverse ne peut pas avoir un nombre borné de branches. Il ne faudrait pas en conclure qu’elle a une infinité de branches, mais seulement que, quel que soit », l'équation f(3) — À —o a pour une valeur convenable de A un nombre de racines supérieur à 7.

42. Ceci nous amène, pour terminer, à dire un mot des fonctions dont le nombre des branches varie avec la région du plan où l’on se trouve. Supposons que la fonction y (x) ait un nombre borné de branches au plus égal à ». Il y a évidemment un point x où ce nombre est égal à », et en déplaçant un peu, au besoin, ce point æ, on peut supposer qu'il n’estsimgulier pour aucune des » branches y,,ÿ2,..., Yan Toute fonction symétrique de y,, Y:, ..., y, est uniforme en x et admet tous les points singuliers non algébriques des différentes branches y. S'il existe alors un point +’ où le nombre des branches est 2 —-p seulement, 1l n’existera aucun chemin allant de x à x’ et régulier pour la fonction symétrique considérée. Donc cette fonction aura une coupure fermée entourant x’. Cette coupure sera aussi une coupure de la fonction y (x) (?). Ce sera une ligne singulière pour p

(1) Ou des points limites de coupures.

(2?) Ce mot à un sens précis puisque y est à x» branches.

SUR LES FONCTIONS ANALYTIQUES UNIFORMES. 35 des branches. Les autres branches seront, en général, régulières sur la même ligne.

Cependant il pourrait arriver que la coupure n’exisie pas et se réduise au point x’ lui-même. En tout point du plan la fonction aurait » branches, sauf en x’ où elle en aurait moins de ». Je citerai l'exemple de la fonction y(&) définie par ye= x quia une infinité de branches sauf pour les points 4 — 0 et x —. Cependant cette fonction n'a pas de coupures.

CHAPETRENTIE