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dans le fragment dont il s'agit : la fonction sera dite continue au point (^o» t Xo» •••) du fragment, si, un nombre positif a de petitesse arbitraire étant donné, on peut assigner un nombre positif (î, tel que la différence

j \ •*% y 9 • • • ) j \ ^o» jo> • • • )

soit numériquement inférieure à a lorsque les différences x — x , y — y , . . . sont toutes numériquement inférieures à (3.

La fonction sera dite continue dans le fragment considéré, si elle Test en chaque point du fragment.

8. Si Von désigne par f(x, y, . . .) une fonction continue dans un espace donné, et que Von substitue à x, y, ... les coordonnées d'un point convergent finissant par ne jamais sortir de V espace en question et ayant pour limite un point (£, y), . . .) de cet espace, le résultat de la substitution est une variante simple ayant pour limite f(% 9 y), . ...).

9. Si fa fonction f(x, y, ...) est continue dans un espace limité et complet (2), on peut, un nombre positif a de petitesse arbitraire étant donné, assigner un nombre positif (3, tel que la différence

soit numériquement inférieure à a toutes les fois que les points

\ x M y%i ' • •)> \ x tt ytj • • •)

sont choisis dans V espace en question, sous la seule condition que les diffé* rences

x 2 &u y* — yu •••

soient toutes numériquement inférieures à (3.

I. i° Nous aurons tout à l'heure à considérer dans un ordre déterminé les combinaisons deux à deux des intervalles complexes partiels provenant de la subdivision d'un intervalle complexe donné (6, II), c'est-à-dire les résultats obtenus en associant de toutes les manières possibles deux quelconques des intervalles partiels. La loi de leur succession peut être choisie de bien des manières, et l'on peut, par exemple, la fixer comme il suit. Les intervalles en question étant rangés d'après

leurs taxes croissantes (6, II), on associera d'abord le premier avec le deuxième, puis avec le troisième, etc. jusqu'au dernier; on associera ensuite le deuxième avec le troisième, puis avec le quatrième, etc. jusqu'au dernier; et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que l'on ait été conduit à associer l'avant-dernier intervalle avec le dernier. Les combisons ainsi formées seront dites ordonnées, lorsqu'elles seront rangées à la suite les unes des autres dans l'ordre même qui a présidé à leur formation successive.

2° Étant donnés deux intervalles complexes que l'on considère l'un par rapport à l'autre dans un ordre déterminé, et auxquels on fait subir respectivement deux subdivisions quelconques (6, II), on conviendra de ranger dans l'ordre suivant les résultats obtenus en associant de toutes les manières possibles deux intervalles partiels respectivement fournis par ces deux subdivisions.

Avec les intervalles partiels provenant respectivement du premier et du second intervalle donné, on formera successivement un premier, puis un second groupe, et, dans chacun des groupes ainsi obtenus, on rangera les intervalles partiels d'après leurs taxes croissantes (6, II). On associera ensuite le premier intervalle du premier groupe avec le premier, le deuxième, le troisième, etc. du second groupe; puis le deuxième intervalle du premier groupe avec le premier, le deuxième, le troisième, etc. du second groupe; et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que l'on ait été conduit à associer le dernier intervalle du premier groupe successivement avec tous ceux du second. Les combinaisons ainsi formées seront dites ordonnées, lorsqu'elles seront rangées à la .suite les unes des autres dans l'ordre même qui a présidé à leur formation successive.

II. En nommant toujours f(x, y, . . .) la fonction dont il s' agit dans notre énoncé général, et désignant par X, |x deux constantes positives, supposons qiCil existe au moins un système de

deux points situés l'un et l'autre dans l'espace proposé et dont les coordonnées semblables présentent des différences toutes numérique- (7) / ment inférieures à [/., tandis que les valeurs prises par la fonction aux deux points dont il s'agit présentent une différence numériquement supérieure ou égale à X.