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soient situés l'un et l'autre dans l'espace donné; 2° que les différences formées avec les coordonnées semblables de ces deux points ne soient pas numériquement supérieures à [x ; 3° que la différence des valeurs prises par la fonction aux deux points dont il s'agit ne soit pas numériquement inférieure à \.

Effectivement, l'espace dont il s'agit, étant limité, se trouve entièrement contenu dans quelque intervalle complexe (6, H), soit

Si l'on divise en p parties égales chacun des intervalles simples de l'association desquels ce dernier résulte et que Ton considère les intervalles complexes partiels fournis par cette subdivision, il existe certainement quelque valeur de p 9 et par suite une valeur minima de cet entier, pour laquelle deux intervalles partiels distincts convenablement choisis contiennent respectivement deux points satisfaisant à la condition (7) : en effet, si deux semblables points (qui, par hypothèse, existent dans l'espace donné) se trouvaient, quel que soit p, situés l'un et l'autre dans un même intervalle partiel, leur distance serait inférieure à

et par suite rigoureusement nulle, ce qui est impossible, puisque la fonction acquiert en ces deux points des valeurs différentes. Cela posé, attribuons à l'entier p la valeur minima dont il est question ci-dessus, ordonnons les combinaisons deux à deux des intervalles partiels qui résultent de la subdivision correspondante (I, i°); arrêtons-nous à la première de ces combinaisons pour laquelle les deux intervalles composants contiennent respectivement deux points satisfaisant à la condi-

tion (7), et considérons ces deux intervalles l'un par rapport à l'autre dans l'ordre de leur taxe croissante, soit

~t — V x <i a ^ » fo a Y , . . .], J; = KàX",/ àY", ...];

effectuons maintenant sur chacun des intervalles complexes & tf S\ la subdivision provenant du fractionnement en deux parties égales de tous les intervalles simples

x a X , y a Y, . . . , x a X , y ai, . . . ;

associons de toutes les manières possibles un intervalle partiel (complexe) fourni par la première subdivision avec un intervalle partiel fourni par la seconde; puis, ordonnant les résultats ainsi obtenus (I, 2°), arrêtons-nous au premier d'entre eux pour lequel les deux intervalles composants contiennent respectivement deux points satisfaisant à la condition (7); désignons enfin par & 2 l'intervalle composant extrait de J$\, par $\ l'intervalle composant extrait de J$\ 9 et considérons ces derniers l'un par rapport à l'autre dans Tordre & 2 , 3\. En opérant sur eux comme nous venons de le faire sur & t , J$\ 9 et ainsi de suite indéfiniment, nous obtiendrons deux suites illimitées

jouissant des propriétés ci-après : i° dans l'une quelconque de ces suites, chaque intervalle complexe fait entièrement partie du précédent; 2 celui de rang q est formé d'intervalles simples ayant pour grandeurs respectives les valeurs absolues de

ou de

selon qu'il s'agit de la suite (8) ou de la suite (9); 3° quelque valeur que l'on attribue à l'entier q, les deux intervalles & q , &' q contiennent respectivement deux points satisfaisant à la condition (7).