RIQUIER
Cela posé, nous désignerons par (u') q la variante complexe ayant pour coordonnées les valeurs extrêmes minima des n intervalles simples qui constituent & , par {u"\ la variante complexe ayant pour coordonnées celles des n intervalles simples qui constituent 2' , et nous démontrerons successivement les points suivants :
i° La variante complexe (u') q tend vers une limite (u') située dans l'un quelconque des intervalles (8) : car la distance des deux points (w') ç , ("')?4-r» inférieure à
(io) ^v/(X'-*;)' + (Y'-/o)' + .--
est infiniment petite pour q infini, et le point (u') q + r reste compris, quel que soit r, dans l'espace complet & (5).
On verra de même que la variante complexe (u") ç tend vers une limite (t>"), située dans l'un quelconque des intervalles (9).
2 Chacun des points (t/)» (*/') est nécessairement situé dans l'espace donné.
Effectivement, si le point (»/), par exemple, n'en faisait pas partie, l'intervalle & q contiendrait nécessairement, en même temps que (u'), quelque point de l'espace dont il s'agit, et la distance de (u') à un pareil point pourrait ainsi devenir inférieure à la quantité (10), par suite à toute quantité donnée. Or, c'est là une conclusion absurde, puisque l'espace donné est complet, et que le point (u'), s'il n'y est pas compris, ne peut lui être que complètement extérieur (2).
3° Les différences formées avec les coordonnées semblables des points (u'), (u") ne peuvent être numériquement supérieures à [/..
Soient
S f "ft 9 • • • y V, t)", ...
les coordonnées respectives de ces deux points;
celles d'un point quelconque commun à & et à l'espace donné;
celles d'un point quelconque commun à & et à l'espace donné. La
SUR LES FONCTIONS CONTINUES d'un NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES. l3
relation
donne immédiatement
val. num.(£"— £')<val. num. (£* — x a )-+- val. num. (£' — x')
H- val. num. (a? ff — ^').
Or on a, en valeur numérique,
et d'ailleurs les points {x\y\ . . .), (x'\y" 9 . . .) peuvent toujours être choisis de telle manière que les différences formées avec leurs coordonnées semblables tombent numériquement au-dessous de jjl. Il en résulte
val. nu m. (X* — x" ) val. num. (X'— x' )
val. num. (£'- £') < ^ ^ 4- —^ ^ -h ji,
inégalité dont le premier membre est une constante, et dont le second tend vers |x pour q infini; il est donc impossible que la constante en question soit supérieure à pu
4° La différence des valeurs prises par la Jonction aux points (t/), (t>") ne peut être numériquement inférieure à \.
Si l'on pose, pour abréger,
on a
/(r.ti f ,...)-/«',V,.-.) = A-A / 4-A',
d'où val. num. [/(£", 10", . . . ) —/(£'» V, ...)] = val. num. A — val. num. (A' — A* ),
et à plus forte raison
t v l val. num. [/(^,yî% ...)-/($', V,...)]
( t val. num. A — val. num. A' — - val. num. A".
l/j RIQUIER.
Or il résulte de la continuité de la fonction f(x,y> .. .) et des inégalités (numériques)
qu'à partir d'une valeur suffisamment grande de q 9 les deux dernières différences A', A", figurant dans le second membre de (n), tombent numériquement au-dessous d'une quantité donnée, si petite qu'on la suppose. D'ailleurs, les points {oc\y\ . . .) et (œ" f y'\ . . .) peuvent toujours être choisis de telle façon que la première A ne soit pas numériquement inférieure à X. On aura donc
val. num. [/(£", n", . . . ) -/(?', V, ...)]>>. - p,
en désignant par p une quantité positive aussi petite qu'on le voudra. Dès lors, la constante qui forme le premier membre de cette dernière relation ne peut tomber au-dessous de X.
III. Adoptons pour un instant la conclusion contraire à celle de notre énoncé général, et admettons qu'en désignant par X une constante positive convenablement choisie, et par [x une quantité positive arbitraire, il existe toujours quelque groupe de deux points satisfaisant à la condition (7).
D'après l'alinéa précédent (II), il existe alors une variante complexe
(V Et I H » v
de nature telle : i° que es deux points
tombent constamment dans l'espace proposé; 2 que les coordonnées
SUR LES FONCTIONS CONTINUES d'un NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES. l5
de ces deux points vérifient les relations simultanées
val. nuin.«,- x 'm)l^
val. num. (f m — y m )<->
val. num. [f{x" mf / my . . >) -/(*'„„/,„, . . .)] 1 *.
La variante (v) m restant toujours dans un même fragment limité de l'espace à in dimensions, une variante
convenablement extraite de (*>)«» sera convergente (6), par suite aussi les deux variantes
D'ailleurs, ces deux dernières tendent vers une limite commune : car les différences
sont infiniment petites pour k infini, puisque les différences
x m x mi y m J ' m>
le sont elles-mêmes pour m infini. Enfin, cette limite commune est nécessairement située dans l'espace donné, qui par hypothèse est complet (5). De ces circonstances, jointes à la continuité de/(#, y> . . .), il résulte (8) que les deux quantités
tendent vers une même limite pour k infini, et par suite ont une différence infiniment petite, ce qui est impossible : car alors, et contrairement à ce qui précède, la différence
serait numériquement inférieure à X pour des valeurs convenablement choisies de m.
itS RÎQUIER.
10. Lorsqu'une Jonction est continue dans un espace limité et complet , sa valeur numérique y reste constamment inférieure à quelque quantité fixe.
Soient a un nombre positif choisi à volonté, et () un nombre positif remplissant les conditions indiquées par l'énoncé du numéro précédent. L'espace donné, étant limité, se trouve entièrement contenu dans quelque intervalle complexe (6, II), et celui-ci d'ailleurs peut être subdivisé de telle façon que, pour deux points choisis à volonté dans l'un quelconque des intervalles partiels résultant de cette subdivision (6, II), les différences formées avec les coordonnées semblables soient toutes numériquement inférieures à (î. Si, désignant alors par g le nombre des intervalles partiels qui contiennent quelque point de l'espace donné, on choisit à volonté un semblable point dans chacun d'eux, et que l'on nomme M la plus grande des # valeurs numériques correspondantes de la fonction, il est clair qu'en un point quelconque de l'espace dont il s'agit la fonction sera numériquement inférieure à M-f-a.
11. Si la Jonction /(a?, y, . . .) est continue dans un espace limite et
complet, et si la différence f(x, y, , . .) — C, où C désigne une constante^ y peut devenir numériquement inférieure à toute quantité donnée, la fonction f(x, y, . . .) atteint certainement la valeur C en quelque point de V espace dont ils agit.
I. A toute quantité positive w, on peut Jaire correspondre, suivant une loi déterminée, un point de l'espace donné où ta valeur numérique de f(x, js . . .) — C ne surpasse pas co.
Nous poserons
fonction évidemment continue, comme f(jx>,y, . ..), d^ns l'espace donné.
Pour la même raison qu'aux n° 9 9 et 10, il existequelque intervalle complexe % K dans lequel l'espace donné se trouve entièrement compris. Divisons en deux parties égales chacun des intervalles simples
Xq a A. y y$ â i , . . . ,
de l'association desquels résulte l'intervalle ,J, ; ordonnons (6, II) les intervalles partiels complexes fournis par cette subdivision, et appelons 3. 2 le premier d'entre eux contenant quelque point de l'espace donné où la fonction ¥(x, y, . . .) soit numériquement inférieure à w. En opérant sur l'intervalle 3 29 comme nous l'avons fait sur £ t9 et ainsi de suite indéfiniment, nous obtiendrons une suite illimitée d'intervalles complexes
jouissant de la triple propriété que nous allons énoncer : i° chacun
d'eux fait entièrement partie du précédent; 2° celui de rang q est
formé d'intervalles simples ayant pour grandeurs respectives les valeurs
numériques de
X — Xi Y — j
3° chacun des intervalles (12) contient quelque point de l'espace donné où la fonction F(x, y, . ..) tombe numériquement au-dessous de co.
Cela posé, soit (u) q la variante complexe ayant pour coordonnées les valeurs extrêmes minima des n intervalles simples dont est formé % q : on prouvera, par des raisonnements tout à fait analogues à ceux que nous avons employés en pareille circonstance dans l'alinéa II du n° 9 : i° que la variante complexe (u) q tend vers une limite (u) située dans l'un quelconque des intervalles (12); 2 que le point (u) fait nécessairement partie de l'espace donné; 3° que la valeur numérique acquise au point (u) par la fonction F(rr, y> . . .) ne peut surpasser <o.
II (*). D'après l'alinéa précédent (1), il existe quelque variante complexe
tombant constamment dans l'espace proposé et donnant lieu à la relation
val.num.F^,,,, y m , •.)-—>
(*) Pour cette seconde partie de la démonstration, voir le Nouveau Précis d'Analyse infinitésimale de M. Méray, p. 5g et 60.
l8 RIQUIER.
dont le premier membre est dès lors infiniment petit pour m infini. La variante {y) m ne sortant jamais d'un espace limité, une variante
convenablement extraite de (p) m % sera convergente (6), et rendra la quantité F(x {k) , y { *\ . . .) infiniment petite pour k infini ; sa limite
sera d'ailleurs située dans l'espace donné (5). Enfin, à cause de la continuité de la fonction ¥(x, y, . . .), la variante (simple) ¥(x {k \y {k) , . . .) aura pour limite F(S, H, . . .) [8], d'où résulte
ou
12. Si la /onction f(x, y, . . .) est continue dans un espace limité et complet, on y peut assigner à sa valeur algébrique une limite supérieure et une limite inférieure, dont chacune est atteinte par la fonction en quelque point de V espace donné.
Il résulte évidemment du n° 10 que l'on peut assigner quelque intervalle (simple) dont la valeur extrême minima soit surpassée (algébriquement) par fin* y y . . .) en quelque point de l'espace donné, tandis que la valeur extrême maxima ne l'est jamais. Si l'on divise en deux parties égales l'intervalle dont il s'agit, il existe un de ces intervalles partiels et un seul jouissant de la même propriété. Sur celui-ci on peut raisonner comme sur le précédent, et ainsi de suite indéfiniment. On formera, de cette manière, une suite illimitée d'intervalles
(i3) a, à A,, aj à Ai, ..., a m k k m , ...,
jouissant de la triple propriété que nous allons énoncer : i° chacun d'eux est entièrement compris dans le précédent; 2° la différence
A OT — a m a pour valeur '^ * ; 3° la valeur extrême minima de chaque
intervalle est surpassée par la fonction en quelque point de l'espace donné, tandis que la valeur extrême maxima ne l'est jamais.
Il résulte des deux premières propriétés que A m tend vers une limite comprise dans chacun des intervalles (i3). Cette limite ne peut être surpassée par la fonction en aucun point de l'espace donné; car alors A m finirait par tomber au-dessous de quelque valeur de la fonction. Enfin cette limite est certainement atteinte en quelque point du même espace; car autrement l'intervalle de a m à A, n comprendrait, en même temps qu'elle, quelque valeur de la fonction, et cette dernière s'approcherait indéfiniment delà limite en question, ce qui est impossible, à moins qu'elle ne l'atteigne (1 1 ).
Il existe donc une limite supérieure satisfaisant aux conditions énoncées, et l'on prouverait de même l'existence d'une limite inférieure.
Principe fondamental de la théorie des équations algébriques.
13. Nous nommerons premier et second élément de l'imaginaire a! + ia" les deux quantités réelles a\ a".
Si aux n variables
(i4) oc = x' 4- ix*> y=y'-}-iy",
on attribue tous les systèmes possibles de valeurs imaginaires, les systèmes de valeurs réelles que prennent alors leurs éléments redonnent les divers points de l'espace indéfini à in dimensions. Il arrive d'ailleurs sans cesse que l'on ait à considérer exclusivement dans telle ou telle question les systèmes de valeurs des n variables (i4) fournis par tel ou tel groupe de conditions subsistant entre leurs in éléments.
Dans les questions qui comportent la considération de n variables imaginaires, et par suite de l'espace à 'in dimensions, on désigne un point quelconque de ce dernier tantôt par les n valeurs imaginaires attribuées aux variables dont il s'agit, tantôt par les in valeurs réelles attribuées à leurs éléments.
14. Considérons une fonction de n variables imaginaires/(o7,j, ...), définie dans un fragment déterminé de l'espace à in dimensions, et désignons par (# ,y , ...) un point fixe, par (x, y, .. .) un point variable, situés l'un et l'autre dans le fragment dont il s'agit : la fonction
20 RIQIÏER.
sera dite continue au point (x ,y , . ..) du fragment, si, un nombre positif a de petitesse arbitraire étant donné, on peut assigner un nombre positif [3, tel que la différence
f \ x 9 y y • • • ) fy&of y o> • • • )
soit de module inférieure a lorsque les différences a? — oc , y — y , ... sont toutes de modules inférieurs à (3.
La fonction sera dite continue dans le fragment considéré, si elle Test en chaque point du fragment.
Par exemple, une fonction entière de n variables imaginaires est continue dans tout V espace à in dimensions.
15. Il est clair que les deux éléments d'une fonction de n variables imaginaires, et par suite aussi son module, sont des fonctions réelles de leurs in éléments. Cela posé, lorsqu une fonction de n variables imaginaires est continue dans un fragment donné de l'espace à m dimensions, son module, considéré entre les mêmes limites, est une fonction continue des éléments des variables.
Soient en effet f et /les valeurs respectivement acquises par la fonction donnée au point fixe
( ^o» y 09 •.•)-— v^o ~^~ l *^o y yo ~*~ i y o > • • • )
et au point variable
du fragment considéré. Puisque la fonction est supposée continue, on
peut, un nombre positif a étant donné, assigner un nombre positif (ï,
tel que la relation
mod(/— / )<a,
et à plus forte raison la relation
val. num. (mod/— mod/ ) < a
soit une conséquence nécessaire des inégalités
mod(# — x )<fi 9 mod^-^oXP,
Or il suffit, pour que ces dernières soient vérifiées, que les différences x' — x , af — x" o9 y' — y\> y" — y\% ... soient toutes numériquement
inférieures à -~
