I. Nous établirons d'abord le lemme suivant

Si le terme constant k est différent de zéro dans l'équation binôme

il existe quelque valeur de x rendant le module du premier membre inférieur à celui de k ( ' ).

i° Notre lemme est vrai pour une équation binôme de degré impair m = 2(x-t- i.

Désignons en effet par k' et k' les éléments, non nuls à la fois, du terme constant k, et par $ une quantité réelle provisoirement indéterminée. Pour x = £, le module du premier membre devient

pour x = i% 9 ce même module devient

Si donc k n'est pas nul, l'expression (i5) montre que la valeur x = % satisfera aux conditions de l'énoncé, pourvu que Jj soit de signe contraire à A' et que sa puissance /n iéme lui soit numériquement inférieure; si k" n'est pas nul, l'expression (16) fait voir qu'il suffit de prendre x = i!j, en choisissant pour $ une valeur de signe contraire à (— i)^", et dont la puissance m iéme soit numériquement inférieure à k" .

2° Toute équation binôme du second degré admet quelque racine. Effectivement, soit

x*=za' ■+■ ia"

( ! ) La démonstration de ce lemme est empruntée au Nouveau Précis d* Analyse infinitésimale de M. Méray (p. 70 et 71).