RI Q MER

l'équation considérée, où a\ a" désignent des quantités réelles. Si à et a" sont nuls tous deux, l'équation est vérifiée pour x = o. Si a" seul

est nul, elle Test pour x = s[d ou pour x = iyj— à , suivant que a! est positif ou négatif. Enfin, si a" n'est pas nul et que a désigne le module de a! + ia!\ l'équation est vérifiée pour

ou pour

suivant que a" est positif ou négatif.

3° Notre lemme, démontré pour une valeur impaire de m, est vrai pour une valeur paire.

On peut poser, en effet, m = 2*(x, [x étant impair. D'après ce qui précède (i°), (2 ), il existe une valeur £, vérifiant l'inégalité

mod(/:f -+- k) < modAr, puis des valeurs k 2 , A,, ..., k q + t vérifiant les égalités successives

k 1 — £ k* — le k* — k

Aj Aj, A3 Aj, •••> A 7+l A 9>

de la combinaison desquelles on déduit

k %q —k Il en résulte évidemment

mod (**'£ -hk)<modk.

II. L'équation du premier degré ax -+- b = o étant vérifiée pour

x = y il suffit de faire voir que, si le théorème est vrai jusqu'au

degré m — \ inclusivement, il est encore vrai pour le degré m. Considérons donc une équation entière de degré m

désignons par 6 le module du terme constant et nommons R une quantité positive, telle que le module de/(o7) soit supérieur à 6 pour toute

valeur de x = x'-hix" de module supérieur à R. Dans l'espace limité et complet que définissent les relations

(6, H), la plus petite valeur du module de /(a?) (12) (13) (14) (15) est au plus égale à 6, et il résulte de là que, si Ton considère toutes les valeurs possibles de la variable imaginaire x 9 le module de la fonction atteint, pour quelqu'une d'entre elles, une valeur au-dessous de laquelle il ne tombe jamais. Nous avons à démontrer actuellement qu'une pareille valeur est de toute nécessité égale à zéro, et il suffit pour cela de faire voir que si une valeur x n'annule pas notre fonction entière, il existe quelque autre valeur de x rendant le module de la fonction inférieur à celui qu'elle prend pour x .

Or, en faisant x = x -h A et développant par la formule du binôme les divers termes dc/(a? -h A), on a

07) /"(*•+*) =/(*o) -h hMx )+...-hh m f m (x ) 9

f t (x),f 2 (x), .. ., f m (x) désignant certaines fonctions entières de degrés respectifs m — i, m — 2, . .., o, et dont la dernière, f m (x) f est précisément le coefficient du premier terme de /(x). Dans le second membre de (17), les coefficients extrêmes f(x ), / m (x ) sont donc l'un et l'autre différents de zéro.

Cela posé, si tous les coefficients intermédiaires sont nuls, il existe (I) quelque valeur de A rendant inférieur au module de/(x ) celui de

Si tous les coefficients intermédiaires ne sont pas nuls et si l'on suppose que f p (x ) soit le premier différent de zéro, la formule (17) devient

/(*o-h h) =f(x ) -+- hP/ p (x ) -h . . . -h h'»f in (x ).

Posons maintenant

et soient u. la racine pi ème du module de **, , » N une constante supérieure au module de 9 (A) pour toutes les valeurs de A de module infé-