CHAPITRE IL

Le problème d’acoustique précédent, envisagé dans le cas simple de la symétrie circulaire, nous a conduits à la considération de fonctions périodiques orthogonales etnormables. C’est à ces fonctions envisagées maintenant dans le cas général, que nous allons nous intéresser pour elles-mêmes, et en nous dégageant peu à peu de leur signification physique.

Revenons donc à l'équation des ondes V2p + k?p — 0, écrite dans le système de coordonnées précédent

0 chncCosE; 3 z —=-f shn sint;

(1) Voir par exemple, Hogson, Spherical Harmonics, p. 305.

cherchons-en cette fois des solutions à variables séparées en £ et 7, mais dépendant de », c’est-à-dire de La forme

p = U(E) V(n)cosme.

On suppose tout de suite que » estentier pour que les solutions présentent encore une signification physique simple. On obtient alors pour U et V des équations différentielles linéaires qu’on peut simplifier tout de suite de manière à faire

Lorie 26 . n

disparaître dans le coefficicient de U (ou de V)

qui revient à chercher tout de suite une solution de la rt p = cos"€ chn U(E) V(n)cosmo.

Les équations différentielles en UÜ et V s’écrivent alors

(Ep) De — (2m +1) SET + ( a + ke? sin? E)U = 0, diN

(Hr)

aV PPT rene +(—a+k shn) V =0o,

que nous appellerons dans la suite respectivement (E,) et (H,) pour rappeler que la première provient de l’équation du son sur un ellipsoïde plat et l’autre sur un hyperboloïde réglé.

Tout d’abord, remarquons que (E,) est l'équation que M. Humbert a appelée (à un changement de fonction très simple près) l’équation de Mathieu associée (parce qu'elle joue par rapport à l’équation de Mathieu ordinaire un rôle ana-: logue à celui de l'équation de Legendre associée par rapport à l'équation de Legendre).

Cherchons à l’étudier comme celle du Chapitre I. Pour cela, regardons ce qu’elle devient quand on fait À — 0. Elle s’écrit alors

= CRHIDEETE ENT EU [42

ee :

Gette équation, connue, est dite de Gegenbauer (!). Comme:celle de Legendre, elle admet des solutions polynomiales en sin£, si & est choisi égal à n(n + 2m +1).