LES RE
pex(£) (*) car les fractions continues convergent [même rapidement (? )], réciproquement, si le système est compatible, ou pourra calculer les coefficients Ar à un facteur près.
Comme +, tend rapidement vers 2810 (*), si r tend vers l'infini et que |P,(sin£)| 7, la série converge. |
Condition d’existence de pex. — Cette condition qui est une équation transcendante entre les paramètres a et k s'écrit ainsi
DE) Das à cr É é 3 Po — re 4 an rat #1 Papi —
2 ki He LES r(r —1)Æt es Re RE 7 (r—2)(r +n@r—3)@r—1)(or +i) AT
°r prend les valeurs tmpaires. — Etude analogue. La condition entre a et k VAE à = s'écrit
1 I , da Us Us Uz Ho D 6) Er? (2 nn pos = 1] P9 p+1 NUE
où les w, et s, ont les mêmes valeurs.
Chacune de ces deux équations représente une courbe dans le plan des (æ= a, y—k?). Chacune des courbes se compose d’une infinité dénombrable de branches pour lesquelles, si X ne prend que des valeurs réelles, les points ‘r(r + 1) sont des points d’arrêt.
Ince (*), a indiqué, dans un cas analogue, comment construire ces courbes en calculant les coordonnées de leurs points. Les premières de celles-ci ont été construites également et les tables des valeurs caractéristiques établies pour quelques valeurs de Æ (k < 20).
Si l’on désigne par T(a, f?) — o l'équation transcendante qui détermine les valeurs propres (équation caractéristique) et qu’on construise la courbe qui la représente dans le plan des (a, £?), on obtient une infinité de branches, qui ressemblent à des demi-droites issues des points d’abscisses N(N +1) de l’axe des a, mais qui, pour X infiniment grand admettent des branches paraboliques, très voisines d’ailleurs de celles des fonctions de Mathieu ordinaires.
Au point d'arrêt [N(N +1), 0] d’une ce ces branches, l’intégrale entière en sin£ obtenue est un polynome de Legendre. Soit B, la branche de courbe issue de ce point. Chaque point M de cette branche By donne naissance à une intégrale entière pe,(£) développée sous la forme
pex(E)= Ao+Ÿ AP,(sinE).
(1) Cf. Ixcx, Proc. Royal Soc. of Edinburgh, 1925.
(2) Voir, par exemple, PerroN, Xettenbrüche.
(3) La démonstration est la même que pour les fonctions de Mathieu : voir, par exemple, Mac LAcHLAN, Theory of Mathieu functions, p. 37.
(“) Proc. Royal Soc. of Edinburgh, 1931-1932.
as AD
‘0 Tous les A, sont des fonctions de Æ qui se calculent de proche en proche par le : | système de récurrence précédent, et qui s’annulent pour Æ —o, sauf A, qui : devient égal à une constante numérique.
On démontre, comme dans le cas des fonctions de Mathieu, que deux fonctions pe, (£) et pe, (£) satisfont à des relations d’orthogonalité
HT [ pen(Epen(E) cost =
9%" étant nul si »#'=< n et non nul si r/— ». On peut donc normaliser ces fonctions, les A, étant définies à un facteur près. Il suffit de calculer
+T J peñ(e)cost &, qui vaut, par exemple si » est pair
RTS Y n Day net 1 A2.P2(sinE)cosE dE = N 2" à “he 27 3r( 4) ë Ë LISTE 0 0
quantité qui, pour que la fonction soit normalisée, devra être égale à 1. M. Humbert (!) avait introduit dans cette théorie non la fonction pea(£),
mais cle) — Vcosépen(E) qui est solution de l’équation de Mathieu associée où l’on a fait disparaître le terme du premier ordre. La relation d’orthogonalité est de ce fait un peu plus simple, le facteur cos£ ayant disparu, néanmoins nous avons préféré ici garder la fonction pe, qui a, sur la fonction de M. Humbert, l’avantage de ne pas comporter de singularités.
Intégrale générale de l’équation (3) pour les valeurs caractéristiques. — Si a et Æ? sont liés par l’une ou l’autre des relations (5) ou (5') on a une première intégrale pe,(£) qui est périodique. Il s’agit d’en avoir une autre, pour que léquation soit intégrée. Cette autre n’est pas périodique sans quoi on lPaurait trouvée. D'ailleurs, si on la cherche par la méthode élémentaire en posant
Un = Ur f œ vi Wx, on trouve sans difficulté
1 + sin UX= 2 LRU I— sinË
à Üx + W,
Ux étant pe,(£) la première intégrale et W, une autre fonction périodique, entière en sin£.
Cette intégrale L, se réduit d’ailleurs, quand X?— o, à la deuxième intégrale de l’équation de Legendre Q;{(sin£). Pour cette raison, nous proposerons de la désigner par ge, (£) et l’on cherchera selon le même processus à la développer en série des éléments Q,;(sin£).
(:) Proc. Edinburgh Math. Soc., 1921-1922.
Soit donc .
gente) = B,Q,(sinE)
ou
I I+sin JENVENENEE | Lise
— sin Ë
DE Fins ing) Ts, W,.
Or > B;P, est la première solution, donc B;,— A, à un facteur près. La deuxième = solution s’écrit donc
gex(E)=Ù Ar Q (sine).
Cette série converge absolument, comme l’autre, car d’une part
Ar a EL 72° de plus 1 ï | W..| =] PP PP re PAP | = D Logr, donc We le Intégration de l’équation (3) dite modifiée. — Les valeurs de a étant calculées
par l'équation caractéristique (5) ou (5'), il reste à intégrer l’équation modifiée.
Ses solutions seront désignées par pehx(n) et gehx(n).
Les développements de ces solutions en séries respectives de P,({shn) et Qy(ishn) sont immédiats et convergent comme le montrent aussilôt les expressions asymptotiques de P,(£shn) et Qx(£shn) (1).
