NT

Ce sont des polynomes habituellement désignés par C, ”, et qui sont liés simplement, si m est entier, aux fonctions de Fee associées. Si lon pose comme Gegenbauer

mm + : —V, SIDE 2 un tel polynome s'écrit C° (2) = Roue Là RS 1). Na n(n—1)(n—2)(n—3) FT ESS $ T(v)F(n +1) I(RA+HV—I) 2? 1.2(Nn+V—1)(n+v—o2) 2#

(:) Wiener Sitzungsberichte, t. T0, 1874, p. 434-443; t. T5, 1837, p. 391-396; t. 97, 1888, p. 295- 316; t. 102, 1893, p. 242.

- Pour résoudre le problème des valeurs propres de l'équation, cherchons-en donc, comme au Chapitre I, une solution sous la forme de série de tels polynomes (où

nous remarquons que, puisque »? est supposé entier, v est pour l’instant toujours - égal à la moitié d’un impair)

DCE) = A0 CG) (siné) + AÉCY(sinE) +.:.-+ AVC sinE) +. Appelons ici peY(E) l'intégrale UX qui se réduit pour Æ — o à CX(sin£); on aura per (E, #)= Aÿ + Ÿ AY C}(sinE), ] avec cette condition que pextE, o)= ANCN(sinE) (AX facteur numérique).

Pour calculer les A}, on substitue donc cette expression dans (E,). On s'appuie sur les formules connues

CNT" C2) + Cut) — 223 (3) = CN(2);

NOX(Z)—2(N+vy—1)zCY ,(3)+(N +y—2)CX ,(3) =0.

Les premiers polynomes étant eux-mêmes liés par

=(v+nz0Ot= 2v(v +1) 0 + vC

et CY étant une constante qu’on peut prendre égale à r.

La deuxième relation appliquée deux fois, permet de tirer

I c Gi s 220= = [Rrse Os + Sr C++ Tr Oo |,

avec Ts =4(r+V)(T+v—i)(r+v—2), Ro (r+i)(r+v—t1)(r +2), Sr (r+1)(r+v—1)(r + 2v)+r(r + v 4) (r +29 —1),

To (r+2v—1)(r + y +I)(r +y—2).

La relation entre les A? s’écrit donc

LR ea ot lai

(6) fe rtr+aate |

; ; ; j Gers ë Notons que cette relation doit se réduire si y — - à la relation (4) trouvée au