PERTE
1° r prend des valeurs paires. — Les relations s’écrivent
rs TORDNE M [ententes
I 3 (1+vy) (2v +1) te (+1) (2v+3) Fe 2V(V+1) res 20H02) 7 1 ER ee n(n—1) d M none) Co vi) A (n+i)(n +2) n(n+2v—1) ee # + renceses En +V)(REvV— Tr) k?
(Rn+H2VY)(n+2V+I1)
408 AS ee ; MT er v EDR FN 0)
CR
| FRERES } 2(V +1) ee (2v +1) £t ae 4(V+H1)(v +2) u? Up Po: I 6 k2 a à] : 4 = 2 2 © À 1 — DRE p} | V+I lee re : è 2 avec T,-°R,4# ne , 7 XX r(r—2)(r+2v—2)(r +2v) Sy —+a A RE Ar TT r(r +2)
On forme de même l’équation si r prend les valeurs impaires.
Il y a lieu de discuter le système d'équations précédentes dont les coefficients ne sont pas toujours définis, ou peuvent donner lieu à des circonstances
particulières.
Discussion. — a. La relation fournissant z°C* en fonction linéaire de C* ,, C* T 7—2) F2?
duire puisque » est la moitié d’un impair.
. est toujours valable sauf si 7 + v peut être nul, ce qui, ici, ne peut se pro-
b. Reste à considérer si l’on peut toujours former l’équation caractéristique. Il
n’y a de difficulté que si certains coefficients deviennent nuls. |
Il peut arriver que le coefficient de A”,, soit nul, ce qui peut se faire si À—— 2y où —2y—1, C'est-à-dire si 2v est un entier négatif. Comme nous n’envisageons pas, pour l'instant le cas où y lui-même est entier, il n’y a lieu de se soucier que du
cas où » est la moitié d’un impair négatif.
Si P=— 2 (P entier impair).
La relation de récurrence en A,, A, A*, se réduit à celle-ci P(P—:) (P+1)(P +2v) \ he pp Ar] pp
P(P+oy—:) Le POP) FPE NUE CU 72 Fe 5
anis A, El Œé à ANT Got ot te lc AU AE LS PA AE PTUED POELE ET CNT * pi "à Ma r 1
On peut y satisfaire de deux manières :
a. Ap—0. — Le coefficient de A,-, étant alors différent de zéro, on en déduit que Ap, — 0; et comme deux coefficients consécutifs sont ainsi nuls, tous les pré-.
+ cédents le sont, donc, A,—A;—...—A,—0o.
La relation suivante s'écrit, puisque A, est nul, 2(P +3) I a—2(P +2) 245 D Se retire) Re (7) RS a te PE le RS (EM Een
et les autres s’écrivent ensuite normalement. Le système part donc d'ici et tous les coefficients précédents sont nuls. L’équa-
Aps n’a pas écrites) et en l’égalant à la valeur fournie par (5).
tion caractéristique s'écrit en tirant le rapport des équations suivantes (qu’ on
Elle est transcendante et la courbe se compose d’une infinité de branches issues des pote a nr —P) de l’axe des a(n >P). La solution correspondante
s'écrit Ya? C*. Étude analogue si P — — 2% — 1. p+2 b. A»: 0. — Dans ce cas, la relation pour nr — P s'écrit
P(P—:) I & | Pro meee tre
la première des équations du système ne contenant également que deux termes, la
Ap>
condition de compatibilité du système s’obtient en annulant un déterminant Jint (ou par une équation à fraction continue finie). Cette condition étant réalisée, le système des équations suivantes (r > P) comprend une infinité d'équations et
détermine Ap,», Ap,:, -.. en fonction de À, choisi >< de o. La solution est donc
ici de la forme Dr C’, mais l'équation caractéristique est algébrique de
degré : — y.
Cette discussion met donc en évidence des cas où la courbe caractéristique se décompose en une infinité de branches transcendantes et en nombre fini de branches algébriques (correspondantaux plus petites valeurs de l'indice n des fonctions pe” obtenues). Ce cas n'arrive jamais pour les fonctions de Mathieu ordinaires.
. —— La première équation du système se réduit
Exemples. — TI. »—— à Aç(a—+k?) == 0;
1° A,— 0. — On écrit alors la deuxième, la troisième etc., on a une équation caractéristique avec une fraction continue infinie el une infinité de racines.
2° A,5<0. — Il faut alors a+ k?— 0.
Dans le plan des (a, k?, f) cette courbe est la deuxième D cUiee des axes des coordonnées.
En supposant À, ;< o pour obtenir le cas de l’équation algébrique, celle-ci s’écrit A 9)
(a+qg}+2a—g)=o,
équation d’une parabole de direction asymptotique parallèle à la deuxième bissectrice et passant par les points a—0, a ——2. (Comme g— #?, seuls sont à retenir les arcs g >> o de cette parabole.)
= 5 2 [TI. Prenons enfin y —— 5? nous avons une cubique (a+ q}+ ag —6q +ioa +2%a—8q = 0.
On vérifie que les trois branches de la cubique précédente sont paraboliques et admettent pour direction asymptotique commune celle de la deuxième bissectrice des axes (a, g).
Ce résultat est en accord avec celui qui a été établi par Ince (*) relativement aux branches infinies de l’équation caractéristique des fonctions de Mathieu. Le calcul de Ince se généralise facilement au cas où » est quelconque, mais fini (?).
Le résultat obtenu est alors celui-ci :
Si k est très grand, le développement asymptotique de la valeur propre de a s'écrit (pour une fonction pe»),
In
1 1 I a=— + (2m+i)k— r Los+ om enr AUS —Y | + o(p):
Le
Les courbes ont une direction asymptotique commune, celle de la deuxième bissectrice, elles n’ont pas d’asymptotes.
Convergences des solutions ainsi calculées. — De la relation (6), divisée
par A’, on tire
j s : AY [e—ren+et]+ef HA x er] =, OÙ pr ES
Ar hp Pro A .
Àr+2
On montre, comme dans le cas des fonctions de Mathieu, et de celles du Chapitre I, que ce rapport tend vers zéro quand 7: tend vers l'infini. (5) montre
alors que, pour # fini, #2 n quand r -> , ce qui prouve que la convergence
(*) INGE, Proc. London Math. Soc., 1923.
(?) Si y est lui-même infiniment grand, on à à étudier les nappes de la surface caractéristique Voir C. R. Acad. Sci., 225, 1947, p. 371-373.
Ut ER
. de celte série est comparable à celle de la série 22, où p.vaut- = (dans le cas
4 tp DE Cryo(siné) CCE) |
- Pour l'étudier, repassons aux fonctions de Legendre,
où rest pair). Reste à considérer le rappport
À L1 p: ° s S y " = = CS FM s.
V 1 1 A7 Vite PS FE ®
Ge Le rapport = tend donc vers 1 pour r croissant indéfiniment et la série A’ C* con-
verge A comme la série AY (!).
Normalisation. — Ce procédé donne seulement les A’ à un facteur près. Pour déterminer ce facteur, nous ferons appel au fait que les fonctions ainsi définies - peuvent être normalisées, et doivent l’être pour être utilisables. On se sert pour
cela de la propriété connue de quasi-orthogonalité des polynomes de Gegenbauer
{. Cr(siné)Cr, (sin£)cos?VE dE — CAE
On en tire pour les fonctions pe’ , la propriété 1e PenK(E)Pen(E)cosvE dE = Ô;;,
ce qui permet d'écrire l’équation de normalisation sous la forme
T Ç T(n+2v) DR EAEVE) (+ v)l(n +1)
Intégrale générale pour les valeurs caractéristiques. — 1° On peut déjà calculer une deuxième intégrale de l'équation par la méthode d'Euler, comme on . le fait pour les fonctions de Mathieu ordinaires.
2° On peut encore procéder en cherchant la deuxième intégrale sous la forme y=uf +w,
[ étant la première solution pe à condition de choisir alors w pour que
u 1\28sIMmE ie ; AVES Le (V4 =; OUT NL CUS Le,
cos?£
w est fournie par la même équation que f, mais avec un deuxième membre qui est
Spor cosiT? Re)
(:) Hozson, Spherical Harmonics, p, 303.
