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On peut alors faire le changement de fonction

D — cost VE X< À.

À L’équation qui fournit À est alors celle qui donne pe,,, ; (£), mais avec le deuxième

cer à membre FT -

3° Enfin, on peut utiliser un développement où chaque élément est une fonc-

tion H'(sin£) de Gegenbauer [fonction qui généralise la fonction Q,(sin£) de

Legendre au même titre que le polynome C* généralise le polynome P, 1.688

r fonctions sont peu utilisées, mais M. Humbert en a donné une expression plus

| simple que celle de Gegenbauer, dans son Mémoire (!). La convergence du

développement se démontre comme au Chapitre 1.

Intégration de l’équation modifiée. — On sait qu’il suffit de changer £ en in eta en — a pour passer de l’équation (E,) à (H,), dite modifiée. Les développements en série de polynomes C* deviennent donc des développements en série

x . : I de C(ishn). Pour n très grand on montre, comme dans le cas de y — - que le

rapport d’un terme au précédent tend vers zéro puisque

I VE T T(n +1) PA(rehn}l = e T(n +1) sh(n+ 2) ‘ i(s —m<) CSST D re — ——Z—Z- URL { r(n+;) Vchn

Remarque sur l'identité de certaines solutions. — Si l’on fait, dans l'équation (E,)

le changement U = cos X< 1, elle devient :

(E}) De fees O0 4 sims = 0, forme sans terme du premier ordre, où le coefficient de U montre que le changement de » en 1 —v ne modifie pas l’équation. Le changement y — cos'-2'E Y dans l'équation étudiée (E,) doit donc donner une équation du même type. C’est ce qu’on vérifie facilement. Pour préciser, si dans l’équation de Gegenbauer on fait le changement de fonction précédent, on obtient encore l'équation de Gegenbauer, à cela près que » y est remplacé par 1 — » et n par ñ + 2v—1.

Si l’on repasse à l'équation de Mathieu associée, on vérifie, et M. Humbert le signale dans son premier Mémoire, que

pen(E) = cost NEper sy (€),

cela montre qu’on obtient donc d’autres fonctions du type pe, mais qui viennent s'appliquer sur les précédentes en changeant v en 1 — ».

Les cas de décomposition des courbes caractéristiques signalés dans la discussion et qui ne se produisaient apparemment que pour » négatif peuvent donc se —————

(*) Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1918.

produire aussi à l’occasion de » positif. Il suffit, de changer, dans les différents - cas particuliers déjà trouvés, » en 1—» et n en n + 2v— 1.

: 3 5 On vérifie sans peine que, par exemple, les cas v — ©, v — ?, y — 7 donnent 2 2 2

lieu aux mêmes décompositions (même droite, même conique, même cubique) - que ceux déjà trouvés ci-dessus.

Cas où m n’est plus entier. — On peut être amené à étudier l’équation précédente dans le cas où m n’est plus entier, de la même façon qu’on a à le faire pour les fonctions de Legendre associées. On ne suppose plus alors forcément que les - paramètres sont entier, ni même réels (!). L'étude générale sera abordée au - Chapitre II; ici, nous supposons encore x entier réel, parce que, dans ce cas,

l'équation de Gegenbauer en 4 admet encore, quel que soit v, une solution polynomiale C}(z), que l’on peut continuer à utiliser comme élément de série pour les solutions cherchées.

La méthode de recherche et de calcul de la solution est tout à fait la même. Quand il intervient une expression comme cos’£, on convient avec Ince (2) qu’elle désigne la branche principale de la fonction, c’est-à-dire celle qui est réelle et

positive pour — : NES

Ici, dans la discussion du système récurrent, aucun cas particulier n'apparaît et l’équation caractéristique ne comporte pas de décomposition. Elle est donc transcendante.

Reste toujours le cas où » est un entier négatif, qui sera traité complètement au Chapitre IIT. Remarquons ici seulement que la méthode présentée précédemment ne s’applique plus dans ce cas, car il est impossible de calculer z?C* en fonction linéaire des C? (le coefficient de 3?C7 s’annulant).

Ce cas exceptionnel n’est pas surprenant, si l’on se rappelle que les polynomes de (Gegenbauer sont les coefficients de A" dans le développement de (Q—2hz+h)

Il est clair que si » est un entier négatif, ce développement est fini etles C* sont tous nuls pour ñn >— 2».

Dans ce cas, le développement DEC, de pe’, s’il était valable, se réduirait à

un polynome. On vérifie qu’il n’en est rien.

- On peut d’ailleurs, pour » entier négatif et pour nñn > — 2v définir d’autres polylomes PY qui satisfont à l’équation, mais ne sont plus définissables par (i—2hz+h).

L'expression de ces polynomes est connue (voir ci-dessous) et ils vérifient naturellement la même équation de récurrence.On peut se demander s’ils ne seraient pas définissables à BAEUT d’une fonction génératrice autre que (1— 2h: + h?).

M. Pierre Humbert m’a communiqué à ce propos qu’il avait été lui-même conduit

àse poser cette question (au sujet des fonctions superharmoniques dans le plan).

(1) Hogson, Spherical Harmonics., p. 179.

(2) Inc, Proc. London. Math. Soc., 1923.

NE

Et il a constaté que les polynomes C* pour y > —92v pouvaient être définis à. partir de la fonction Am LEE )=Y Log(i—2hz+h?)

si l’on développe cette fonction sous la forme

DanPh(s) (H=y> 0)

et si l’on dérive par rapport à h, on obtient P PP ; Qu(1—92hz + MIA HUE Dhz 4h)

+o(hA—z3)(i—0hz+h? put Ÿ ni PE 2).

et en multipliant par 1—2h2z+/h?,

ou(h — 2) hrPÉ(2) +o(h—z2)(i—2h2+ hi =D eh PY(z).

Le deuxième terme étant un polynome de degré 2u—1 n’a pas. d'influence sur les termes en À de degré supérieur, En fait, pour r > 2u on obtient pour les P# une formule de récurrence qui est justement celle des CY(v —— y).

On peut donc les calculer de proche en proche, Sonine dans son article sur les fonctions de Bessel (!) donne d’ailleurs les expressions distinctes de ces deux catégories C? et PF de polynomes. C} a été écrit ci-dessus, et si n >> 2(1—»)

(az) DES MER ON