LE RE

Remarque sur certaines notations employées antérieurement. — Ce sont les solutions ce, (E)— cos" pe;(£), de l'équation (E}) que M. Humbert a appelées fonctions de Mathieu associées.

Si l’on fait » — o la relation de récurrence des pe* doit se réduire à celles des coefficients de Fourier de l’équation de Mathieu ordinaire. C’est ce qu’on vérifie de même facilement en remarquant que

C?(cosô)— = cos nr.

(Il importe de faire attention que l'équation caractéristique qu’on trouve par cette méthode n’est pas exactement celle que donne Ince, le 4 habituel de l’équation de Mathieu étant associé à — 2 g cos2Ë et non à A?sin?f comme ici.)

Par ailleurs, M. Pierre Humbert, qui considère les fonctions pe* développées en séries trigonométriques, ou en séries de fonctions de Mathieu ordinaires, désigne par ce;(£), la fonction qui se réduit pour » = o à ce,(E). Ici, nous dési-

(:) Math. Annalen., 1871, p. 1-78.

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gnons par la même notation la fonction qui se réduit pour k —o à C;(sin£). Ces définitions ne sont pas identiques, car si l’on fait tendre » vers zéro dans

Le I ; . . Ts $ ‘ « . EC C}(sin£) on trouve n COS AE (si n est pair) et zsinné (sin est impair). Mais cette

. distinction du début disparaît lorsqu'on a pratiqué les normalisations, car alors la

+ fonction de M. Humbert et la nôtre sont définies à des facteurs constants près, et

ces facteurs seront différents, selon qu’on norme la série trigonométrique ou la série des C, alors la valeur obtenue pour ce}(£) est toujours la même et telle que

J Lee æ=r,

ce qui rend d'accord toutes les définitions.

Définition des fonctions se,(£). — On voit sur sa forme même que l'équation ne change pas si l’on change » en 1—», c’est dire qu’associée à la solution

cen(E)= cos'E pe, (E), de valeur caractéristique À — A(k, »), existe une autre solution de l’équation, soit cem (E)= cos! VE per” (E), de valeur carattéristique À — A(k, 1 —»).

Si À — 0, A se réduit à (n +v}?, A à (nl + iv}. Supposons pe’, paire en sin£ [soit pe, (£)], son A, est de la forme (22 +V}+ Bon(v, A2), B;, étant une fonction entière de » et de k?. Si y tend vers zéro, l’équation [E}] tend vers celle de Mathieu et la fonction

en, (E) vers pes, (E)= Cesn(E) qui se trouve ainsi toute développée en séries de Pésn(s Pen (s

cos 2rË.

L'autre solution pei,(£) se trouve ainsi développée en séries de polynomes

Cy,(sin£) qui sont les polynomes solutions de l’équation

J'— 21gEy'+2r(2r +2)y = 0, d’où l’on déduit aussitôt que la fonction cos£C;, (sin£), elle, est solution de

La fonction cos£ pe! (£) n’est autre qu’une fonction de Mathieu ordinaire de type impair, Seor a (E).

On peut ainsi introduire une nouvelle notation qui généralise directement celle des fonctions de Mathieu ordinaires; Ince a posé

ce (E)= se}, 1(E).

Ainsi, lorsque K tend vers zéro, une fonction du type de Mathieu associée qui se réduit à une fonction se* s’appelle elle-même se’. Mais, en réalité, il n’y a pas ici de distinction radicale, comme pour les fonctions de Mathieu ordinaires, entre les fonctions de type ce* et celle de type se;. Cela tient à la présence du paramètre continu v qui réalise la jonction entre une famille et l’autre. Nous ne nous préoccu-

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