BR HN SION I DUT
Revenons au cas général de v quelconque. Il y a lieu de faire une discussion du système comme au Chapitre IL. Tout d’abord si À + vest entrer, les relations n’ont pas de sens, nous réservons ce Cas.
Ensuite, comme À n’est pas entier, seul le coefficient du troisième terme de la relation peut s’anuler (si À + y est entier £o ; À + y n'étant pas enlier, ce cas ne peut se produire si vest entier). Il existe alors une valeur de lindice variable entier p qui annule ce troisième terme; soit À, l'indice tel que AŸ,,, ait son coefficient nul, la relation s'écrit alors
A, A0 (ko —1) D 4 Y — 2) (ho + Y —1)
re (ho +1) (Ao+ 2%) ho(ho + 2Y +1) | FT 00 +) ot +1) 400 +9) Y —1) Fe 4
on peut choisir :
IAA, =—0, Alors, À) ,, À), ::, À, sont nuls. La relation suivante contient seulement A,.et À; ,. Les suivantes sont complètes. On obtient ainsi l’équation caractéristique, elle ne contient qu'une seule fraction continue. La solution est de la forme
y y > Atp Grp:
Ro Chalet DES 1 AS
Op
__ tion caractéristique, qui contient ainsi une seule fraction continue infinie, mais qui est celle formée avec les relations dont les indices vont vers — .
D'ailleurs, les As, Aus, ---, À), 2e sont pas nuls. Chaque relation permettant de les tirer tous en f(A;,), la solution est donc de la forme
À GER 5 ñ y + ; & DATES Gitp £ , ; F4 4
a Interprétation géométrique de ces discussions. — Depuis le début, on n’a constaté de décomposition de l'équation caractéristique ‘ou de réduction de la série solution à un nombre fini de termes, que dans les cas où l’un des deux nombres}, À + 2v, ou les deux à la fois, étaient des entiers. Or, le produit À(À + 2v) est le coefficient de y dans l’équation de Gegenbauer. L’équation a — (7 + 2v) estune parabole dans le plan des (À, »); son sommet est donné par À + y — o.
Si À + v est entier, c’est-à-dire s’annule pour une certaine valeur de À, les relations de récurrence entre trois fonctions successives de Gegenbauer n’existent plus et la méthode employée ne s'applique plus. Mais l’interprétation géométrique précédente incite alors à rapporter la parabole à son axe, en posant À +» — N.
La relation entre les A, devient alors (N—v)(N—v—7:) ù UNE NET)
ù N—y+i1)(N+v) N—v)(N+vy—: a —(N?2— v»?) Fa [° Fee NN . . | (NN EE
Av
+ AN o4v
On constate immédiatement que, sous cette nouvelle forme, elle estinvariante par le changement de N en — N. Comme N est ici un nombre quelconque non forcément entier, on peut le considérer comme un paramètre continu et étudier ce que devient, à la limite, la relation précédente lorsque N tend vers zéro. Il faut, pour cela revenir à l’origine de ce système récurrent, c’est-à-dire à la relation fondamentale des GX. Cette relation s'écrit, avec N comme variable, eten posant Gi G(N)
(1) (Nr) GUN + DEN + v 1) G(N —1)= 23 NGN).
En développant les fonctions G(N) au voisinage de N — 0 (N infiniment petit) par la formule de Mac Laurin, cette égalité devient (2) CN+i—v)[G()+NG'()+...J+(N + v—n[G(—1n+NG(—1)+...] = 22N[G(0)+ NG'(0o)+...]
(ces dérivées étant prises par rapport à N).
Prenant G(r1)=G(—1) [c’est possible si l’on prend une intégrale de l’équation de Gegenbauer telle que G(N)— G(—N)], (par exemple, si n est entier, un polynome CY), le coefficient de N dans l'identité (2) fournit l'équation
2° A, <0. — Les relations précédentes sont complètes, et déterminent l’équa-
relation limite qui n’a donc plus lieu entre trois fonctions G4 successives, MAIS
EN 1) G NSP ON) DONNE LE) COUDE) NC EN) CE N—1)292NO 0 Ne N+i)+G(—N—1)—223G(—N) + INSEE MON EI) EN EL) GENE) 22N CCS
retranchant, les termes en G sont
entre ces GX et leurs dérivées par rapport à N.
Ces dérivées sont, elles, des fonctions transcendantes, même lorsque GX se réduit au polynome C>.
On peut encore modifier la relation (3) en l’écrivant
CR OT EEE) = :[ G(o)+a—s) ce
$ Se TAGS ER RE à condilion que » <1 et que x S0it une quantité définie pour N—o (1). Sous cette
forme, c’est là une relation de récurrence simple entre deux termes successifs de. la fonction a P EN G'(—N L(N)—= GCN)+(1— v) Enr et qui s'écrit L)=2L(0); d’où l’on tire
3 L(o)= 3L(1)= -{vL(o)+(2—v)L(2)].
Reste à se demander si L(N) satisfait effectivement à la relation générale (1) des G(N), on le vérifie aussitôt en dérivant cette relation par rapport à N
tuls, car lorsqu'on fait N entier que la fonction (où Nest entier)
