GN)= G(—N). G'(N)— G'(—N
satisfait à la relation générale, donc L(N)aussi. c.Q.F.0b.
L'expression 2? L, est une fonction linéaire de L, ,, Lx, .. oral quand N devient égal à » —1 ou y—2, (cas où z2L% ne contient plus Ly4,,). On rappelle que
EN ET)ONE = 0) (N+v—o)(N+vu—:) 22 Ly = A CR +1 ) EN ER 2 N(N +1) | NON) ñ
Notons qu’on peut écrire L(N) sous la forme L(N)= 2 [G(N)+ G(—N) + (1— v) { GACN)— GC N)}],
c’est-à-dire L(N) = L[E(N)+ E(—N),
(:) Hozson (Spherical Harmonics, p. 189) démontre que z et v étant donnés, la fonction G(N) est alors une fonction analytique de N.
après soustraction et groupement des termes en G, exprime
OR ES avec EUNYSGUNN SE NC, ou AE RE e AG INENS ; EL E(N)=C,+{(—v)-- C0, (puisque v est fixe).
| dn Discussion. — Existence d'une solution de forme finie. — Soit ÉB\LX la
solutiou à déterminer :
1° Supposons d’abord n et » entiers. On peut former les relations entre les B,. Le sont les mêmes que celles des A, sauf les deux premières
0 A a — v? ANNE EX ro) | Bo |! ne = }+ pa AE 2) Ÿ
2 K? 8 ÿ (3—v)(2+v) (2—v)(+v) a+i— y (V + 2) + 3) ME 32 > 2 B, a B |: Jen] + & = Fe noie TE 0, PR Te CU de à Don mn De ne ER MN TO SR FRE D A 208 2 M D A TO EN IS ER AE EE : N peut croître négativement ou positivement puisque L}=— L'’, (symétrie corres-
pondant à celle de la parabole). Supposons par exemple que N croisse positivement.
À. » positif. — Il existe une valeur de N soit P telle que B,, ait son coefficient nul. On peut alors choisir
a. B—o et alors tous les B d'indice supérieur à P sont nuls. La solution est une combinaison linéaire finie des LE(N <T).
Cette solution finie a lieu lorsqu'une certaine relalion existe entre a et k, relation qu’on détermine comme d’habitude et qui, ici est algébrique, puisque issue d’un déterminant fini.
Il serait impropre d’appeler encore équation caractéristique une telle relation (nous dirons pseudo-caractéristique); elle donne lieu à une solution qui, bien qu'elle soit de forme finie, n’est pas entière en sinË, ni périodique en E, la fonc-
tion E” contenant dés quantités telles que Let ) qui sont des fonctions trans-
cendantes contenant des logarithmes. L'intérêt de ces solutions, qu’on ne peut non plus appeler fonctions de Mathieu associées (nous dirons pseudo-fonctions), est qu’elles se présentent sous forme de combinaisons linéaires finies de transcendantes connues, circonstance qui ne se produit jamais pour l’équation de Mathieu ordinaire.
La solution qu'on vient de trouver est donc une pseudo-fonction de Mathieu d'ordre P, l’équation pseudo-caractéristique est algébrique.
b. B,— 0. Les B; jusqu’à { — P — > inclusivement sont déterminés en fonction de B;. Les B; pour £ > P sont liés par le système d’équation en nombre infini dont la condition de compatibilité est transcendante; la solution est de la
forme parer Telle quelle, elle est une pseudo-fonction de Mathieu associée; P
UE
mais une remarque faite ci-dessus permet de trouver dans ce cas une fonction de Mathieu associée proprement dite. En effet, comme seules les fonctions LY d'indice supérieur à P interviennent, on peut aussi bien chercher cette solution avec de vrais polynomes de Gegenbauer, où n et y sont entiers, et que nous avons appelés ci-dessus de seconde catégorie (PY). Or, ceux-là sont liés par la relation de récurrence habituelle. Dans le développement précédent, on peut donc remplacer L\ par PX,, et By par Ay. On a alors des courbes caractéristiques et les pe” correspondantes (dans ce cas x + y ne s’annule pas effectivement).
B. » négatif. — C'est le coefficient des By ,,, qui s’annule pour N=— P. Si alors B,,— 0, tous les précédents sont nuls. Les premiers termes n'intervenant pas, on peut encore remplacer les LY par les PY,,, on a de vraies fonctions de Mathieu associées. L'équation caractéristique est transcendante.
Si B»,<0, les premières équalions, en nombre fini, constituent un système dont la compatibilité fournit l’équation pseudo-caractéristique qui est algébrique; les dernières, en nombre infini, fournissent tous les autres B;, en fonction dé B»,. La solution ici est de la forme XB;l;. Elle est une pseudo-fonction de Mathieu associée.
Exemple de pseudo-fonction. — Prenons » — 4 et cherchons la pseudo-solution de rang pair. Elle s’écrit
aelicuhele
Le système déterminant A, et À: est, si A? f?— q s Ê 5 (a —16 — 2g)A0+ a de + ‘ hot (a—n— 5) Me 0.
L’équation entre a et g qui conditionne l'existence de la solution est celle d’une conique 2(a—16)(a—12) + ag —qg=0,
celte conique n'étant qu’une pseudo-courbe caractéristique, le théorème de Ince ne s'applique pas, c’est ce qui explique qu’on a, non une parabole mais une
hyperbole.
Pseudo-fonction de forme non finie. — Nous venons de voir que si À est entier ainsi que », il apparaît une solution de forme finie. Mais À + y peut être entier sans que À le soit. Dans ce cas, le sommet de la parabole est encore un point singulier pour nos relations récurrentes. Il n’y a pas de solution de la forme ZAC», il faut donc chercher un développement ZB\LX. Les différents coefficients des relations de récurrence ne s’annulent alors jamais, il n’y a donc pas de solution de forme finie, la solution obtenue est une pseudo-fonction de Mathieu, mais d'ordre infini (série de fonctions connues, mais elles-mêmes déjà
transcendantes ).
rs
Développements en séries de fonctions de Bessel. — On sait que les fonctions de Mathieu ordinaires ont été Sat a en séries de fonctions de Bessel sous des formes telles que
cen(Ë) => Ar l,(#cosE),
les coefficients étant donnés par le même système récurrent que ceux du développement en séries de Fourier (fait très remarquable ayant retenu l'attention des mathématiciens anglais) (Cf. Gornsrein, Trans. Cam. Phil. Soc., t. 23, 1923 à 1928, p. 303.)
Nous proposons ici une méthode qui fournit aussi un développement des fonctions pe’(£) en séries de fonctions de Bessel. Les relations de récurrence obtenues pour les coefficients ont une certaine analogie avec celles qui fournissent les coefficients du développement en série de fonctions de Gegenbauer.
Cette analogie est tout à fait éclairée par une formule que Sonine a donnée dans son célèbre Mémoire sur les fonctions de Bessel, et qui relie celles-ci aux polynomes C7.
On en déduit, comme un cas particulier, le théorème de Goldstein dont nous venons de parler relatif aux coefficients des séries de Bessel et de Fourier des fonctions de Mathieu ordinaires.
Tous les résultats obtenus dans la discussion précédente se retrouvent, les
pseudo-fonctions de Mathieu associées apparaissent alors comme des formes
linéaires (finies ou non) de fonctions de Hankel. L’èquation de Mathieu associée, écrite sous la forme
d? dU :
(E») D —ovtgt Æ + (a+ 2/2 sin?E)UÙ = 0:
devient par le changement de variable f X sin£ — pr (e) (u2— #2 PT + Ov De — (a + p)U = 0
Or l'équation de Bessel modifiée, après le changement de fonction 1, — 5% Y s'écrit, elle,
æ Yp
— (23 FAP EAN 0.
Soit donc U(x) ed une solution de (£). Comme
UY; +(2v + Du uY;= (72 v)Y,
d’après (B'), l'équation (e) prend la forme
d'I—V)Y;+aY;]= fe Dr=reS un ja + B;Y;+ CjY} 2],
On écrit que le
el L' ERER e 4 | ) ( En
ail |
formelle Ÿ y; Ÿ; on obtient
MIE a) SPRINT BE Cyrus
Les y; sont donnés par des relations de récurrence à trois termes; on les traite comme on l’a déjà fait. Dans le cas général, l'indice 7 est illimité dans les deux sens, et l’on ture l'équation caractéristique comme au début du chapitre. En général, elle contient deux fractions continues infinies.
Si l’on compare la relation précédente en 7, entre les Y, avec la relation, en N entre les C*, on y constate aussitôt que les coefficients de l’une se déduisent de ceux de l’autre par la transformation de v en 1 — ». L’équation caractéristique
Ne Sivy— -";
obtenue ici est donc bien la même. Les A* sont des multiples des a
A7 et x, sont égaux à un facteur près, c’est ce qu’on retrouvera autrement plus loin.
On vient de voir que a—p?—%? si k—o. On voit donc tout de suite que l'indice 7 d’ici équivaut à l’indice N des fonctions de Gegenbauer. Si l’on repasse à l'indice n employé au début, on constate que la fonction Y ; est justement celle que Sonine appelle H, (!) lorsque 7 est entier. Comme dans le cas du développement ZAC les relations de récurrence s’arrêtent pour 7 —0o (ou n—=1). Et les fonctions pe’ (£) admettent un développement simplement infini de
forme +; Hs, dont les indices sautent de deux en deux. Ces deux développe-
pements ÿ AC CRT 1 ne sont d’ailleurs pas sans rapport, et l’on peut
déduire l’un de l’autre très simplement.
Sonine donne en effet la formule
602 9T(y 10 (n +v)C}(z)a Lo).
Si l’on fait intervenir ici l’équation intégrale de M. P. Humbert qu’on peut écrire (comme on le montre facilement)
PEN (E) = ka e
| eksinôsh£ pe? ( (9 ) cos?v0 dn,
(1) Math. Annalen, t. 16, 1880, P: 1-79.
coefficient de Y; est nul; en substituant dans (e) la solution
; ; ; = à en posant sin — z, en supposant pe’ (0) déveléppé sous la forme Ÿ A? C'(sin0) U et en écrivant e*° sous la forme de Sonine, il vient
Pa pen) = PTE f À nca
>. (g + v) Cy(sin6) | (ÆsinE)—"1,,,(Æsin E) cos?"0 dg
ou, en appliquant l’orthogonalité des C? :
à I 2Y à 4 F Res A L Par (5 NES rever,
PÉNIT T(2y—1) dd 2) dr
qui est bien de la forme Za, Y,, les x, étant liés au A7 par la relation simple
Le T(29+7r—:1) A.
2e Tr)
La constante C est de de r.
