I \ 3 TZ

Side : alors &— «et, effectivement, on retrouve que a = CA;. Si = 0 Re : ae I (fonctions de Mathieu) & — = A}, c'est-à-dire que, comme alors C7 vaut =cosr,

les coefficients du développement d’une fonction de Mathieu ordinaire en séries de fonctions de Bessel sont proportionnels à ceux de son développement de Fourier. Goldstein avait remarqué cette propriété ({).

Si 7 est entier, on tombe sur les cas où les formules sont défaillantes. En effet, P pouvant devenir nul, on ne pourra plus ürer Se en fonction de Ÿ,, et Y»1. Mais en supposant que p est un paramètre continu, on peut procéder comme précédemment par un passage à la limite. Si p — € on peut développer Y, (dérivée prise par rapport à z), Ÿ, étant à part cela considéré comme fonction de p :

nÊ (- :) L [(—1)+ € es + (+ ) Le + £ Sr ; .

or, y(1) —y(—1) d’après une propriété classique de 1,.

On tire dY dY DNS 2 MT) EE Es. A Pt : @ | dp de ee Je

qu’on peut écrire, d’après l’artifice déjà employé et si v Zoo (ou 1)