COS — D

4 étaient à quatre termes, ce qui ne lui a pas permis de généraliser la méthode de . calcul qui avait si bien réussi pour l'équation de Mathieu. L'objet du présent » travail est de proposer une méthode qui renonce à la série de Fourier mais remédie à l'inconvénient précédent.

- paramètres a et Æ?, des intégrales pour lesquelles la singularité £ — + . + AT . n’est qu’apparente.

Pour s’en rendre compte, posons sin£ = 5, l'équation (3) s’écrit alors

dU dU + 27%

Dis

et elle admet pour points singuliers les points (— 1) et (+1). Étudions-la dans le cas très simple où # est nul. Au voisinage du point singulier 3 —1, on peut chercher une solution de la forme (sis—i1+t):

Lu.

U=t'+ ct + col, + cn

On l’obtient aussitôt par les condilions : r — 0 (racine double) et

o(n +1) Cns+[a(n +1) — a]c, = 0,

où l’on voit immédiatement que, si a est choisi égal à n(n<+1), n étant entier, la solution est un polynome [qui n'est autre, par rapport à z, que le polynome P,(z) de Legendre |.

Si l’on cherche pour la même équation une solution au voisinage du point

3=—1, on obtient un polynome, en —1+ 2 à la même condition, et qui est;

- en 3, le même polynome de Legendre. Dans ce cas simple, on constate donc que la relation a — n(n +1) fait disparaître à la fois dans la solution correspondante, la singularité 3 —1 et la singularité 2 — —1.

Cherchons si un résultat analogue peut être obtenu lorsque k n’est pas nul (c’est-à-dire : peut-on choisir a en fonction de Æ pour que les singularités 1 et —1 puissent disparaître simullanément).

La méthode de Fuchs permet là aussi de trouver deux intégrales de l’équation au voisinage de la singularité régulière 3 —<+1; soient si (1— 2) —4t

O2) =r-CNR ee ECC) LES F(i—z)=1+B(Æ)Lt+d(Æ)t+...+ da(k)it +...

[avec 2.02; (|1—z|Z<2)],

puisque la racine de la déterminante est double. F, peut s’écrire encore sous la forme F, ft+ G(t), G étant une série entière. Au voisinage de z2——1, on obtient de même deux autres solutions F,(1 + 2) et F,(1+ 2), (avec [1+z|Zo), (l'équation ne changeant pas lorsqu'on y remplace 3 par — 3). L’équation étant linéaire, ces quatre solutions sont elles-mêmes liées linéairement ; donc

{ Fi(i—z)=aFi(i+z)+8F:(+z),

“+ l FiGi—z)=YyF1(i+z)+ÔFi(i+z).

Tout d’abord remarquons que l’équation (3) admet pour certaines valeurs des

PASSANTE PT eee PM SN Pete SONAT RE 2 7 | ë AE POSE PTT OM ES A

En changeant le signe et en répétant les substitutions, ces relations deviennent

Fii—z3)= (a+ f8y)Fi(i—z)+f(a+0)F2(1—2), F:G—z)= y(a+8)F;(1—z)+(8y +)F2(1— 2), ce qui exige

soit” &æ — à, B="0, Y 107 a? = 1;

La première hypothèse est impossible comme le montre Poole (1), car elle met en évidence deux solutions indépendantes entières paires (ou impaires), ce qui n’est pas possible. Donc, la substitution (S) s’écrit

Fi(i—z)=aF;(i+z)+f6F:(1+ 3),

Fit z)—aFo(1+2).

Il suffit alors de prendre 8 — 0, « — +1 pour obtenir légalité

Fu z) ER +z) taie 20),

impliquant qu’il existe une solution paire ou impaire en z et n’ayant pas de singularité à distance finie, c’est-à-dire entière.

«, que Poincaré appelle invariant dans la substitution (S), se calcule en fonction des coefficients c,(k?) et d,(k?) des développements de F, et F, et la condition pour qu’une telle fonction existe s’exprime par l’équation œ(a, k?)— +, ou B(a, k?)— 0.

Nous avons développé plus longuement ailleurs ees considérations et leurs applications (?).

Notre objet est ici de déterminer par des procédés plus rapides la solution entière mise en évidence et les valeurs propres qui lui donnent naissance.

Développement de la solution périodique entière de (3). — La méthode employée suivra d’assez près celle qui réussit pour les fonctions de Mathieu. Or, lorsqu'on étudie les valeurs propres (ou caractéristiques) de l'équation de Mathieu, on commence par envisager le cas très simple où # est nul et où l’équation devenue

J'+ay =0 est celle, banale, du mouvement oscillatoire ordinaire, d’intégrale générale

y = CG cos Var + Cs sin Va.

Les solutions de période 27 n'existent donc que si ÿ/a est entier et c’est suffisant. Les valeurs caractéristiques sont donc a — N° et forment une infinité dénombrable. Chacune d'elles donne naissance à une intégrale paire cos Nx et à une impaire sinNzx.

(°) Voir Poote, Proc. London Math. Soc., mars 1921; voir aussi INC, Ordinary differential equations (Dover, 1944, p. 356).

(?) Voir C. R. Acad. Sci., t. 224, 1947, p. 1322; et Bull. Soc. Math. France, t. 71, 1949, p. t.

développée en série de forme

DES cosNz + BysinNæ),

c'est-à-dire sous forme d’une série où chaque élément précisément est une des intégrales qui avarent lieu dans le cas où k était nul. boue l'équation (3) envisageons le même cas où kf — 0; (3) s’écrit alors

æU J de BZ dE + aU = 0,

qui se ramène à l’équation de Legendre en prenant pour variable sin£. Cette

équation admet donc comme intégrale entière et de période 27 un « polynome de Legendre » à condition que & égale non plus N, mais N(N +1) (N entier). Cette intégrale est alors Py(sin£).

Pour passer au cas général (où k = 0) nous allons donc poser la solution développée sous forme d’une série où chaque élément est une des intégrales

- qui avaient lieu dans le cas où k était nul, c’est-à-dire précisément un des

polynomes précédents (‘) Ux = A5Po(sin£) + A1P;(sin£)+...+ A;P,(sinE) +...

Cette série est au fond une série trigonométrique où se trouve réalisé un certain groupement des termes, groupement qui s'impose par le simple fait qu'il est 7 de soi quand Æ—o. Nous chercherons une intégrale qui se réduise à

Py(sin£) quand Af—o. On sait que Mathieu a appelé cex(x) l'intégrale périodique de son équation qui se réduit, pour # = o à cosNx.

Appelons par analogie pex(£) l'intégrale UX qui se réduit pour 4f—o Py(sin£). On aura donc

pex(E) = A+ ArP;(sinE) [avec pex(E) = Pr(sin£é) si £ = o].

Dans la suite, on supposera f — 1, ce qui ne restreint pas la généralité.

(:) Nous avons publié pour la première fois cette méthode, et les généralisations que nous en

donnons au Chapitre II, dans les C. R. Acad. Sci, t. 222, 1946, p. 269-271. En 1947, M. Bouwkamp

a publié dans le Journal of Mathematics and Physics une Note On spheroïdal wave functions of order zero où il utilise le même procédé à des fins de calcul numérique pour l'industrie, Note qui est elle-même le résumé de sa thèse écrite en langue hollandaise et soutenue à Groningen en 1941 mais demeurée sans diffusion (Diffraction through a circular aperture).

M. Bouwkamp signale dans sa bibliographie d’autres Mémoires sur des questions faisant intervenir l'équation précédente et dont certaines utilisent un procédé similaire, toujours à des fins numériques. Citons l’article de S. K. Cnaxravarty, Quantization under two centres of force, Part. I; The hydrogen molecule ion (Phil. Mag. t. 28, 1939, p. 423) (l’auteur utilise un développement en séries de polynomes de Legendre mais aboutit, à la suite d’un choix défavorable, à des relations de récurrence qui sont à cinq termes, ce qui rend le procédé moins avantageux même que celui de Ince), et celui de Baser et Hassé, The two centre problem in Wave mechanics (Proc. Cam. Phil. Soc. t. 31, 1935, p. 564), étude mathématiquement plus rigoureuse (elle se soucie par exemple de

la convergence des séries obtenues, où les éléments choisis sont des fonctions de Legendre associées). |

Pour étudier ensuite le cas général (où £f— 0), on suppose alors la solution

Pour calculer les A,, substituons cette expression dans (3). Il est commode de poser pour cela sin£ — :; (3) prend la forme

? dU dU AE GES au rl — (a+ k?2z)U = o.

Comme P,(:) est tel que (32—1)P;+223P;=r(r +1)P,,

on tire de là

Re MATE) ANS rte + TE pe Op |, 2r+1| 2r—1 L'ÉTÉ AT 0) 2r +3

la substitution donne immédiatement la relation suivante, qui a lieu effectivement entre 3 À, seulement, ce qui était le but visé ;

VE | r(r—1)A; 7 (RH 1)) AZ (r+1)(r+92)A; ( Co — = 2r+3f2r+1 ere]

Notons que les polynomes de Legendre étant des fonctions orthogonales, le développement ainsi obtenu rend les mêmes services et procure les mêmes commodités que celui en série trigonométrique. Comme pour les relations relatives aux coefficients de Fourier de l'équation de Mathieu, les indices sautent de deux en deux; il y a donc deux cas à distinguer :

1° r prend des valeurs paires. — Les relations en nombre infini, s’écrivent

Ay2Er s+ ArFr+ Ar2Gr2= 0,

nel ahoe eo oJe, eo olelé alole home ee es») ele 101 0 os 017

: ke? Te Cr en):

RU RE RATS Al EUR 27 HI DPF PAT fie ETS )

Rue (r+i)(r +2)

Si l’on divise par A, les termes de la dernière équation précédente, elle devient,

si æ- désigne le rapport

De là, le développement de «; (ou en général de &;) en fraction continue est immédiat, en partant de la deuxième équation du système. Ce système sera compatible si la valeur ainsi trouvée pour à, est la même que celle qu’on tire de la première équation. Cette condition est celle de l'existence des solutions