I : . (02 (r—%, | est un polynôme entier en x ct RS

, ce qui montre que le point c peut être supposé rejeté à linfini. |

Pour montrer que les deux points c« et d peuvent étre rejetés à l'infini simultanément, je trace les cercles /” et 7” de centres arbitraires

x, et y, et enveloppant respectivement C et C’; je suppose € et d pris

: : “ . ee \ à I I

à distance finie mais extérieurs à 7” et 1”; le polynôme o( — , ) À UE et

est développable en série entière en x — #,, y —y,, absolument con-

vergente dans /', /" et sur leurs périmètres; soit Q,(x — x, , y — y,) le

polynôme formé par l'ensemble des premiers termes du développement pris en nombre assez grand: on aura pour (x,y) intérieur à (C, C”):

mod [#{r , 9) — Que — %,, y —ÿ)] < 2e:

Q, étant un polynôme entier en x et y, on voit que c et d peuvent être rejetés tous deux à l'infini.

Proposition II. Soient:

C; et Ci deux contours fermés simples pris respectivement sur les plans des deux variables x et y;

Cet C' deux contours fermés simples complètement intérieurs respectivement à ©, et C;

f(x , y) une fonclion des deux variables x et y régulière en tout point intérieur à (OC, C:);

a un point extérieur à C, à distance finie ou infinie;

b un point extérieur à Ci à distance finie ou infinie;

Il existe un polynôme entier en ——, . C1] = es) tel

qu'en tout point intérieur à (C, C'), on ait:

mod ne » Ÿ) — A — | < €

e étant un nombre positif donné à l'avance.

Je trace le contour fermé simple ©, enveloppant © et enveloppé

Sur les fonctions de x variables complexes. 45

par C; et le contour fermé simple C; enveloppant C’ et enveloppé par C;. Le théoréme de Caucuy donne pour (x, y) intérieur à (C, , C:):

f(œ ) y) 4 ; AGREE ©

247 Fer M0

Je partage le contour d'intégration C; en » parties consécutives PDO EEE ED LB DSP} Masertpeutes pour -que chacune

d'elles B,B,,, soit comprise à l’intérieur d'un cercle 7” laissant à son extérieur les contours Ci et C’ et par conséquent compris entre ces deux contours. Je pose

le chemin d'intégration étant B,B,,,; cette fonction f,(x, y) est régulière LE PEL RER Nr à. Tarte Ne DE 4

pour x intérieur à C, et pour y non situé sur B,B,,,; de plus elle s’an

nule pour y — ©. On a d’ailleurs pour (x,y) intérieur à (OC, C:):

() f( , y) = f(x, ÿ). Rose

J'applique le théorème de Caucuy à la fonction f,(r,y) et au contour C, ; J'aurai pour x intérieur à ©, et y quelconque mais non situé sur B,B,,;

fe, 9) — D CS

A6 Pierre Cousin.

Je partage C, en » parties 4, 4,,4,4,,..., 4,4,, telles que chacune d'elles 4,4,4, soit intérieure à un cercle y, laissant à son extérieur les contours Cet C, et je pose:

Cha (x ? y) RE 21

A,A,31 étant le chemin d'intégration. La fonction ç,,(x, y) est régulière tant que æ et y ne sont pas situés respectivement sur 4,4,,, et B,B,,:. De plus €, demment pour æ — ©.

(x , y) s'annule pour y = © comme f,(x, y), et s'annule évi- On a pour x intérieur à ©, ct y non situé sur B,B,,::

(2) f,(@ ; y) SA DIT C ) y). (Re

Les égalités (1) et (2) sont simultanément vérifiées pour (x, y) intérieur à (C, , C:): on en conclut, pour (x, y) intérieur à (C,, @), l'égalité:

ASUS er y) AS A TR 2

ee sl «x * a ‘oc ï &] ct ns ë. … ?

Si j'appelle a, et bd, les centres respectifs des cercles 7, et 7;, la " ’ HI \ , CAL # ny A 2. ‘ pr fonction ç,,(x , y), régulière à l'extérieur de ces cercles et s’annulant pou % = © ainsi que pour y = © est développable en série entière en —— T — A

et absolument convergente à l'extérieur et sur le périmètre de ces

cercles. J'appelle P ( | le polynôme formé par les premiers €

ie: l Era Virrau

termes de ce développement ris en nombre assez orand pour que à PP : £

l'extérieur de et 7! et à fortiori à l'intérieur de (C, C'), on ait: Tr Tr nv»

mod ln (x , y) — Es be )| = w|ponrt (x, y) intérieur à (C,C”)]. , pp.)

‘ ) qui n'a pas de terme indépendant

, œ— dp y — b,,

Or le polynôme A

I I x us ee de ——— et ————, n'a pas d'autre point singulier que æ = a, extérieur &— ap Y—Ù

à C et y—b, extérieur à C et de plus s'annule «pour # ou y infini.

\ . e . 0 A . I I D'après la proposition [, il existe un polynôme entier en

œ — de y — db?

I I oe re ) tel que:

At I oral I ï € Te \ mod | P,,(- — — On =, ) -" [pour (x, y) intérieur à | As Up Y— bn y — D, - 2mn Î ( 9) $ À (C, © En additionnant cette inégalité avec la précédente, il vient:

mod Len (x , y) — (= es ) —

RETRO Pere [pour (x, y) intérieur à (OC, C”)].

J'imagine écrites les #7 inégalités analogues à la précédente obtenues EAN Li; 2

20 Ji lou ,rnsmelles: donnent, én rematquant que:

226 (x ; y) = f(x ; y) LP Te re TS et que Ÿ Ÿ Q PS : | est un polynôme entier en — RE 9 = ( ) LAC —— | En 71e — a? y—b) BOY Œ— a" y —b?

LT I soit Q( : 1e Œ—@" y —b,

mod | FC, v) — A —— ; —) | < s [pour (x, y) intérieur à (C, C].

C'est le théorème énoncé.

2 M Re I l Si a et D sont tous deux à l'infini, on aura au lieu de a )

æ—a°y—b un polynôme entier en x et y.

Proposition IIL Soient:

C et C deux contours fermés simples tracés sur les plans des

deux variables x et y;

a et c deux points du plan de la variable x extérieurs à C; b et d deux points du plan de la variable y intérieurs à C':

f(x, y) une fonction des deux variables x et y, régulière en tout point exceplé pour les valeurs x —

a et y —b et s'annulant pour x infini ainsi que pour y infini:

48 Pierre Cousin.

I I I 11 j anôm jer en tel Il existe un polynôme entier en ne Me lé Q(— 2ù

que en tout point (x ,y) intérieur à C et extérieur à C”, on ait:

mod LG , Y) — o( : )| + €

e étant un nombre positif donné à l'avance.

Je trace une ligne ac partant de & et aboutissant à c, extérieure à C; et d’une facon analogue une ligne bd intérieure à ©’. Pour le reste, la démonstration est identique à celle de la proposition L Le point c peut être rejeté à l'infini.

Proposition IV. Soient:

C; et Ci deux contours fermés simples tracés respectivement sur les plans des deux variables x et y;

C'un contour fermé simple intérieur à C;

C' un contour fermé simple enveloppant C:

fa , y) une fonction des deux variables x et y régulière pour x intérieur

à © et y extérieur à Ci et qui S'annule pour y = ©;

a un point du plan de la variable x extérieur à (, à distance finie ou infinie;

b'un point du plan de la variable y intérieur à C:

$ À : I I 6 Vs Il existe un polynôme entier en ut de ; sil tel que

en tout point (x ,y) intérieur à C et extérieur à C', on ait:

I I 3 mod | Ce , Y) — Q(— a :) | ie

e étant un nombre positif donné à l'avance.

Je trace le contour fermé simple C' enveloppant C{ et enveloppé par C’; on a, en remarquant que f(x, y) s’annule pour y — ©:

; u °F 2)de sr: \ er à

fe, y} = — — 7 pour x intérieur à C et y extérieur à C 217 2 — y SR se

LE ? L . D l'intégrale est prise le long de ©, dans le sens direct. Pour la suite, la démonstration est identique à celle de la proposition IL

25. Les deux propositions suivantes se démontrent encore comme les précédentes.

Proposition V. Sorent:

Cet C' deux contours fermés simples tracés respectivement sur les plans des deux variables x et y; >

a et c deux points du plan de la variable x intérieurs à C:;

b et d deux points du plan de la variable y intérieurs à C';

f(x , y) une fonction régulière excepté pour les valeurs x = à et y —b, et qui s'annule pour x — CO ainsi Que pour y = D;

Il existe un polynôme entier en Q( Pape. > tel que

5) cc y—d \t— C7 4

en tout point (x, y) extérieur à (C, C") on ait:

mod [re , Vue Q(- | y = =] F

s étant un nombre positif donné à l'avance.

Acta mathematica. 19. Imprimé le 1 mai 1594. 7

50 Pierre Cousin.

Proposition VI Soient:

C, et C! deux contours fermés simples tracés sur les plans respectifs des variables x et y;

Cet C' deux contours fermés simples enveloppant chacun des deux précédents ; :

a et b deux points intérieurs respectivement à CO et C;;

f(&,y) une fonction des deux variables x et y régulière pour (x , y) extérieur à (C,, C;) et s'annulant pour &æ = © ainsi que pour y = D:

. x ‘ I A Il existe un polynôme entier en D o

) tel que

en tout point (x, y) extérieur à (C, C’), on ait:

RS mod LAC ue o(- — de : | vi

e étant un nombre positif donné à l'avance.

26. Voici quelques notations employées dans l’énoncé et la démonstration de la proposition suivante:

S désigne une aire connexe prise sur le plan de la variable x et limitée par # + 1 contours fermés simples ©, €, C,,...,C,, dont le premier €, enveloppe S et chacun des » autres est enveloppé par 5:

Cÿ désigne un contour fermé simple enveloppant C;;

OC, (p=1,2,...,n) désigne un contour fermé simple enveloppé € Wu Y Y2 3 « W We f 3 ] à 3 ay A € dE Ç À par C,,-et C; désigne un contour fermé simple enveloppé par C;; S, dé signe l'aire limitée par les (n +4) contours, ©, 0, C,.:., Ci; et S,

n l'aire limitée par les (# + 1) contours C5, C?,..., C?; de cette sorte S est complétement intérieure à #8, et 8, elle-même complètement intérieure à S,.

S AL / Y/ 1 VC: Yl/ y 1Y2EX 2 2!

Les notations S", CG; Œ, EN 42 (64 ? 1# C ) C; RCE ce ] 2 70 » Mr LD, ce ?

ont une signification analogue relativement au plan de la variable y.

Proposition VII. Soient:

ps Ar Apps ns (NH 1) points du plan de la variable x dont le premier a, est extérieur à Cj; et dont chacun des n autres a, (p=1,2,..,n) est intérieur au contour C;;

Sur les fonctions de # variables complexes. ST p b,,0,,0,,...,0,, (m + 1) points du plan de la variable y situés d'une façon analogue relativement aux (m + 1) contours Cf, 07,..., C7; f(x , y) une fonction de x et y régulière à l'intérieur de U (CPRAR I I I 1l I 1 Il existe un polynôme de 5 —— jo, —— or | mn

de KI I I I I I entier en —— ,..., : s.., ———, et tel que

3 , ) Œ—4 Æ—a, Œ— n° y;— db, y —b, y — bn

en tout point (x, y) intérieur a (S, S'), on ait:

I I I mod | /{, EME Se |

e étant un nombre positif donné a l'avance.

J’applique à la fonction f(x, y) et au périmètre de l'aire S° du plan de la variable y le théorème de Caucay: j'aurai ainsi pour (x, y) in-

tériéur a0(63, 0)

+ "fl aa E— 2) da ne À) Le f(x ; y) = — Le 2 —Y ee. ie | Et |

5 < 1} " / C à C Ca

le sens des intégrations étant direct pour le contour C;' et indirect pour lé miContours CO AC VAN, O7

Je pose:

I 4 2) d2 p,(& s y) = Fe ; (g=0,1,2,...,m)

de telle sorte qu'on aura pour (x,y) intérieur à (5, , 6):

(1) (GS = 20 NU) (g=0, 1,2)

Considérons la fonction &,(x, y), (4 = 0,1,2,...,m); son expression:

Core) de Pal à ÿ) = .

Ce - ) a RAA SAT x en ARTE > Q montre qu’elle est régulière pour x intérieur à $, et pour y quelconque mais non situé sur (7 qui est une coupure relative à la seule variable y; de plus @,(&, y) s’annule pour y = ®.

52 Pierre Cousin.

J'applique à nouveau le théorème de Cauony à la fonction @,(«, y), 4 —0,1,2,...,m) et au périmètre de l'aire $, du plan de la variable æ; on aura pour æ intérieur à $, et y non situé sur C7:

1 «7 (2, y)dz 1 7 (z ,.y)dz SUR Ca (2, y)dz Al,0) = 7x | æ de Re 2 Ë

2 nr LIT ” \ ?

ci C 0e

Je pose:

I "Cy (2, y)da.

Dh NN) — = : (p=0,1,2,...,n) . Pra(® 5 ÿ) = g—æ |?

de telle sorte que pour % intérieur à $, et y non situé sur C}', on aura:

Considérons la fonction d,,(x, y); son expression:

L fo, y)de PAC > y) ee j E

montre qu’elle est régulière dans toute l’étendue des deux plans des variables x et y en exceptant la coupure C; du plan de la variable x et la coupure ©} du plan de la variable y, (coupure qu’admet la fonction P,&, Y) elle-même); de plus d,,(x,y) s’annule pour æ = © et s’annule aussi pour y — © comme la fonction @,(2, y). |

Comparons les égalités (1) et (2) qui ont lieu simultanément pour (&, y) intérieur à (S,, S;);-il vient:

(3) f(x , y) == 22%» (æ , y) (D=0 12 nn; g=0,1,2, 4, m)

pour (æ&,y) intérieur à (S,,5;) et à fortiori pour (x,y) intérieur à (S, S"). On obtient ainsi pour f(x, y), à l’intérieur de (S, S’) une expression

qui est la somme de (m+1)n+1) fonctions DU), (pH OS ASIE

4—=0,1,2,...,M); je classe ces fonctions en quatre groupes:

1° Ja fonction @,,(x,y) qui ne cesse d'être régulière que sur les

Sur les fonctions de % variables complexes. 93 2 . 1 . . 72 EL LA ke La coupures ©; et Cÿ'; elle est en particulier régulière pour (x,y) intérieur N L 1 . Free \ à . .

à (CG, C5); comme le contour (C,, C%) est intérieur à (C!, CY'), il existe (proposition Il) un polynôme Q,, entier en D RATE 2 — a,” 1 -

térieur de (C,, C;) et à fortiori à l’intérieur de (S, S"

tel que à lin-