ODA

(4) mod [d,,(x ; y) — Q,,] a [a l’intérieur de (S, S)];

(m + in +1)

2° le second groupe est composé des »% fonctions d,,(x,y) (g==1,2,..,m); chacune de ces fonctions d,,(x, y) est réguliére pour x intérieur à © et y extérieur à ©} et s'annule pour y = œ; il existe (proposition IV) un

rte l I mu $ polynôme ©,, entier en CL tel que pour x intérieur à C, et É ‘0 ae t

y extérieur à C, et à fortiori pour (x,y) intérieur à (S, S') on ait: (ta dns)

(5) mod [Dog (x » y) "T3 Qoo] <<

(m + D + 1) PERS (&,9) intérieur à (S, S”);

3° le troisiéme groupe, analogue au précédent, est composé des »

fonctions d,(t,; y) (p=—1,2,.,n); chacune de ces fonctions 9, & 7)

est régulière pour æ extérieur à ©} et y intérieur à CŸ' et s’annule pour Le) ?P 0

tr ÉlUICrR ON et tel que

G—= ©; il existe un polynôme Q B — y y — bd,

Vo at: (pr pneu")

pour (x, y) intérieur à (8,8);

TN els ë (6) mod [d,0(x ; y) — Qpo) < (n + 1m + 1)

4 le mr fonctions dt, 4) (= 1,2... 1;q——1,2,..,#)dont chacune d,,(x,y) est régulière pour (x,y) extérieur à (C,, C;') et s'annule pour æ = ainsi que pour y — ©; il existe (proposition VI) un poly-

C,) et à

A = I nome entier en 5 ;

2e tel que à l'extérieur de (C

y — be fortiorinaul'intérieur de(S, S'); on ait: (p—1,2,...,n;q—=1,2,..,m)

(7), -mod{[d,,(x, y) — Q,,1 < PT Fo pour (x, y) intérieur à (S, S”).

J'imagine écrites les (in + 1)(n + 1) inégalités analogues à (4), (5), (6)

54 Pierre Cousin.

et (7): elles sont simultanément vérifiées pour (x%,y) intérieur à (S, 5’);

je les additionne en remarquant que Z2Q, (p=—=0;1,2,..,n;q—=0,1,2,..,m) L Ts I 1

—a x—a "zx Der

SOI: a 2e

- ds pe ; RÉ LUN, cm Œ— a, œ— an" y — b, Y — bn

est un polynôme entier en AAA l ) y — b, 7 y —b, |

SF SS ‘| et que, à l'intérieur VE b

de (S,S"), on a, d’après l'égalité (3):

{x ; Y) —= 226, (x : y). (COM E or OIEENTr Il vient:

mod | (2. 7) — Q( À er » —)|<

& it z à CÊLE ; 0e pe.

UNE de NE VU Mb; Y — Un

à l’intérieur de (S, S"). C’est le théorème énoncé.

27. Aux propositions préliminaires qui viennent d'être démontrées, jajouterai la suivante, qui est connue.

Proposition VIII Soient:

S et S' deux aires connexes prises sur les plans respectifs des deux variables x et y;

| Ep» Egre) Em>... UNC Suite indéfinie de nombres positifs formant une série convergente;

f(x,y), A(t,y),..., fn(t 9), -.. une suite indéfinie de fonctions toutes régulières à l'intérieur de (S,S") et telles que, en tout point (x,y) intérieur à (S,S), on,au:, .

mod [f,(t, Y)] <e,. (m1, 2, 6)

Si l’on pose:

D(x , y) — DE (a “ y) En 9-2")

la fonction ®(x, y) est régulière à l'intérieur de (S, 5).

28. Avant de démontrer le théorème qui est l'objet de cette quatriéme partie, il importe de préciser la nature des contours auxquels il s'applique et d'indiquer à leur sujet quelques remarques.

Soit S une aire connexe qui à pour périmètre une ligne fermée connexe Z; je suppose d'abord que $ soit intérieure à L; L peut présenter des boucles, et peut par conséquent ne pas être un contour fermé

Sur les fonctions de % variables complexes. ë

simple; maïs je suppose que Z puisse étre considérée comme la limite

d'une suite indéfinie de contours fermés simples ©, C,,..., C,,... tous intérieurs à Z et dont chacun enveloppe le précédent; j'entends par là,

d'une façon précise, que si À est un point quelconque intérieur à S' on peut choisir » assez grand pour que À soit intérieur à ©.

De même si $ est l'aire extérieure à Z, je supposérai que Z peut être considérée comme la limite d'une suite indéfinie de contours fermés sunples C0 .,0,,0:%. énveloppant tous Let dont ‘chacun:est enveloppé par le précédent. Dans ces conditions Z peut étre supposée se réduire à une ligne non fermée, sans boucle, AB, limitée aux points À et B et qui est alors considérée comme un contour fermé indéfiniment aplati; l'aire S extérieure à Z comprend dans ce cas tout le plan à l’exclusion des points situés sur AB. D'une facon analogue L pourra étre supposée se réduire à un seul point À; l'aire S comprend alors tout le plan à l'exclusion du point À.

Les considérations précédentes s'étendent sans difficulté à une aire à connexion multiple; soit, en effet, $ une aire connexe dont le périno A EE

dont la première L, enveloppe S et dont chacune des » autres est en-

mètre est composé de (» + 1) lignes fermées connexes L,, L

veloppée par $S; chacune des n lignes L, L,,..., L, peut être supposée réduite à une ligne AZ ou à un point unique À, comme il vient d'être expliqué. Je trace le contour fermé simple ©} intérieur à Z, et en-

veloppant les »# lignes L,L,,..., L,, et je trace n contours fermés

simples C,, C,...,C% dont chacun enveloppe l’une des lignes L, , L,,

..., L, et laisse à son extérieur tous les autres contours et lignes tracés.

J'appelle S$S, l'aire qui à pour périmètre C,,

que S puisse étre considérée comme la limite d’une suite indéfinie d’aires