GE 217 2—Y

Tnp

z est une variable complexe représentée sur le même plan que la variable

y; l'intégrale est prise le long de /,,; sil, se compose de plusieurs lignes continues distinctes, 1, (@ , y) est alors la somme d’intégrales analogues à la précédente dont les chemins d'intégration sont les différentes Jignes continues composant /,. Comme en tout point de cette ligne ?,,, f(x, #) — f(x, 2) est régulière par hypothèse, l'intégrale précédente est de la forme de celles étudiées au paragraphe 2. 1,,(x,y) est régulière pour toute valeur de y excepté le long de /,, qui est une coupure pour cette fonction.

Il importe de remarquer que:

car par la permutation des indices p et n le sens de l'intégration change en même temps que le signe de la fonction intégrée. Soit posé:

la somme Z s'étendant à toutes les combinaisons des indices » et p

correspondant à deux régions contiguës. La fonction ®(x,7y) admet

[æ) comme coupures tous les chemins d'intégration /,,; elle est régulière en tout point non situé sur un de ces chemins.

Définition des fonctions ç,(x , y). Je considère la fonction @,(x, y) qui à l'intérieur de À, est égale à (x, y); elle est réguliére en tout point intérieur à cette région, puisque À, ne renferme aucune des coupures

de ®(v,y). La continuation analytique de o,(x, y) est encore régulière en tout point À du périmètre de ÆR, intérieur à S. Soit en effet {,, la portion du périmètre de R, à laquelle appartient le point À. Si À n’est pas une extrémité de /,,, la seule intégrale dont le chemin d'intégration passe par À est 1,,(x, y); il résulte du paragraphe 2 que la continuation analytique de 1,,(x, y) en tout point de {,, autre que ses extrémités, est réguliere. Il en est done de même pour @,(x, y), qui, à l'intérieur de R,, est donné par:

Pt, y) =, Dr, y) — 21, (29)

Si À est une extrémité de L,,, comme il est par hypothèse intérieur à 8, c’est alors un nœud; soient R,,R,,R,,..., R,, R, les régions que l’on traverse successivement en faisant le tour de À dans le sens direct; je partage la somme d'intégrales ®(x,y) en deux parties; la première ®,(x,y) comprenant toutes les intégrales dont le chemin d'intégration a pour extrémité A; la seconde ®,(x,y) comprenant toutes les autres intégrales:

Da, y) = PB(x, y) + D,(x, y).

®,(x , y) est régulière en À; la continuation analytique de ®,(x, y) est aussi régulière en À, d'après le paragraphe 3; car les fonctions:

AG ; y) = f(x , y), f,(& ) y) BE f,(@ ) y), AGE , y) apr f.(æ ) ÿ) (x , y) FA AC ; y)

qui figurent dans les intégrales prises le long des chemins aboutissant en À, et qui sont toutes régulières en À, ont une somme identiquement nulle; par suite, d,(x, y), considérée actuellement pour y intérieur à 2, est, par continuation analytique, régulière en À; 1l en est de même de:

Par 9) = Pix, y) + Dr, y).

14 Pierre Cousin.

On a ainsi fait correspondre à chaque région ÆR,, une fonction e,(x, y) définie et régulière à l’intérieur de R,, et qui, par continuation analytique sera considérée comme définie et sera régulière en tout point, intérieur à 9, du périmètre de 2,.

Relations entre deux fonctions @,(x, y) et w,(x , y) correspondant à deux régions contiguës ou attenantes. R, et R, étant deux régions contiguës et A étant un point de ?,, autre que ses extrémités, les deux fonctions v,(x, y) et w,(x,y) et la différence f(x, y) — f,(x, y) sont réguliéres au point À, c’est-a-dire régulières à l'intérieur d’un petit cercle c de centre A;alas ones, à R,, l’autre c, intérieure à R,. On a, à l’intérieur de c,:

artage le cercle € en deux parties: l’une €ç, intérieure n

Pa ( ; y) DS D(x ) y);

pour avoir l'expression de @,(x,y) à l’intérieur de c,, je remarque que, lorsque le point y passe de ©, à c, il traverse !,, dans le sens direct: par suite la continuation analytique de J,,(x , y), lorsque y passe de c, à c, est:

celle de (x, y) sera donc, dans les mêmes hypothèses:

D(x , y) an AC ) y) A AC ) y);

on à donc, à l'intérieur de c,:

Pa (® , y) = D(x ) y) de AC ; y) = AC » y)

P(X ) y) D(x ; y) d’où:

(1) Pne 39) — PE 39) = FE 9) — A (& , ÿ);

cette égalité démontrée ainsi pour y intérieur à e,, subsiste à l'intérieur de tout le cercle c, puisque les deux membres sont des fonctions régulières dans c. La relation (1) est ainsi vérifiée en tout point À de l, autre que ses extrémités; si une extrémité B de {,, est un nœud, la relation (1) subsistera encore dans le domaine de B; car les fonctions PA(r 9), pt, 9); (5%: 9) — f(x, y), sont régulières en tout point de lp y Compris le point B. Soient R,,R,, Rush, R; les résions tra-

np?

Sur les fonctions de x variables complexes. 15

versées successivement lorsque l’on fait le tour de B dans le sens direct. On a dans le domaine de B, par l'application de la relation (1) aux groupes de régions contiguës R, et -R;, R, et R,,...,R,etR,,R,et R,:

p,(x ) y) ITR p,(æ ) y) = f(& ) y) EX AC , ÿ)

AC , y) au Pa(X ; y) + AGE y) TU f(x ; y); si À, et À, désignent deux quelconques des régions attenantes au point B, contiguës ou non, on conclut des égalités précédentes par une combinaison simple:

(2) Pme ; Y) — gilt , ÿ) = (x : 9) — fn (& » Y).

Définition de F(x,y). de définis maintenant une fonction F{x, y) pour x intérieur à Z' et y intérieur à S par la condition suivante: en tout point intérieur à À, et dans le domaine de tout point de son périmètre intérieur à S, on a:

F(x, y) = Pa(& » Y) Re fÈLE y).

De là résulte que dans le domaine d'un point À intérieur à S et commun aux périmétres de plusieurs régions, on a plusieurs expressions différentes de F{x, y): il faut montrer qu'elles sont identiques; en effet, si

Pn(E 3 Y) + fn » Y)

et gi(x , y) + (x, y)

sont deux de ces expressions, À, et À; sont contiguës ou attenantes au point À, et l'on a, dans les deux cas, dans le domaine de À, la relation:

En (X ; y) CA e;(x ; y) s- fi : y) Ge (n (@ ; y)

ou :

Pnle ; Y) + fnlT à Y) = LT , 9) + Ai, y).

16 Pierre Cousin.

La fonction F(x,y) est donc définie d'une façon unique à l’intérieur de S; elle est équivalente en tout point intérieur à 8 à la fonction qui correspond à ce point; car si f,(æ,y) est cette fonction, on a, par définition, dans le domaine du point considéré, la relation:

F(x, y) = f(x ; y) ch Palx ; Y), p,(x , y) étant régulière au point considéré.

6. Le théorème qui vient d'être démontré relativement à des fonctions monotropes et sans espace lacunaire, peut être étendu à des fonctions non monotropes d’une nature particulière: je veux parler des fonctions qui sont les logarithmes de fonctions régulières.

La démonstration est analogue à la précédente; les notations que je n’explique pas à nouveau conserveront le même sens que dans le paragraphe précédent.

À chaque région À, je fais correspondre une fonction w,(x ,y) régulière pour x intérieur à Z’ et pour y intérieur à &,, et je pose:

(A (& , y) = logu,(x , y).

f(æ , y) est une fonction dont la valeur n’est déterminée qu'à un multiple prés de 2ix; il n'y a pas lieu de chercher à distinguer entre ces différentes valeurs de la fonction puisqu'en général elles sont susceptibles de se permuter entre elles. Chacune d’elles est d’ailleurs une fonction régulière en tout point pour lequel w,(x,y) n'est pas nul.

Je supposerai que les fonctions «,(x,y) satisfont à la condition suivante: À, et À, étant deux régions contiguës quelconques, la fraction:

Un(& , 4) Up (æ 2 y)

est supposée régulière et différente de © dans la portion d’aire commune à &, et &, Il en résulte que la différence:

f(æ ) y) TE AC ) y) est régulière dans la portion d’aire commune à &, et &,; cette fonction n'est définie qu'a un multiple près de 2ix, mais chacune de ses dé-

terminations cest régulière dans la portion d'aire considérée. :

Sur les fonctions de # variables complexes. 17

Je vais démontrer le théorème suivant:

Il existe une fonction Fix ,y) définie à l'intérieur de S à un multiple près de 2ix et telle que, en tout point intérieur à S, F{x, y) est équivalente à la fonction f(x, y) correspondant à ce point.

Je pose comme précédemment:

dz;

l Pt, 2) — Ale, 2) JE (x , y) = . P ñ LT 2 — y np on prendra pour f,(x,2)— f(x, 2), qui est une fonction régulière en. |

tout point de /,,, l’une quelconque, prise à volonté, de ses déterminations.

np ) Soit encore, comme précédemment:

Din, y 21, (x, y):

Voici la particularité par laquelle la démonstration actuelle va différer de la précédente; si je pose, pour y intérieur à 2Æ,:

Ent, y) = D(x, y)

et si B est un nœud appartenant au périmètre de ZÀ,, on n’est pas certain que la continuation analytique de o,(x , y) soit régulière au point B; décomposons, en effet, ®(x,y) en deux parties: l’une d (x, y) comprenant la somme des intégrales dont les chemins d'intégration aboutissent au point B; l’autre ®,(x,y) comprenant la somme de toutes les autres intégrales:

dx, y) = D(x, y) + (x, y). D(x,y) est régulière au point B; mais la continuation analytique de D(x , y) n'est pas nécessairement régulière en B; car si, comme précédem-

ment,

AC ù 2) Fa f.(æ ; 2), dar ) 2) a (a 9 2),

Acta mathematica. 19. Imprimé le 24 avril 1894. 8

18 Pierre Cousin.

sont les fonctions qui figurent dans les intégrales dont les chemins d'intégration ont pour extrémité B, par suite des déterminations multiples parmi lesquelles chacune d'elles est choisie, on n’est pas assuré que leur somme est nulle identiquement dans le domaine de B; tout ce que l’on sait, c'est que cette somme est un multiple de 27, soit: 2iK7. Dès lors si b est la valeur de z qui correspond au point B, la continuation analytique de:

De ; 9) — log (6 — y)

est, d’après le paragraphe 4, régulière au point B; il en sera de même de la continuation analytique de: |

D(x , y) — log (b — y)".

Definition de (x, y). Cela conduit à poser:

Pa, y) = (x, y) — Elog(b —y)

la somme ZX s'étendant à tous les termes analogues à log (b — y)* correspondant aux différents nœuds. Il est à remarquer que W'(x,y) n'est définie qu'à un multiple près de 2i7 comme chacun des termes log (b — 7)". Définition de d,(x,y). Je définis la fonction d,(x, y) à l'intérieur de À, par la condition:

d,(x, y) = Ve, y):

cette fonction est régulière à l'intérieur de R,: sa continuation analytique est régulière en tout point À du périmètre de R,, intérieur à S; si en effet À est un point quelconque de /,,, autre que ses extrémités, le seul terme de la somme #'(x,7y) pour lequel À soit un. point singulier est 1,(&,y) dont la continuation analytique est régulière au point À. Si, en second lieu, À est un nœud, je partage #'(x , y) en trois parties; la première #'(x,y) renferme la somme des intégrales correspondant aux chemins qui aboutissent en 4; la deuxième est le terme —log(a — y)" qui correspond à À; la troisième #'(x,y) renferme tous les autres termes de {x ,y):

Pa, y) = Pie, y) — log(a — yÿ + (x, y) (x , y) est régulière en À, et la continuation analytique de

(x, y) — log(a — y),

(considérée actuellement pour y intérieur à À,) est régulière en À, d'après ce qui précède.

Ainsi à chaque région À, on peut faire correspondre une fonction d,(x , y) régulière en tout point de R, et en tout point de son périmètre intérieur à $, définie à l'intérieur de À, par la condition d’être égale à Y'(x,y) et sur son périmètre par continuation analytique.

Relations entre les fonctions d,(x , y) et (x, y) correspondant à deux régions contiguës ow attenantes. On verra comme dans la démonstration précédente que dans le domaine d’un point intérieur à 5 appartenant aux périmètres de deux régions À, et À; contiguës ou attenantes, on a:

ë Dane ; 9) — d,(x, y) = fi(& , y) — ft, y);

toutefois cette égalité n'a lieu qu'à un multiple près de 2ir, lequel dépend des déterminations choisies pour les fonctions qui y figurent.

Définition de F(x,y). Je définis F(x,y) pour y intérieur à S par la condition que l’on ait à l’intérieur de À, et dans le domaine de tout point de son périmètre intérieur à S':

SHC) RNA Te D CU

F(x,y) n'est ainsi définie qu'a un multiple près de 2ir. On a ainsi défini une fonction unique, puisqu’en un point intérieur

à S et appartenant aux périmétres de À, et R;, on a, à un multiple près de 2ir:

Dan (X 2 y) Lac d(x ? y) ES f(x 2 y) > Late 2 y) ou: l

dat ? y) = Let 2 y) <a d(x ) y) de f(a ) y).

En un point quelconque intérieur à S, F(x,y) est équivalente à la fonction f(x, y) qui correspond à ce point, puisque l'on a dans le domaine

de ce point:

Fa, y) = d,(&, y) + AC; y),

D,(x, y) étant régulière au point considéré.

Le théorème énoncé est ainsi démontré et l’on en déduit le suivant:

7. Il existe une fonction U(x, y) régulière en tout point (x, y) inté-

20 Pierre Cousin.

rieur à (1°, S) et telle que en un point quelconque intérieur à S son quotient par la fonction u,(x,y) qui correspond à ce point est régulier et différent de © au point considéré.

Je pose en effet: | Day eee

U(x,y) est définie, à l'intérieur de $, sans aucune ambiguïté, car le multiple de 2ir que l’on peut ajouter à volonté à F(x,y) n'altère pas la valeur de et”; de plus, en un point quelconque intérieur à S, on

a en choisissant convenablement l'indice p:

Fx,y) = #,(2, y) + (x, 9) on en déduit, en se souvenant que f,(x, y) = logu,(x, y) ED = y, (x, per,

ce qui montre que Uf(x,y) est régulière au point considéré, c’est-à-dire en tout point intérieur à S.

On peut écrire cette égalité de la façon suivante:

es Jp(x;y) — € Up(x , U)

d'où l'on conclut qu'en tout point intérieur à $ le quotient de U(x, y) par la fonction w,(x, y) qui correspond à ce point est régulier et différent de o.

Extension aux fonctions de n variables complexes des théorèmes de MM. Mittag-Lejffler et Weierstrass. Théorème de M. Poincaré.

8. Voici quelques considérations générales sur le problème qui fait l'objet de cette troisième partie et de la quatrième,

Soit Æ(x,y,...,2,t,u) une fonction de »# variables complexes T,Y,-..,2,t,;u, monotrope et sans espace lacunaire à l'intérieur d’une région S. Je suppose que pour chaque point (&,b,...,c,d,e) intérieur. à S, on connaisse une fonction fos.oae(ŒYye.., #6, 0) monotrope et sans espace lacunaire, définie à l'intérieur d’un cercle 7,5 ..e.4, intérieur à S, et ayant pour centre le point (a,b,...,c,d,e), et équivalente à

ohne be alintérieur:den lue

Une condition nécessaire à laquelle doivent satisfaire les fonctions labo (® » Y3-+., 24,4) correspondant aux différents points de S, est la suivante: si (a',0',...,c',d',e’) est un point assez voisin de («,b,...,c,d,e) pour étre intérieur au cercle /°,5.449 les deux fonctions

pre (x , Y; css 8 d, u) et ne (a ) U sr.) ê) l , u)

doivent être équivalentes au point (a, 0’, ...,c', d',e'); il faut en effet qu'en ce point les deux fonctions soient équivalentes à une même troi- HÉMORP(LSY SUR LU).

Je me propose de montrer que si, sans se donner la fonction F(%,y,:..,2,t,u), on se donne pour chaque point (&,b,...,c,d,6) intérieur à S, une fonction fn5.euel( » Yy--+:#,t,4) monotrope et sans espace lacunaire à l’intérieur de Z’,5.ea+s et si les fonctions données fas…ede(Cs Y-..,8,t,4u) satisfont à la condition qui vient d'être expliquée, il existe une fonction F(x,y,...,2,t,u) monotrope et sans espace lacunaire, définie à l'intérieur de S, et qui, en chaque point intérieur à S est équivalente à la fonction donnée correspondant à ce point.

J'aurai ainsi établi la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les fonctions données, pour qu'il existe une fonction F(x,;,y,...,2,t,u) définie à l'intérieur de 5, et équivalente en chaque point intérieur à S à la fonction donnée en ce point.

IL est clair que le théorème bien connu de M. Mitrac-LEFFLER, relatif aux fonctions d’une variable complexe, n’est qu’un cas particulier de celui que je viens d'énoncer.

De cette extension du théorème de M. MrrraG-LerFLer se déduira d'une façon immédiate le théorème de M. Poincaré.

Les énoncés des théorèmes qui suivent et leurs démonstrations vont préciser ce qu'il peut rester de vague dans ces considérations générales.

22 Pierre CH

9. Il importe, pour la suite, de préciser ce que j'entends par point intérieur à une aire S, prise sur le plan d’une variable complexe: un point est intérieur à S, s'il existe un cercle, intérieur à $,, ayant ce point pour centre et un rayon non nul. Cette définition exclut les points situés sur le périmètre de. S ; une aire s, sera dite complètement intérieure à S, si chaque point de s, et de son périmétre est intérieur à S,; les périmètres des aires S et s, ne peuvent pas avoir, d’après cela, de point commun.

10. Lemme. Soit, sur le plan YOX, une aire connexe S limitée par un contour fermé simple ou complexe; on suppose qu'à chaque point de S ow de son périmètre correspond un cercle, de rayon non nul, ayant ce point pour centre: il est alors toujours possible de subdiviser $S en régions, en nombre fini et assez petites pour que chacune d'elles soit complètement intérieure au cercle correspondant à un point convenablement choisi dans $S ou sur son périmètre.

Supposons, en effet, le lemme en défaut: partageons $ en carrés au moyen de parallèles aux axes de coordonnées, de facon que le nombre des régions obtenues soit au moins égal à un certain entier #; il y a au moins l’une de ces régions, $, pour laquelle le lemme est encore en défaut.

Subdivisant S, en carrés et portions de carrés en nombre au moins égal à n, j'en déduis $,, de la même façon que S, se déduit de S; en poursuivant le raisonnement, j'arrive à une suite indéfinie de carrés ou portions de carrés 8, , 8,,...,8,,...; il est clair que $,, pour p augmentant indéfiniment, à pour limite un point M intérieur à S ou sur son périmètre; on arrive à cette conclusion que l’on peut trouver un carré S, aussi petit que l’on veut entourant M ou attenant à M et qui ne soit pas contenu à l'intérieur d’un des cercles de l'énoncé; or cela est impossible puisqu'au point M correspond un cercle de rayon non nul ayant ce point pour centre.

11. Dans les deux théorèmes qui suivent, je désigne par «& avec ou sans indice une valeur attribuée à la variable complexe +, par b avec ou sans indice une valeur attribuée à la variable complexe y.

J'ai rapproché les énoncés de ces deux théorèmes parce que les démonstrations, à une légère différence prés, en sont identiques.

Théorème I. Soient S, et S, deux aires connexes prises sur les plans respectifs des deux variables x et y; soient s, et s, deux aires connexes à contour fermé simple ou complexe, complètement intérieures respectivement à S,.et S,.

On suppose qu'à tout point (a,b) intérieur à (S,,S,) correspondent:

1° deux cercles: 1°,, de centre a et 7,, de centre b, intérieurs respeclivement à S, et S..

Ne)

une fonction f(x, y) monotrope et sans espace lacunaire définie à l'intérieur de (1,5, ras) et telle que en tout point (a', D’) intérieure à (1,5, Tan) elle soit équivalente à la fonction f;ÿ(x , y) qui correspond à ce point.

Il existe une fonction F(x,y) monotrope et sans espace lacunaire définie à lintérieure de (s,,s,) et qui en tout point intérieur à (s,,S8,) est équivalente à la fonction qui correspond à ce point.

Théorème II. Au lieu de supposer chacune des fonctions f,,(x , y) de l'énoncé précédent monotrope et sans espace lacunaire à l'intérieur de begtan) on peut supposer que chacune d'elles est le logarithme d'une fonction v,,(x.y) régulière à l'intérieur de (17,5, Jar) et telle qu'en tout point (a, b') intérieur à (Ty; ar) elle soit équivalente à f(x, y); cela revient à supposer que Va, o(E ; Y) Va, v (& y) Il existe alors une fonction F(x, y) définie à un multiple près de 2ir

) et équivalente en tout point intérieur à (s,,s,) à la

le quotient est régulier et différent de © au point a, d.

à l'intérieur de (s,,s,

fonction qui correspond à ce point.

Démonstration du théorème I. Soit, en effet, & un point intérieur à S;: si au point @ j'adjoins le point db intérieur à s, ou sur son périmètre, il correspond au point b d’après l'énoncé un cercle 7,, intérieur à &, de centre b: d’après le lemme, il est alors possible de subdiviser s, en régions R,,R,,...,R, en nombre fini n et assez petites pour que chacune d'elles 2, b, convenablement choisi dans s, ou sur son périmètre; à chaque point b, cercles 7’, sont en nombre fini # comme les points b,,b,,...,0,; je

soit complètement intérieure au cercle 7,, de centre

correspond de plus un cercle 7°,,, de centre a et intérieur à S,; ces

24 Pierre Cousin.

puis alors tracer un cercle 7 de centre a et intérieur à tous les cercles concentriques 1%,»,; 1 Sera nécessairement intérieur à S. À chaque région À, contenue à l'intérieur de 7,4 correspond une fonction de l'énoncé f,,,(% , y) définie à l’intérieur de (7,4, ; Jan) et à fortiori à l’in-

térieur de (7%, ar); de plus, si À, et Æ, sont deux régions contiguës en tout point (a’, db") intérieur à (1%, ru) et à (1%, ras) les deux fonctions fan (ty) et fax, y) sont équivalentes comme étant, par hypothése, équivalentes en ce point à f,,(x, y). Dés lors les » régions R,,R,,...,R,, et les » fonctions qui leur correspondent, f,,(x,y),...,f,(%, y) satisfont à toutes les conditions sous lesquelles le théorème fondamental est applicable. Il existe, d'aprés ce théorème, une fonction w,(x,y) monotrope et sans espace lacunaire, définie à l'intérieur de (7%,s,) et équivalente, en tout point (a”, ”") intérieur à la région où elle est définie, à la fonction fort, y), l'indice p étant convenablement choisi; mais au point (a”', D), far, (æ , y) est elle-même équivalente à f,.,:(x,y); par suite ç,(x, y) et fy(x, y) sont équivalentes au point (a, b"”).

Ainsi, à chaque point «& intérieur à S., correspondent: un cercle 7, intérieur à S,, de centre a, et une fonction o,(x, y) définie à l’intérieur de (7,8) et qui, en tout point où elle est définie, est équivalente à la fonction correspondant à ce point d’après l'énoncé.

On peut, d'après le lemme, partager s, en régions T,, T,,...,T,, en nombre fini » et assez petites pour que chacune d'elles 7, soit comprise à l'intérieur du cercle 7%, de centre «, convenablement choisi à l’intérieur de s, ou sur son périmètre; à chacune des régions 7,, contenue à l’intérieur de 7”, correspond une fonction ç,(x,y) définie à l'intérieur de (77, , 8); si 1, et T, sont deux régions contiguës les deux fonctions @,,(x,y) et o,,(x,y) sont équivalentes en tout point intérieur à la fois à (1%,,8) et à (1 ,s,), comme étant toutes les deux équivalentes en ce point à la fonction de l'énoncé qui lui correspond. Dès lors, on peut appliquer le théorème fondamental aux fonctions &,, (x, y) et l’on est conduit à la fonction F(x, y) définie à l’intérieur de (s, , s,) qui satisfait aux conditions de l'énoncé; car en tout point (a, b’") intérieur à (s,,S,), F(x, y) est équivalente à la fonction ç,,(x, y), l'indice p étant convenablement choisi, et @,,(x, y) est équivalente elle-même en cé potht à fre, 0)

Démonstration du théorème IL. Cette démonstration est analogue à

la précédente: la seule différence consiste en ce que les fonctions f,,(x, y) Ea(x , y) et F(x,y) ne sont définies qu'à un multiple près de 2ir.

12. Conséquence du théorème IT. Dans le cas du théorème IL, si l'on considère la fonction:

V{x,y) — er),

elle est définie sans ambiguité à l’intérieur de (s,, s,); de plus si (a, à) est un point quelconque intérieur à (s,,s,), on a en ce point:

71 sl —

F(x ; y) re fao(x ; y) 10 À(æ ; y)

À(@ , y) étant régulière au point (@&, 6); on en conclut, en se souvenant que:

1 (x ? y) rs log Van (x , U),

(1) V(x 5 y) — Dao (X \ y) ext) ou:

oi VG@,7y) —— em9).

Vao(® ; Y)

L'égalité (1) montre que V(x,y) est régulière en tout point (a, b) in-

CP CA à)

D'où le théorème suivant: (S,, 8,,s,,s, conservent la méme signification que dans ce qui précède).

Théorème IIT. Si à chaque point (a, db) intérieur à (S,, S,) correspondent:

1° deux cercles [”,, de centre a et 7,, de centre b, respectivement intérieurs à S, et S,.

2° une fonction V,,(x,y) régulière à l'intérieur de (1,5, ras) et telle qu'en tout point (a', b') intérieur à (T,5, rar) le quotient en soit ré- : a,b'\© ;,

gulier et différent de 0;

il existe une fonction V(x,y) régulière à l'intérieur de (s,,s,) et telle qu'en tout point (a,b) intérieur à (s,,s,) le quotient de V(x, y) par la fonction v,,(x, y) qui correspond à ce point est régulier et différent de o.

Acta mathematica. 19. Tmprimé le 25 avril 1894, 4

26 Pierre Cousin.

13. l'extension des théorèmes précédents va être donnée pour le cas de »# variables: le procédé de démonstration reste le même; il me suffira donc d'indiquer les traits généraux de la démonstration.

Les » variables sont désignées par æ,...,y,2,t,u;a,...,b;c,d,e, avec ou sans indices, représentent des valeurs attribuées respectivement à æ,...,y,2,t,u. dJ'appelle point un ensemble de valeurs attribuées aux % variables ou à une partie des n variables; j'appelle cercle, ayant pour centre un point donné, un ensemble de cercles ayant pour centres respectifs les différents éléments composant le point et tracés sur les plans des variables correspondantes; dans ce système de notations un cercle 7° de centre (a,...,b,c,d,e) peut être considéré comme composé de deux cercles: ]”ayant pour centre (4,.4,b,0,d).et 17% ayant pourscentre; ou comme composé de 1° ayant pour centre (a,...,b,c) et de 1°, ayant pour centre (d,e); etc.

Un cercle 7’ est concentrique et intérieur au cercle 7, si Z' est composé de cercles, au sens ordinaire du mot, concentriques et intérieurs à ceux qui composent 7.

Théorème IV. Soient s,,58,,...,8,, n aires connexes à contour fermé, simple ou complexe, prises sur les plans respectifs des n variables x, ..., y,2,t,u et complètement intérieures respectivement aux aires S.,8,,...,5, prises sur les mêmes plans.

On suppose qu'à tout point (a,...,b,c,d,e) intérieur à (S,,8,,..,8,), correspondent:

lun cercle Ti 5,4, de céntre (ak 0,05 ,d'1e)dettintémienneà (Sr PSE

2° une fonction‘ des n variables, fs. peue(X;-.:Y, 2,t,u) monotrope et sans espace lacunaire, définie à l'intérieur de T7. peu, et telle que si (a',...,0',c',d',e’) est un point intérieur à I.5eae les deux fonctions far bode(Æ rc; Yrrt, 4) € fu. voae (re) Y, 2,14) Soient équivalentes au DRAP ETS DEC NA Te" :

Il existe une fonction F(x,...,y,2,t,u), monotrope et sans espace lacunaire, définie à l'intérieur de (s,,5,,...,8,) et telle qu'en tout point (a,...,b,c,d,e) intérieur à (s,,s8,,...,8,), elle soit équivalente à la fonction Lubeae(E 5 Yr&;t,4) qui correspond à ce point.

Théorème V. Au lieu de supposer, comme dans l'énoncé précédent,

Sur les fonctions de x variables complexes. 27

chacune des fonctions fi reae(t;..,Y, 2,4, u) monotrope et sans espace lacunaire à l'intérieur de 1, veus ON peut supposer que chacune de ces fonctions est le logarithme d'une fonction dv. poas(®, -..,,8,t4, u) régulière à l'intérieur de L[, veas et telle que si (a',...,b',c',d',e') est un point intérieur à I. sous les deux fonctions fi sat; ...,y,2,t,;4u) et fa vede(® ; -..,Y,2,t,u) soient équivalentes au point (a’,...,b',c',d', ee’); cette dernière condition revient à supposer que le quotient

Var be MU en VE tn) Va',...,0',c',d'e! (æ Se Vies d , u)

Il existe alors une fonction F(x,...,y,2,t,u) définie à un multiple près de 2ix à l'intérieur de (5, ,5,,...,8,) et qui en chaque point (a, …,b,c,d,e) intérieur à (S,,5,,...,8,) est équivalente à la fonction feel... Y»2,t,) correspondant à ce point.

Démonstration du théorème IV. Soit, en effet, (a,...,b,c,d) un point intérieur à (S,,8,,..., 8,1); si je lui adjoins le point e intérieur

à S,, il correspond à e un cercle 27, eue Que je considère comme composendent 5. dercentre (as 0 rand)hret: de nn, dercentreresron

peut alors décomposer 5, en régions À, R,,...,R,, en nombre fini w,

assez petites pour que chacune d'elles À,

centre e, convenablement choisi dans S,. Les m cercles 2%.,,4, étant

soit intérieur au cercle 7, peu, de

concentriques et en nombre fini #, il existe un cercle /%.,,4 Concentrique et intérieur à ces m cercles. 1%.3,4 est certainement intérieur AO SO. 08.) Ar chaquerrégionit®e,. «correspond une Sfonction He Se 0,4 a)udéfiniena lintérieurode (astra) et fortarihatlintémeurades (7,0 rue. )srde plusmsinh;fet-Rrsont deux régions contiguës, en tout point (a’,...,0",c',d',e') intérieur à la DT Er ie ne) Mt UT or ns Milesmdeuxe fonctions fe or bn ete ira (@r NU: C'u)eontréquivalentes

Il en résulte la possibilité d'appliquer le théorème fondamental aux m fonctions fi..peae(Æs--5Ys2»t,0) et l'on est conduit à une fonction Pi NC ire tou) définie-adlintérieuraden(f} 52% ,%5,)etttelle qu'en tout point (a, ..…, bd", c', d”,e”) intérieur à la région ou elle est définie,

elle est équivalente à fn. pee (ss Y323t, 4), l'indice p étant convenable-

28 Pierre Cousin.

ment choisi, et par suite équivalente à la fonction fo. pet, .…,y,2,t, 4) correspondant d’après l'énoncé au point (a”,..., b", c”’,d”, e"').

Ainsi. à chaque point (a,..4:,8;c,d) intérieur a1(SPMS Se, 50) correspondent: un cercle T7..,,4 ayant ce point pour centre et intérieur AS SE 0 «5 0,)set une: fonctionne, »,4(t, 4, 752,1, 4) détinienième

térieur de (7% peus 8) équivalente en tout point où elle est définie à la

fonction de l'énoncé qui correspond à ce point. Je considère comme composé de deux cercles: l’un Z%.,.4 de centre (a,...,b,c) et l'autre.y5.…., de centre d...On, peut, décomposer s,=; en régions 7}, T,,..., Ty, en nombre fini #', assez petites pour que chacune d'elles 1, soit intérieur au cercle 75.2, de centre d, convenablement choisi danses, 4 ou. surwson.,. périmètres, yen traceule cercle TT -##dettentre (a, ...,6,c) et intérieur aux #’ cercles concentriques 79: 645 15.5,."est forcément intérieur à (S,,8,, une fonction ®, ,:4-définie.à l'intérieur de (se uumis tete fortiori à l’intérieur de (1%..pes J.bo » #n)s le théorème fondamental,

appliqué à ces fonctions, conduit à la fonction d,.,.(t,...,y,2,t,u)

.….; S,+); à chaque région 7, correspond

définie à l'intérieur de (/%..pes 8x1 %) équivalente en chaque point où elle est définie à la fonction @, vea(ts.. ,Y,4,t,u), l'indice p étant convenablement choisi, et équivalente aussi par suite à la fonction de l'énoncé correspondant au point considéré.

Des fonctions d,.5.(%,...,y,2,t,u), on conclura de la même facon, enMdécomposante., «en deux scercles dd Mdescentren(e, ve rs. de centre €; l'existence d’une fonction Y,..,(&,...,y;,2,#, w) définie avl'intérieur de (1 :3,5,2%, 8,1 8); (4. désignant un-cercle! intérieur à (S,,...,8, :) de centre (&...6), de rayon choisi assez petit) et telle qu’en tout point où elle est définie, elle soit équivalente à la fonction de l'énoncé correspondant à ce point. En poursuivant ce raisonnement on parvient à une fonction F(x,...,y,2,t;,u) définie à l'intérieur de (s, , 5,,..., 8,) et qui en chaque point où elle est ainsi définie, est équivalente à la fonction de l’énoncé correspondant à ce point.

Démonstration du théorème V. Elle est analogue à la précédente: la seule différence consiste en ce que les fonctions f{x, ...,y, 2,€% u), pue slyre, tt, U) Dr Sent) et (r RNUYS NES T M A)ANe OT considérées comine définies qu'a un multiple prés de 217.

Sur les fonctions de % variables complexes. 29 14. Dans le cas du théorème V, en posant:

Vic, ..,y,2,t,u) = e200

on obtient, comme dans le cas de deux variables, le théorème suivant

\ \ & à A e û Ce OUEST. HOME Sir) conserventila-méme sisnification.

Théorème VI. 50 à fout point (a, .….,b,c,d,e) intérieur à (5,,8,,...,8,) correspondent:

2° une fonclion Ve. peue(® 5 Yr 21,4) des n variables, régulière à l'intérieur de 17. pes et telle que si (a',...,0,c', d', e’) est un point in-

D dede ONOROK TE) y 3 à » 2 u)

térieur à TL. peae Le quotient Va',...,b',c',d',e! (æ se...) U,%, b, u)

Il existe une fonction V(x,...,y,2,t,u) régulière en tout point intérieur à (5,,5,,...,8,) et telle qu'en tout point (a,...,b;c,d,e) intérieur à (S,,%5,5-., 5,) so quotient” par lafonchion 0: -102,(t,..,9,2,1,u) est régulier et différent de o.

15. Ce dernier théorème conduit à un théorème important relatif a une fonction (x,...,y,2,4,u) des n variablés (x,...,y,2,t,u) n'admettant à l'intérieur de (S,, S,,...,S,) que des singularités non essentielles.

Avant d'aborder ce théorème il est utile de rappeler quelques propositions connues.

M. WerersrRass à démontré que si une série entière en &,...,y,2,4,4, o(t,...,y,2,t,u), convergente dans le voisinage de l’origine, s'annule à l'origine, on peut l'écrire dans un domaine d de l'origine (sauf un cas d'exception que l'on peut éviter par un changement linéaire de variables) sous la forme: